1、等差數(shù)列前n項和的最值問題問題引入：已知數(shù)列an,的前n項和Snn21n,求這個數(shù)列的通項公式.數(shù)列是等差數(shù)列嗎?若是是,它的首項與公差分別是什么?2解:當n1時:ansnsn1L2n1當n=1時:a1s112113222綜上:an2n1,其中:a13,d222研究1:一般地,若是一個數(shù)列an的前n項和為:snpn2qnr,其中:為常數(shù),且p0,那么這個數(shù)列必然是等差數(shù)列嗎?若是是,它的首項和公差分別是什么?結(jié)論:當r=0時為等差,當r0時不是一、應用二次函數(shù)圖象求解最值例1：等差數(shù)列an中，a10,S4S9，則n的取值為多少時？Sn最大解析：等差數(shù)列的前n項和Sn是關于n的二次函數(shù)，因此可從

2、二次函數(shù)的圖象的角度來求解。解析：由條件a10,S4S9可知，d0,d0時，滿足am0當a1am0am1的項數(shù)m使得Sm取最大.(2)0時，滿足的項數(shù)m使得取最小值。0am10例3：已知等差數(shù)列an的an243n，則前多少項和最大？由an243n知當n8時，an0，當n9時，an0，前8項或前7項的和取最大值.已知等差數(shù)列bn的通項bn2n-17,則前多少項和最小?解：由bn2n17n知當n8時，an0，當n9時，an0，前8項的和取最小值.an0Sn的最大值。小結(jié)：同等差數(shù)列前n項和的求法，平時從二次函數(shù)議論：經(jīng)過數(shù)列中數(shù)的特點，可由an，從解不等式來確定10與不等式的角度來求解，但有一點要

3、注意的是最值的取值不用然在對稱軸處，必定認真察看n取何值才吻合已知等差數(shù)列an,滿足an=40-4n,求前多少項的和最大?最大值是多少?解法一:由an404nSn2n238n2(n19)219222當n9或n10時，Sn最大，最大值：S102（101921922）2180an09n10an404n,an10解法二:令n9或n10,S最大，S最大值：S180nn1011.在等差數(shù)列an中，|a3|=|a9|，公差d0，則使前n項和Sn獲取最大值的自然數(shù)n是5或6解析：依照d0，|a3|=|a9|，判斷出a3=a9，進而依照等差數(shù)列的通項公式求得a1+5d=0，判斷出a6=0進而可知從數(shù)列的第7項

4、開始為負，進而可判斷出前n項和Sn獲取最大值的自然數(shù)n的值解答：解：d0，|a3|=|a9|，a3=a9，a1+2d=a18d，a1+5d=0，a6=0，an0（1n5），Sn獲取最大值時的自然數(shù)n是5或6故答案為：5或6等差數(shù)列an的公差d0，且a12=a102，則數(shù)列an的前n項和Sn獲取最大值時的項數(shù)n=522d小于0，因此獲取a1和a10互為相反數(shù)即兩項相加等于0，又依照等差數(shù)列的解析：由a1=a10，獲取a1和a10相等或互為相反數(shù)，由于公差性質(zhì)可知a5和a6的和等于a1和a10的和等于0，獲取數(shù)列an的前n項和Sn獲取最大值時的項數(shù)為5解答：解：由d0，a12=a102，知a1+a

5、10=0a5+a6=0，因此此數(shù)列從從第6項開始，今后每項都小于0，故Sn獲取最大值時的項數(shù)n=5故答案為：5議論：此題察看學生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，掌握兩數(shù)平方相等時兩數(shù)的關系，是一道中檔題13.已知等差數(shù)列an，3a5=8a12，a10，設前n項和為Sn,求Sn取最大值時n的值915.已知等差數(shù)列an,anN*Sn12)2130，求數(shù)列bn的前n項和的最小值.,=（an.若bnan82解析：由Sn與an的關系，可寫出sn1與an1之間的關系，兩式作差，即可得出an1與an間的關系；bn的前n項和最小，估計bn的前n項均為負值，后邊均為正當，所有負值之和為最小.an1=sn1-Sn12)212

6、)2，即8an1=（an221-222解=（an1-（an1+2）-（an+2），因此（an）-（an+2）=0，88即（an1+an）（an1-an-4）=0，由于anN*，因此an1+an0，即an1-an-4=0，因此an1-an=4，因此等差數(shù)列an的公差大于0.12)2=2.因此an=4n-2,則bn130=2n-31.a1=s1=（a1,解得a1an82即數(shù)列bn也為等差數(shù)列且公差為2.由2n31029n31N*，因此n=15,故bn的前15項為負值，因2(n1)310，解得，由于n22此s15最小，可知b1=-29，d=2,因此數(shù)列15（2921531）bn的前n項和的最小值為s

7、15=2=-225.16.an為等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前n項和，S6S7S5,則以下結(jié)論中不正確的選項是（A）（A）d0（B）S110（C）S120（D）S13017.等差數(shù)列的前項和為，若，則以下結(jié)論：，其中正確結(jié)論是-(A)ABCD18.等差數(shù)列的前項和的最大值只有，且，則使的的最大值為。19.數(shù)列n是首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項為正，第七項為負。求數(shù)列的公差；a求前n項和Sn的最大值；當Sn0時，求n的最大值。a15d023d23解：a123，a60，a70得0n25，n最大為12。220.(92高考)設等差數(shù)列an的前n項和為sn，已知a3=12，s120,s130

8、,(1)求公差d的取值范圍；（2）指出s1，s2，s12中哪一個值最大，并說明原由.解析（1）由a3=12，得：a1+2d=12,即a1=12-2d,由s120，得：12a1+12*11d0，因此d-24,27由s130,得：13a1+13*12d0，因此d-3,因此，d的取值范圍為（-2427,-3）.(2)解法一：ana1(n1)d=12-2d+(n-1)d=12+(n-3)d令an0，得：n3-12,由（1）知：24d6時，an0，因此，s6最大.2d解法二：由題意可得：Sn=na1+n(n1)d=n(12-2d)+n2nd=dn2(125d)n2222顯然d0,Sn是關于自變量n的二次函數(shù)，由（1）知：d0,二次函數(shù)的圖像拋物線的對稱軸為n=512,由（1）知：24d3，因此651213,又由于nN*,故2d72d2當n=6時，Sn最大，即s6最大.簡析：函數(shù)認識等差數(shù)列的和為項數(shù)的二次函數(shù)，成立不等式解范圍；等差數(shù)列求和整體思想研究單調(diào)性求解。S12aa6aa6a