1、微積分學(xué)大型案例分析求解 在本學(xué)期開學(xué)第一堂課中，我們提出了一個(gè)大型案例?，F(xiàn)在我們依據(jù)本學(xué)期我們學(xué)過(guò)相關(guān)知識(shí)來(lái)處理。 引例：一只游船上有800人，一名游客不慎患傳染病，12小時(shí)后有3人發(fā)病，由于船上不能及時(shí)隔離，問(wèn)通過(guò)60小時(shí)、72小時(shí)，患此傳染病人數(shù)有多少？第1頁(yè)第1頁(yè)此問(wèn)題事實(shí)上與人口增長(zhǎng)問(wèn)題基本一致。為此引入簡(jiǎn)介人口增長(zhǎng)問(wèn)題模型。相關(guān)背景及模型簡(jiǎn)介：結(jié)識(shí)人口數(shù)量改變規(guī)律，建立人口模型，作出較準(zhǔn)確預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長(zhǎng)前提，長(zhǎng)期以來(lái)人們?cè)谶@方面作了不少工作。18世紀(jì)末，英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus，17661834）對(duì)百余年人口統(tǒng)計(jì)資料進(jìn)行了研究，于1798年提出人口指數(shù)增長(zhǎng)模型

2、。他基本假設(shè)是：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量與當(dāng)初人口總數(shù)成正比。第2頁(yè)第2頁(yè)設(shè)時(shí)間 時(shí)人口總數(shù)為 ，則依據(jù)馬爾薩斯假設(shè)，在時(shí)間 時(shí)人口總數(shù)為 ，從 屆時(shí)間 內(nèi)，人口增長(zhǎng) 。令 ，得到 滿足微分方程這是一個(gè)可分離變量微分方程，容易解得滿足初始條件解為 時(shí)，（1）式表示人口將按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無(wú)限增長(zhǎng)，稱為指數(shù)增長(zhǎng)模型。 第3頁(yè)第3頁(yè)依據(jù)我國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局1990年10月30 日發(fā)表公報(bào)，1990年7月1日我國(guó)人口總數(shù)為11.6億，過(guò)去8年人口平均增長(zhǎng)率為14.8，利用上式，將 ， ， 代入，能夠得到我國(guó)人口總數(shù)為 （億）得出結(jié)果與實(shí)際情況基本吻合。但是當(dāng) 時(shí)， ，這是不也許。從長(zhǎng)期來(lái)看，任何地域人口都不也許

3、無(wú)限增長(zhǎng) ，即指數(shù)模型不能描述、也不能預(yù) 第4頁(yè)第4頁(yè)測(cè)較長(zhǎng)時(shí)期人口演變過(guò)程。伴隨人口增長(zhǎng)，自然資源、環(huán)境條件等原因?qū)θ丝谠鲩L(zhǎng)限制越來(lái)越明顯，人口較少時(shí)，人口自然增長(zhǎng)率基本上是常數(shù)，而當(dāng)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量以后，這個(gè)增長(zhǎng)率就要伴隨人口增長(zhǎng)而減少。為此，必須修改指數(shù)增長(zhǎng)模型關(guān)于人口增長(zhǎng)率是常數(shù)這個(gè)基本假設(shè)。荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst在19世紀(jì)中葉提出了阻滯增長(zhǎng)模型，也稱邏輯斯蒂（Logistic）模型。第5頁(yè)第5頁(yè)用 表示自然資源和環(huán)境條件所能允許最大人口數(shù)，并假定凈增長(zhǎng)率等于 ，即凈增長(zhǎng)率伴隨 增長(zhǎng)而減少，當(dāng) 時(shí)，凈增長(zhǎng)率趨向于零。這樣，指數(shù)模型中微分方程變?yōu)榻獾?第6頁(yè)第6頁(yè)利用初始條件可

4、得，因此容易看出，當(dāng) 時(shí)， 。下圖（一）是邏輯斯蒂（Logistic）模型大體圖形。第7頁(yè)第7頁(yè)第8頁(yè)第8頁(yè)邏輯斯蒂（Logistic）模型不但能夠大體上描述人口改變規(guī)律，并且對(duì)自然環(huán)境保護(hù)區(qū)中野生動(dòng)物增長(zhǎng)情況、森林中樹木增長(zhǎng)情況、耐用消費(fèi)品售量等都能夠用它來(lái)描述。如假定今年在某保護(hù)區(qū)放入野生動(dòng)物20只，若被精心照料，預(yù)計(jì)野生動(dòng)物增長(zhǎng)規(guī)律滿足，在 年內(nèi)，其總數(shù)為第9頁(yè)第9頁(yè)當(dāng)保護(hù)區(qū)中野生動(dòng)物達(dá)到80只時(shí)，沒有精心照料，野生動(dòng)物也將會(huì)進(jìn)入正常生長(zhǎng)狀態(tài)，即其群體增長(zhǎng)仍然符合上述表示式中增長(zhǎng)規(guī)律?，F(xiàn)在問(wèn)題是：（1）需要精心照料期限為多少年？（2）在這一自然保護(hù)區(qū)中，最多能供養(yǎng)多少只野生動(dòng)物？第10頁(yè)

5、第10頁(yè)將 代入能夠得到解得 （年）又當(dāng) ， 。因此，只需精心照料9年，這個(gè)保護(hù)區(qū)最多能供養(yǎng)220只野生動(dòng)物。 第11頁(yè)第11頁(yè)有了此相關(guān)背景幾知識(shí)，我們可處理前面提出引例。解 設(shè) 表示發(fā)覺首例病人后 小時(shí)感染人數(shù)，則 表示此時(shí)未受感染人數(shù)，由題意知 。依據(jù)常理，當(dāng)感染人數(shù) 很小時(shí)，傳染病傳播速度較慢，由于只有很少游客能接觸感染者；當(dāng)感染人數(shù) 很大時(shí)，未受感染人數(shù) 很小，即只有很小游 客能被感染，因此此時(shí)傳染病傳播速度也很慢，排除上述兩種極端情況，當(dāng)有 第12頁(yè)第12頁(yè)諸多感染者及諸多未感染者時(shí)，傳播速度不久。因此，傳染病發(fā)病率，一方面受感染人數(shù)影響，另一方面也受未感染人數(shù)制約。根據(jù)以上分析，得解得 這屬于邏輯斯蒂（Logistic）模型。第13頁(yè)第13頁(yè)由條件 可得因此令 ，