1、第2章 解析函數(shù)2.1 解析函數(shù)概念復(fù)變函數(shù)與積分變換第1頁第1頁1.復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換第2頁第2頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第3頁第3頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第4頁第4頁導(dǎo)數(shù)分析定義：復(fù)變函數(shù)與積分變換第5頁第5頁導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)法則（下列出現(xiàn)函數(shù)均假設(shè)可導(dǎo)）： （1） 其中 為復(fù)常數(shù)；（2） 其中 為正整數(shù)；（3） ；（4） （5） ；復(fù)變函數(shù)與積分變換第6頁第6頁（6） ； （7） 是兩個互為反函數(shù)單值函數(shù)，且 .復(fù)變函數(shù)與積分變換第7頁第7頁2.解析概念復(fù)變函數(shù)與積分變換第8頁第8頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第9頁第9頁注解1、“可微”有時也能夠稱為“單演”，而“解析”有時也稱為“單值

2、解析”、“全純”、“正則”等；注解2、一個函數(shù)在一個點(diǎn)可導(dǎo)，顯然它在這個點(diǎn)連續(xù)；注解2、解析性與可導(dǎo)性關(guān)系：在一個點(diǎn)可導(dǎo)性為一個局部概念，而解析性是一個整體概念；注解：復(fù)變函數(shù)與積分變換第10頁第10頁注解3、函數(shù)在一個點(diǎn)解析，是指在這個點(diǎn)某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，因此在這個點(diǎn)可導(dǎo)，反之，在一個點(diǎn)可導(dǎo)不能得到在這個點(diǎn)解析；注解4、閉區(qū)域上解析函數(shù)是指在包括這個區(qū)域一個更大區(qū)域上解析；注解5、解析性區(qū)域；注解：復(fù)變函數(shù)與積分變換第11頁第11頁四則運(yùn)算法則復(fù)變函數(shù)與積分變換第12頁第12頁復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)變函數(shù)與積分變換第13頁第13頁反函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)變函數(shù)與積分變換第14頁第14頁利用這些法則，我們能

3、夠計算常數(shù)、多項式以及有理函數(shù)導(dǎo)數(shù)，其結(jié)果和數(shù)學(xué)分析結(jié)論基本相同。注解：復(fù)變函數(shù)與積分變換第15頁第15頁2.2 函數(shù)解析充要條件復(fù)變函數(shù)與積分變換第16頁第16頁Cauchy-Riemann條件：復(fù)變函數(shù)與積分變換第17頁第17頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第18頁第18頁定理3.1證實(shí)（必要性）：復(fù)變函數(shù)與積分變換第19頁第19頁定理3.1證實(shí)（充足性）：復(fù)變函數(shù)與積分變換第20頁第20頁復(fù)變函數(shù)解析條件復(fù)變函數(shù)與積分變換第21頁第21頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第22頁第22頁注解:和數(shù)學(xué)分析中結(jié)論不同，此定理表明解析函數(shù)(可導(dǎo)函數(shù))實(shí)部和虛部不是完全獨(dú)立，它們是柯西-黎曼方程一組解；柯西-黎曼條件是復(fù)變

4、函數(shù)解析必要條件而非充分條件（見反例）；解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)有更簡練形式：復(fù)變函數(shù)與積分變換第23頁第23頁反例：u(x,y)、v(x,y)下列：復(fù)變函數(shù)與積分變換第24頁第24頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第25頁第25頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第26頁第26頁例1 討論下列函數(shù)可導(dǎo)性和解析性：復(fù)變函數(shù)與積分變換第27頁第27頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第28頁第28頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第29頁第29頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第30頁第30頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第31頁第31頁例2復(fù)變函數(shù)與積分變換第32頁第32頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第33頁第33頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第34頁第34頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第35頁第35頁2.3 初等函數(shù)

5、 3、指數(shù)函數(shù) 4、多值函數(shù)導(dǎo)引：幅角函數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換第36頁第36頁1.指數(shù)函數(shù)(1)指數(shù)函數(shù)定義復(fù)變函數(shù)與積分變換第37頁第37頁 我們首先把指數(shù)函數(shù)定義擴(kuò)充到整個復(fù)平面。 要求復(fù)變數(shù)z=x+iy函數(shù)f(z)滿足下列條件：復(fù)變函數(shù)與積分變換第38頁第38頁 由解析性，我們利用柯西-黎曼條件，有 因此， 因此， 我們也重新得到歐拉公式：復(fù)變函數(shù)與積分變換第39頁第39頁(2)指數(shù)函數(shù)基本性質(zhì)復(fù)變函數(shù)與積分變換第40頁第40頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第41頁第41頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第42頁第42頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第43頁第43頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第44頁第44頁yxz-平面uw-平面v復(fù)變

6、函數(shù)與積分變換第45頁第45頁2.三角函數(shù)與雙曲函數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換第46頁第46頁 由于Euler公式，對任何實(shí)數(shù)x，我們有： 因此有因此，對任何復(fù)數(shù)z，定義余弦函數(shù)和正弦函數(shù)下列：復(fù)變函數(shù)與積分變換第47頁第47頁三角函數(shù)基本性質(zhì):則對任何復(fù)數(shù)z，Euler公式也成立：復(fù)變函數(shù)與積分變換第48頁第48頁關(guān)于復(fù)三角函數(shù)，有下面基本性質(zhì)：1、cosz和sinz是單值函數(shù)；2、cosz是偶函數(shù)，sinz是奇函數(shù):復(fù)變函數(shù)與積分變換第49頁第49頁 3、cosz和sinz是認(rèn)為周期周期函數(shù): 復(fù)變函數(shù)與積分變換第50頁第50頁 證實(shí)：復(fù)變函數(shù)與積分變換第51頁第51頁注解：由于負(fù)數(shù)能夠開平方，因

7、此由此不能得到比如z=2i時，有復(fù)變函數(shù)與積分變換第52頁第52頁6、cosz和sinz在整個復(fù)平面解析，并且有：證實(shí)：復(fù)變函數(shù)與積分變換第53頁第53頁7、cosz和sinz在復(fù)平面零點(diǎn)：cosz在復(fù)平面零點(diǎn)是， sinz在復(fù)平面零點(diǎn)是8、同理能夠定義其它三角函數(shù)：復(fù)變函數(shù)與積分變換第54頁第54頁9、反正切函數(shù)：由函數(shù) 所定義函數(shù) w稱為z反正切函數(shù)，記作由于令 ，得到復(fù)變函數(shù)與積分變換第55頁第55頁從而因此反正切函數(shù)是多值解析函數(shù)，它支點(diǎn)是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)不是它支點(diǎn)。復(fù)變函數(shù)與積分變換第56頁第56頁3.對數(shù)函數(shù) 和實(shí)變量同樣，復(fù)變量對數(shù)函數(shù)也定義為指數(shù)函數(shù)反函數(shù)：復(fù)變函數(shù)與積分變換第57頁第

8、57頁注解、由于對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)反函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)是周期為2 周期函數(shù)，因此對數(shù)函數(shù)必定是多值函數(shù)，事實(shí)上。復(fù)變函數(shù)與積分變換第58頁第58頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第59頁第59頁對數(shù)函數(shù)主值： 相應(yīng)與幅角函數(shù)主值，我們定義對數(shù)函數(shù)Lnz主值lnz為：則這時，有復(fù)變函數(shù)與積分變換第60頁第60頁三種對數(shù)函數(shù)聯(lián)系與區(qū)別：復(fù)變函數(shù)與積分變換第61頁第61頁對數(shù)函數(shù)基本性質(zhì)復(fù)變函數(shù)與積分變換第62頁第62頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第63頁第63頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第64頁第64頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第65頁第65頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第66頁第66頁uvw-平面xz-平面y復(fù)變函數(shù)與積分變換第67頁第67頁對數(shù)

9、函數(shù)單值化： 相應(yīng)與幅角函數(shù)單值化，我們也能夠?qū)?shù)函數(shù)單值化：考慮復(fù)平面除去負(fù)實(shí)軸（包括0）而得區(qū)域D。顯然，在D內(nèi)，對數(shù)函數(shù)能夠分解為無窮多個單值連續(xù)分支。復(fù)變函數(shù)與積分變換第68頁第68頁沿負(fù)實(shí)軸割線取值情況：上沿下沿復(fù)變函數(shù)與積分變換第69頁第69頁普通區(qū)域：復(fù)變函數(shù)與積分變換第70頁第70頁對數(shù)函數(shù)單值化： 由于對數(shù)函數(shù)每個單值連續(xù)分支都是解析，因此我們也將它連續(xù)分支稱為解析分支。我們也稱對數(shù)函數(shù)是一個無窮多值解析函數(shù)。我們稱原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)無窮階支點(diǎn)（對數(shù)支點(diǎn)）；復(fù)變函數(shù)與積分變換第71頁第71頁特點(diǎn)：1、當(dāng)z繞它們連續(xù)改變一周時，Lnz連續(xù)改變到其它值；2、無論如何沿同一

10、方向改變，永遠(yuǎn)不會回到同一個值。復(fù)變函數(shù)與積分變換第72頁第72頁例1 復(fù)變函數(shù)與積分變換第73頁第73頁例2 復(fù)變函數(shù)與積分變換第74頁第74頁例3 復(fù)變函數(shù)與積分變換第75頁第75頁4.冪函數(shù) 利用對數(shù)函數(shù)，能夠定義冪函數(shù)：設(shè)a是任何復(fù)數(shù)，則定義za次冪函數(shù)為復(fù)變函數(shù)與積分變換第76頁第76頁當(dāng)a為正實(shí)數(shù)，且z=0時，還要求由于因此，對同一個 不同數(shù)值個數(shù)等于不同數(shù)值因子 個數(shù)。復(fù)變函數(shù)與積分變換第77頁第77頁冪函數(shù)基本性質(zhì)：復(fù)變函數(shù)與積分變換第78頁第78頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第79頁第79頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第80頁第80頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第81頁第81頁復(fù)變函數(shù)與積分變換第82頁第

11、82頁 設(shè)在區(qū)域G內(nèi)，我們能夠把Lnz分成無窮個解析分支。對于Lnz一個解析分支，相應(yīng)地 有一個單值連續(xù)分支。依據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則， 這個單值連續(xù)分支在G內(nèi)解析，并且其中 應(yīng)當(dāng)理解為對它求導(dǎo)數(shù)那個分支，lnz應(yīng)當(dāng)理解為對數(shù)函數(shù)相應(yīng)分支。復(fù)變函數(shù)與積分變換第83頁第83頁 相應(yīng)于Lnz在G內(nèi)任一解析分支：當(dāng)a是整數(shù)時， 在G內(nèi)有n個解析分支；當(dāng)a是無理數(shù)或虛數(shù)時，冪函數(shù)在G內(nèi)是同一解析函數(shù)；當(dāng) 時， 在G內(nèi)有無窮多個解析分支，是一個無窮值多值函數(shù)。復(fù)變函數(shù)與積分變換第84頁第84頁 比如當(dāng)n是不小于1整數(shù)時，稱為根式函數(shù)，它是 反函數(shù)。當(dāng)時，有這是一個n值函數(shù)。復(fù)變函數(shù)與積分變換第85頁第85頁

12、在復(fù)平面上以負(fù)實(shí)軸（包含0）為割線而得區(qū)域D內(nèi)，它有n個不同解析分支：它們也能夠記作這些分支在負(fù)實(shí)軸上沿與下沿所取值，與相應(yīng)連續(xù)分支在該處所取值一致。復(fù)變函數(shù)與積分變換第86頁第86頁冪函數(shù)映射性質(zhì):復(fù)變函數(shù)與積分變換第87頁第87頁關(guān)于冪函數(shù)當(dāng)a為正實(shí)數(shù)時映射性質(zhì)，有下面結(jié)論：設(shè) 是一個實(shí)數(shù)，并且在z平面上取正實(shí)數(shù)軸（包括原點(diǎn)）作為割線，得到一個區(qū)域D*。考慮D*內(nèi)角形，并取 在D*內(nèi)一個解析分支復(fù)變函數(shù)與積分變換第88頁第88頁當(dāng)z描出A內(nèi)一條射線時讓 從0增長到 （不包括0及 ），那么射線l掃過角形A，而相應(yīng)射線 掃過角形（不包括0），w在w平面描出一條射線復(fù)變函數(shù)與積分變換第89頁第8

13、9頁因此把夾角為 角形雙射成一個夾角為 角形，同時，這個函數(shù)把A中以原點(diǎn)為心圓弧映射成中以原點(diǎn)為心圓弧。復(fù)變函數(shù)與積分變換第90頁第90頁類似地，我們有，當(dāng)n(1)是正整數(shù)時，n個分支分別把區(qū)域D*雙射成w平面n個角形復(fù)變函數(shù)與積分變換第91頁第91頁例1、作出一個含i區(qū)域，使得函數(shù)在這個區(qū)域內(nèi)能夠分解成解析分支；求一個分支在點(diǎn)i個值。解：我們知道也許支點(diǎn)為0、1、2與無窮，詳細(xì)分析見下圖復(fù)變函數(shù)與積分變換第92頁第92頁結(jié)論：0、1、2與無窮都是1階支點(diǎn)。復(fù)變函數(shù)與積分變換第93頁第93頁能夠用正實(shí)數(shù)軸作為割線，在所得區(qū)域上，函數(shù)能夠分解成單值解析分支。同時，我們注意到因此也能夠用0，1與 作割線。復(fù)變函數(shù)與積分變換第94頁第94頁我們求函數(shù)下述解析分支在z=i值。在z=1處，取在w兩個解析分支為：復(fù)變函數(shù)與積分變換第95頁第95頁以下圖，因此復(fù)變函數(shù)與積分變換第96頁第96頁例2、驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)域D=C-0,1內(nèi)能夠分解成解析分支；求出這個分支函數(shù)在(0,1)上沿取正實(shí)值一個分支在z=-1處值及函數(shù)在（0，1）下沿值。解：我們知道復(fù)變函數(shù)與積分變換第97