1、泛函分析題1_2完備化p131.2.1 (空間S)令S為一切實(shí)(或復(fù))數(shù)列尤=(與，&,.,與,.)組成的集合，在S中定義距離為P3,睥亳 z 1(1/2k) i 饋氣 i/(1 + i 救-nk I )，其中x =(商,&, ., ；, . )，y = ( n1, %, .,氣,.).求證S為一個(gè)完備的距離空間.證明：(1)首先證明P是S上的距離.?的非負(fù)性和對(duì)稱性是顯然的；因?yàn)閷?shí)函數(shù)f (t) = t /(1 + t ) = 1 - 1/(1 + t )在0, +8)嚴(yán)格單調(diào)增，故對(duì)任意a, beU.，有I a 1/(1 + I a I) + I b 1/(1 + I b I)I a I

2、/(1 + I a I + I b I) + I b I/(1 + I a I + I b I)=(I a I + I b I )/(1 + I a I + I b I)(I a + b I )/(1 + I a + b I )，由此可立即得知?在S上滿足三角不等式.所以，P是S上的距離，從而(S, P)為距離空間. 設(shè)尤“是S中的一個(gè)Cauchy列，記xn =(商(以汐,.,&舟,.).則Vke.+ (1/2k) I 豪n)-商(m) |/(1 + | 豪n)-商 | ) 1是Z(或U)中的Cauchy列，因此也是收斂列.設(shè)或(n 8)，并設(shè) x =(務(wù) 與,.,質(zhì).)，則 xeS.下面證明

3、p(xn, x) 0 ( n 8).Ve 0，存在 Ke.+，使得ZkK (1酉 N時(shí)，Vk K都有I &對(duì))-饋I 1 (1/2k) I 玷nf |/(1 + | 或(n)f I )=k K (1/2k)知-如 S + | 親)f| ) d K (1/2k)(e/2) 筆 0，存在 Ne.+，使得Vm, n N 都有P(xn, xm) K都有p(x“印x) 2.令 L = maxK, N,則P(xn(L), x) L N.當(dāng) n N 時(shí)，p(xn, xnL) 8/2.故P(xn, x) p(xn, xn(L) + P(xn(L), x) 1 I &k氣 I，其中x = &k eF，y = 氣

4、eF.求證(F,p)不完備，并指出它的完備化空間. 證明：(1)首先，容易驗(yàn)證(F,p)是度量空間.Vne.+，令 xn = 1,1/2, 1/3, ., 1/n, 0, 0, .，則 xnEF.當(dāng)m n時(shí)，P(xn，xm)= sup k 1 1 知一&k1=max1/(n + 1), 1/(n + 2), ., 1/m=1/(n + 1) T 0 ( nT 8).故x 為F中的Cauchy列.下面證明xn不是F中的收斂列.若不然，設(shè) xn T xeF.記 x = ( g, &, ., &N, 0, 0,.). 當(dāng) n N 時(shí)，總有p(xn, x) I 1/(N + 1) -0 I = 1/(

5、N + 1)， 故p(xn, x)不收斂于0，這與前面的假設(shè)xn T x相矛盾. 因此，xn不是F中的收斂列.這就說明了 (F,p)不是完備的.(2)從前述的xn的構(gòu)造可以看出，我們可以任意選定一個(gè)收斂于0的實(shí)數(shù)列*，令yn = u1, u2, ., n, 0, 0, .，Uyn必為 F 中的 Cauchy 列.我們?cè)O(shè)c0是收斂于0的實(shí)數(shù)列全體，在上引進(jìn)距離p(x, y) = sup k 1 1 gk 一氣 |，其中 x = ( g1, &, ., gk, . )ec0，y =(門,%, .,氣，. )ec0.首先我們證明(c0,p)是度量空間.事實(shí)上，我們只需要證明三角不等式.設(shè) x = (

6、gk), y = (nk ), y =(偵)ec0，則P(x, y) = sup k 1 1 gk f k1 1 (| gk 頊 + 0 f k I) 1 I gk 4 I + sup k 1 I 板一氣 I = P(x, z) + p(z, y).所以，(C0, P)是度量空間.顯然，(F,p)是(c0, P)的一個(gè)子空間.現(xiàn)在我們證明(c0, p)是完備度量空間.設(shè)xn是(c0, P)中的一個(gè) Cauchy 列，記 xn = ( g1(n), g2(n), ., gk(n), .).VkE.+，因?yàn)閜(xn, xm) = sup k 1 I &對(duì))&k(m)I I &對(duì))&k(m)I，故化

7、舟“是匕中的Cauchy列，故為收斂列.設(shè)gk(n) T gk (nT 8).并設(shè) x = ( g1, &, ., gk, . ).下面證明x ec0.V8 0,存在 Ne.+，使得Vm, n N,有p(% xm) 8/2.特別地，p(xn, xN) 8/2.因此，Vke.+，有I *n)操n) 8/2.令 n8，得I &k(N)I K，I &k(N)| 8/2.因此，I &k I I &k一 &k(N) | + | 豪N) | 0，存在 Ne.+，使得Vm, n N，有p(xn, xm) 8.因此 Vke. +，有 I 郁 n) gk(m)| 8.令 m 8，得| 郁 n) 一 | 8.所以

8、，p(xn, x) 8.這樣就證明xn收斂于x.綜上所述，我們可以把(尸,嵌入到完備度量空間(C0, p)中.最后，我們只要再證明F是C0的稠密子集即可.事實(shí)上，對(duì)照(2)的開始部分，對(duì)于任意x =(商,&, ., % . )ec0，令yn =化,&, ., &n, 0, 0, .，Qyn是 F 中的點(diǎn)列，而且是 c0 中的 Cauchy 列. 根據(jù)c0的完備性的證明，我們知道，yn必然收斂于x =(商,&,.,質(zhì).). 所以F在(c0, p)中稠密.根據(jù)教材p11命題1.2.5，(c0, p)是(F, p)的完備化.1.2.4求證：0, 1上的多項(xiàng)式全體按照距離p1(p, q ) = 0 1

9、 I p(x) q(x) I dx (p, q 是多項(xiàng)式) 是不完備的，并指出它的完備化空間.證明：記0,1上的多項(xiàng)式全體為P，連續(xù)函數(shù)全體為C，Lebesgue可積函數(shù)全體 為 L 則有 P c C c L1.記 C 上的度量為p(f g ) = max xe0, 1 I f(x) g(x) I.(1)令 f (x) = arctan( x 1/2 )， h(x)=(兀/2) sign( x 1/2 )， xe0, 1.則fneC且fj在(L1, p】)中收斂于h，因此fj是(L1, p1)中的基本列.根據(jù)數(shù)學(xué)分析中的Weierstrass定理，P在(C, p)中稠密.故Vne.+，存在pneP，使得p(pn,fn) 1/n.因此p1( Pn, fn) = I0, 1 1 Pn(x) 一 fn(x) 1 dx p( n，f & 所以，p1(Pn, h) 0,存在C,使得p1( f 8/2.而P在(C,p)中稠密，故存在pcP,使得p(p, f) 8/2.p1( p, f)=0, 1 I p(x) f(x) I dx p (p, f) 8/2.所以，