1、精品教學(xué)教案3.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（一）教學(xué)要求： 明白共線或平行向量的概念,把握表示方法；懂得共線向量定理及其推論；把握空間直線的向量參數(shù)方程；會運(yùn)用上述學(xué)問解決立體幾何中有關(guān)的簡潔問題教學(xué)重點(diǎn)： 空間直線、平面的向量參數(shù)方程及線段中點(diǎn)的向量公式教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入 1. 回憶平面對量向量學(xué)問： 平行向量或共線向量？怎樣判定向量 b 與非零向量 a 是否共 線？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量 由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上,所以平行向量也叫做共線向量 ,使 b a . 稱平面對量向量 b 與非零向量 a 共線的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù)共線定理,二、新課講授

2、1. 定義：與平面對量一樣,假如表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合,就這些向量叫做 共線向量 或平行向量 a 平行于 b 記作 a / b 2關(guān)于空間共線向量的結(jié)論有共線向量定理及其推論：共線向量定理： 空間任意兩個向量a 、 b （ b 0）, a / b 的充要條件是存在實(shí)數(shù) ,使 a b . 懂得：上述定理包含兩個方面：性質(zhì)定理：如 a b （ a 0）,就有 b a ,其中 是唯獨(dú)確定的實(shí)數(shù)；判肯定理：如存在唯獨(dú)實(shí)數(shù),使 b a（ a 0）,就有 a b （如用此結(jié)論判定 a 、 b 所在直線平行,仍需 a （或 b ）上有一點(diǎn)不在 b （或 a）上） . 對于確定的 和

3、a , b a 表示空間與 a 平行或共線,長度為 | a | ,當(dāng) 0 時 與 a 同向,當(dāng) 0 時與 a反向的全部向量 . 3. 推論：假如 l 為經(jīng)過已知點(diǎn) A且平行于已知非零向量 a 的直線,那么對于任意一點(diǎn) O,點(diǎn) P在直線 l 上的充要條件是存在實(shí)數(shù) t 滿意等式 OP OA t a 其中向量 a 叫做直線 l 的方向向量 . 推論證明如下：l / a ,對于 l上任意一點(diǎn)P,存在唯獨(dú)的實(shí)數(shù)t ,使得APt a * 精品教學(xué)教案又對于空間任意一點(diǎn)O,有 APOPOA ,tOB 中點(diǎn)公OPOAt a ,OPOAt a 如在 l 上取 ABa ,就有 OPOAt AB * 又ABOBO

4、AOPOAt OBOA1t OA當(dāng)t1時,OP1 2OAOB ,式是線段的2懂得：表達(dá)式和都叫做空間直線的向量參數(shù)表示式式事實(shí)上,表達(dá)式 * 和* 既是表達(dá)式和的基礎(chǔ),也是直線參數(shù)方程的表達(dá)形式 表達(dá)式和三角形法就得出的,可以據(jù)此記憶這兩個公式A C D B 推論一般用于解決空間中的三點(diǎn)共線問題的表示或判定O 空間向量共線（平行）的定義、共線向量定理與平面對量完全相同,是平面對量相關(guān)學(xué)問的推廣4. 出示例 1：用向量方法證明順次連接空間四邊形四邊中點(diǎn)的四邊形 是平行四邊形 . （分析：如何用向量方法來證明？）5. 出示例 2：如圖 O是空間任意一點(diǎn), C、D是線段 AB的三等分點(diǎn),分別用 OA

5、 、 OB表 示 OC 、 OD . 三、鞏固練習(xí)：作業(yè)：3.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（二）精品教學(xué)教案教學(xué)要求： 明白向量與平面平行、共面對量的意義,把握向量與平面平行的表示方法；懂得共面對量定理及其推論；把握點(diǎn)在已知平面內(nèi)的充要條件；會用上述學(xué)問解決立幾 中有關(guān)的簡潔問題教學(xué)重點(diǎn)： 點(diǎn)在已知平面內(nèi)的充要條件教學(xué)難點(diǎn)： 對點(diǎn)在已知平面內(nèi)的充要條件的懂得與運(yùn)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入 1. 空間向量的有關(guān)學(xué)問共線或平行向量的概念、共線向量定理及其推論以及空間 直線的向量表示式、中點(diǎn)公式2. 必修平面對量,平面對量的一個重要定理平面對量基本定理：假如 e1、e2 是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,那

6、么對這一平面內(nèi)的任意一個向量 a,有且只有一對 實(shí)數(shù) 1、 2,使 a 1e1 2e2. 其中不共線向量 e1、e2 叫做表示這一平面內(nèi)全部向量 的一組 基底 二、新課講授1. 定義：假如表示空間向量a 的有向線段所在直線與已知平面平行或在平面 內(nèi),就稱向量 a 平行于平面 ,記作 a/ 向量與平面平行, 向量所在的直線可以在平面內(nèi),行時兩者是沒有公共點(diǎn)的而直線與平面平2. 定義： 平行于同一平面的向量叫做共面對量共面對量不肯定是在同一平面內(nèi)的,但可以平移到同一平面內(nèi)3. 爭論：空間中任意三個向量肯定是共面對量嗎？請舉例說明結(jié)論：空間中的任意三個向量不肯定是共面對量例如：對于空間四邊形ABCD

7、,AB 、AC 、 AD 這三個向量就不是共面對量4. 爭論：空間三個向量具備怎樣的條件時才是共面對量呢？5. 得出 共面對量定理 ：假如兩個向量 a、b 不共線,就向量 p 與向 量 a、b 共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對 x,y,使得 p= xa+yb 證明：必要性：由已知,兩個向量 a、b 不共線 向量 p 與向量 a、b 共面 由平面對量基本定理得：存在一對有序?qū)崝?shù)對x,y,使得 p= xa+yb充分性：如圖,xa,yb 分別與 a、b 共線, xa,yb 都在 a、b 確定的平面內(nèi)又xa+yb 是以 xa、 yb為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的向量,精品教學(xué)教案并且此平行四邊形在

8、a、b 確定的平面內(nèi), p = xa+yb 在 a、b 確定的平面內(nèi),即向量 p 與向量 a、b 共面說明：當(dāng) p、a、b 都是非零向量時,共面對量定理實(shí)際上也是 p、a、b 所在的三條直線共面的充要條件,但用于判定時,仍需要證明其中一條直線上有一點(diǎn)在另兩條直線所確定的平面內(nèi)6. 共面對量定理的推論是： 空間一點(diǎn) P 在平面 MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對 x,y,使得 MP xMA yMB , 或?qū)τ诳臻g任意肯定點(diǎn) O,有 OP OM xMA yMB 分析：推論中的 x、y 是唯獨(dú)的一對有序?qū)崝?shù)；由 OP OM xMA yMB 得：OP OM x OA OM y OB OM , OP 1

9、 x y OM xOA yOB 公式都是P、M、A、B四點(diǎn)共面的充要條件7. 例題：課本 P88 例 1 ,解略小結(jié)：向量方法證明四點(diǎn)共面三、鞏固練習(xí)向量的數(shù)量積（ 2）一、教學(xué)目標(biāo)：向量的數(shù)量積運(yùn)算利用向量的數(shù)量積運(yùn)算判定垂直、求模、求角二、教學(xué)重點(diǎn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算利用向量的數(shù)量積運(yùn)算判定垂直、求模、求角三、教學(xué)方法：練習(xí)法,糾錯法,歸納法精品教學(xué)教案四、教學(xué)過程：考點(diǎn)一：向量的數(shù)量積運(yùn)算（一）、學(xué)問要點(diǎn)：1）定義：設(shè)= ,就a b（的范疇為；）設(shè)ax y 1 1,bx 2,y 2就 a b注： a b 不能寫成 ab ,或 ab a b的結(jié)果為一個數(shù)值；2）投影： b 在 a 方向上的投

10、影為；3）向量數(shù)量積運(yùn)算律： a bb a a ba b ab ab ca cb c注：沒有結(jié)合律 a b ca b c 二）例題講練1、以下命題：如a b0,就 a , b 中至少一個為 0 如 a0且 a ba c ,就 bc, 就4 就； a b ca b c 3 a2 3 a2 9a24b2中正確有個數(shù)為（）A. 0 個B. 1 個C. 2個D. 3個2 、 已 知ABC 中 , A , B , C 所 對 的 邊 為a,b,c , 且a=3,b=1,C=30 BC CA = ；3、如a,b,c滿足abc0,且a3,b1 ,abbc= ；4、已知ab2,且 a與 b 的夾角為3,就 a

11、b 在 a上的投影為考點(diǎn)二：向量數(shù)量積性質(zhì)應(yīng)用一、學(xué)問要點(diǎn)：aba b0（用于判定垂直問題）a2 a （用于求模運(yùn)算問題） cosa b a b（用于求角運(yùn)算問題） 二 例題講練1、已知a2,b3,且 a 與 b 的夾角為2,c3 a2 b , dmab ,求當(dāng) m 為何值時 cd精品教學(xué)教案2、已知 a 1,b 1, 3 a 2 b 3,就 3a b；3、已知 a 和 b 是非零向量,且 a = b = a b ,求 a 與 a b 的夾角4、已知 a 4,b 2,且 a 和 b 不共線,求使 a b 與 a b 的夾角是銳角時 的取值范疇鞏固練習(xí)1、已知1e 和2e 是兩個單位向量,夾角為

12、3,就（e 1e ） 3 e 12 e 2等于（）A.-8 B. 9 2C. 5 2D.8 2、已知1e 和2e 是兩個單位向量,夾角為3,就下面對量中與2e 2e 垂直的是（）A. e 1e 2B. e 1e 2C. 1eD. 2e3、在ABC 中,設(shè) ABa , BCb, CAc,如aab 0,就ABC （） A 直角三角形B 銳角三角形C 鈍角三角形D 無法判定4、已知 a 和 b 是非零向量,且a3 b 與 7a5 b垂直,a4 b 與 7 a2 b 垂直,求 a 與 b 的夾角；5、已知 OA 、 OB 、 OC 是非零的單位向量,且 ABC 為正三角形；OA +OB +OC =0

13、,求證：3.1.4 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 教學(xué)要求： 把握空間向量的正交分解及空間向量基本定理和坐標(biāo)表示；把握空間向量的 坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律；會依據(jù)向量的坐標(biāo),判定兩個向量共線或垂直教學(xué)重點(diǎn)： 空間向量基本定理、向量的坐標(biāo)運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)： 懂得空間向量基本定理精品教學(xué)教案教學(xué)過程：一、新課引入 1. 回憶：平面對量的加減與數(shù)乘運(yùn)算以及平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算,2. 復(fù)習(xí)：平面對量基本定理 . 二、講授新課1. 類比：由平面對量的基本定理,對平面內(nèi)的任意向量a ,均可分解為不共線的兩個向量 1 a 和 2 a ,使 a 1 a 1 2 a . 假如 a 1 a 時,這種分解就是平面對量的正交分解

14、. 假如取 a a 為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向的兩個單位向量 ,i j ,就存在一對實(shí)數(shù) x、y,使得 a xi y j ,即得到平面對量的坐標(biāo)表示 a , x y . 推廣到空間向量,結(jié)論會如何呢？1 空間向量的正交分解：對空間的任意向量a ,均可分解為不共面的三個向量1a 、2a 、3a ,使a1a 12a23a . 假如a a2,a 兩兩垂直,這種分解就是空間向量的正交分解 . 2 空間向量基本定理： 假如三個向量a b c 不共面,那么對空間任一向量 p ,存在有序?qū)崝?shù)組 , , x y z ,使得 p xa yb zc. 把 , , a b c 叫做空間的一個基底（ base）,a

15、 b c 都叫做基向量 . 2. 單位正交基底：假如空間一個基底的三個基向量相互垂直,且長度都為 1,就這個基底叫做 單位正交基底 ,通常用 i , j , k表示單位三個基向量的長度都為1；正交三個基向量相互垂直選取空間一點(diǎn) O和一個單位正交基底 i , j , k,以點(diǎn) O為原點(diǎn),分別以 i , j , k 的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l坐標(biāo)軸：得到 空間直角坐標(biāo)系 O- xyz,x 軸、y 軸、 z 軸,3. 空間向量的坐標(biāo)表示： 給定一個空間直角坐標(biāo)系和向量a,且設(shè)a j a ki 、j 、k 為坐標(biāo)向量,就存在唯獨(dú)的有序?qū)崝?shù)組a a2,a 3,使 a1a i 空間中相等的向量其坐標(biāo)是相同的爭

16、論：向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系？向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)的求法： 設(shè) A x 1,y 1,z ,Bx2,y2,z 2,；就 AB OB OA x 2,y2,z 2x 1,y z x 2x 1,y 2y 1,z 2z b 34. 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)aa a2,a3,b b b2,b ,就b a3aba 1b a2b 2,a 3b ；aba 1b a 2精品教學(xué)教案 aa 1,a 2,a3R ；aba b 1 1a b 2 2a b 3 3b k 代入即可證明方法：與平面對量一樣, 將 a1aia j a k 和 b1bib j 5. 兩個向量共線或垂直的判定：設(shè)aa a2,a3,bb b2

17、,b ,就a/ ba ba 1b a 2b2,a3b , Ra 1a 2a b；b 1b 2aba b=0a b 1 1a b 2a b306. 練習(xí)：已知 a 2, 3,5 ,b 3,1, 4 ,求 ab,ab,8a,a b解：略7. 出示例：三、鞏固練習(xí) 作業(yè)3.1.5 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（夾角和距離公式）教學(xué)要求： 把握空間向量的長度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式,并 會用這些公式解決有關(guān)問題教學(xué)重點(diǎn)： 夾角公式、距離公式教學(xué)難點(diǎn)： 夾角公式、距離公式的應(yīng)用精品教學(xué)教案教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入1. 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法就：設(shè) a a a 2 , a 3 ,b b b b

18、3 ,就ab a 1 b a 2 b 2 , a 3 b ；ab a 1 b a 2 b a 3 b 3 ； a a 1 , a 2 , a 3 R ；aba b 1 1 a b 2 a b 3上述運(yùn)算法就怎樣證明呢？ （將 aa i a j a k 和 bb i b j 3b k 代入即可）2. 怎樣求一個空間向量的坐標(biāo)呢？（表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)）二、新課講授 向量的模：設(shè) aa a2,a 3,bb b b3,求這兩個向量的模 . a2 a 1a22 b 12 b 2b這兩個式子我們稱為 向量的長度公式 a,b2這個公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度2. 夾

19、角公式推導(dǎo)：a b| a| b|cos a, bb cosa, ba 1b 1a2b2a2 b a 1a2a 2 b 1b222由此可以得出： cosa, b2 a 1a b 1 1a b22 b 1a b 32 b 3a2 2a2 3b2 2這個公式成為 兩個向量的夾角公式 利用這個共識,我們可以求出兩個向量的夾角,并可以進(jìn)一步得出兩個向量的某些特殊位置關(guān)系：當(dāng) cosa、b 1 時, a 與 b 同向；當(dāng) cosa、b 1 時,a 與 b 反向；當(dāng) cosa、b 0 時, ab3. 兩點(diǎn)間距離共識：利用向量的長度公式,我們?nèi)钥梢缘贸隹臻g兩點(diǎn)間的距離公式 ：在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn) A x

20、 1 , y z 1 ,B x 2 , y 2 , z 2 ,就d A、B x 2 x 1 2 y 1 y 2 2 z 1 z 2 2,其中 d 、 表示 A與 B兩點(diǎn)間的距離3. 練習(xí)：已知 A3,3,1、B1 ,0,5 ,求：線段 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度；到 A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn) P x y z 的坐標(biāo) x、y、z 滿意的條件（答案： 2, 3 ,3 ；29 ； 4 x 6 y 8 z 7 0）2說明： 中點(diǎn)坐標(biāo)公式 ：OM 1 OA OB x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2；2 2 2 2中點(diǎn) p 的軌跡是線段 AB的垂直平分平面在空間中,關(guān)于 x、y、z 的三元一次方程

21、的圖形是平面精品教學(xué)教案4. 出示例 5：如圖,在正方體ABCDA B C D 中,B E 1D F 1A B 1,4求BE 與DF 所成的角的余弦值分析：如何建系？ 點(diǎn)的坐標(biāo)？ 如何用向量運(yùn)算求夾角？ 變式：課本 P96、例 6 5. 用向量方法證明： 假如兩條直線同垂直于一個平面,就這兩條直線平行三. 鞏固練習(xí) 作業(yè)：課本 P97 練習(xí) 3 題. 3.2 立體幾何中的向量方法（一）教學(xué)要求 ：向量運(yùn)算在幾何證明與運(yùn)算中的應(yīng)用把握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法,并能解簡潔的立體幾何問題教學(xué)重點(diǎn)： 向量運(yùn)算在幾何證明與運(yùn)算中的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)： 向量運(yùn)算在幾何證明與運(yùn)算中的應(yīng)用精品教學(xué)教案 教學(xué)過程：

22、一、復(fù)習(xí)引入 1. 用向量解決立體幾何中的一些典型問題的基本摸索方法是：如何把已知的幾何條件（如線段、角度等）轉(zhuǎn)化為向量表示；考慮一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式；如何對已經(jīng)表示出來的向量進(jìn)行運(yùn)算,才能獲得需要的結(jié)論？2. 通法分析：利用兩個向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)可以解決哪些問題呢？利用定義 a b| a| b|cos a, b或 cosa, bab,可求兩個向量的數(shù)量積ab或夾角問題；利用性質(zhì) ab ab可以解決線段或直線的垂直問題；利用性質(zhì)aaa2,可以解決線段的長或兩點(diǎn)間的距離問題二、例題講解1. 出示例 1：已知空間四邊形OABC中, OABC , OBAC 求證： O

23、CAB 證明：OC AB OCOBOAOC OB OC OA OABC , OBAC , OA BC0,OB AC0,OA OCOB0,OBOCOA0OA OCOA OB ,OB OCOB OA OC OB OC OA ,OC AB 0 OCAB練習(xí)：教材 P105 例 1 及 P106摸索題分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進(jìn)行怎樣的向量運(yùn)算？2. 出示例 2：如圖,已知線段 AB在平面 內(nèi),線段AC,線段 BDAB,線段 DD ,DBD 30,假如 ABa,ACBDb,求 C、D間的距離解：由AC,可知AC AB 由 DBD 30 可知,CA BD 120 ,| CD | 2 CA AB BD 2

24、| CA | 2| AB | 2| BD | 22 CA AB CA BD AB BD 2 2 2 2 2b a b 2 b cos120a b CD a 2b 練習(xí)：教材 P106 例 2 及其 107 摸索題分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進(jìn)行怎樣的向量運(yùn)算？說明: 此方法也是用向量法求二面角的一種有效方法,應(yīng)引起留意；精品教學(xué)教案3. 出示例 3：如圖, M、N分別是棱長為 1 的正方體 ABCD A B C D 的棱 BB 、B C 的中點(diǎn)求異面直線 MN與 CD 所成的角解： MN 1 CC BC ,CD CC CD ,2MN CD 1 CC BC CC CD 1 | CC | 2CC C

25、D BC CC BC CD 2 2CC CD ,CC BC , BC CD ,CC CD 0,BC CC 0,BC CD 0,MN CD 1 | CC | 21 求得 cos MN CD 1,MN CD 60 . 2 2 24. 小結(jié)：（1）向量法解題“ 三步曲”：化為向量問題進(jìn)行向量運(yùn)算回到圖形問題 . （2）利用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示式,并用已知向量表示未知向量,然后通過向量的運(yùn)算去運(yùn)算或證明三、鞏固練習(xí) 作業(yè)：課本 P107 練習(xí) 1 、2 題. 3.2 立體幾何中的向量方法（二）教學(xué)要求 ：向量運(yùn)算在幾何證明與運(yùn)算中的應(yīng)用把握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法,并能

26、解簡潔的立體幾何問題教學(xué)重點(diǎn)： 向量運(yùn)算在幾何證明與運(yùn)算中的應(yīng)用精品教學(xué)教案教學(xué)難點(diǎn)： 向量運(yùn)算在幾何證明與運(yùn)算中的應(yīng)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入 爭論：將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的途徑？（1）通過一組基向量爭論的向量法,它利用向量的概念及其運(yùn)算解決問題；（2）通過空間直角坐標(biāo)系爭論的坐標(biāo)法,它通過坐標(biāo)把向量轉(zhuǎn)化為數(shù)及其運(yùn)算來解 決問題 . 二、例題講解1. 出示例 1： 如圖,在正方體ABCDA B C D 中, E、F 分別是BB 、CD的中點(diǎn),求證：D F平面 ADE證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長為個單位長度,且設(shè) DA i ,DCj ,DD k以 i 、j 、k 為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)

27、系Dxyz,就1 2,-1 0, AD -1,0,0,D F 0,1 2,-1 , AD D F -1,0,0 0,D FADD F AE又AE 0,1,1 , AE D F 0,1,1 0,1,-1 0,222又ADAEA ,D F平面 ADE說明：“ 不妨設(shè)” 是我們在解題中常用的小技巧,通?？捎糜谠O(shè)定某些與題目要求 無關(guān)的一些數(shù)據(jù),以使問題的解決簡潔化如在立體幾何中求角的大小、判定直線與直 線或直線與平面的位置關(guān)系時,可以商定一些基本的長度空間直角坐標(biāo)些建立,可 以選取任意一點(diǎn)和一個單位正交基底,但詳細(xì)設(shè)置時仍應(yīng)留意幾何體中的點(diǎn)、線、面的 特點(diǎn),把它們放在恰當(dāng)?shù)奈恢?才能便利運(yùn)算和證明2

28、. 出示例 2：課本 P107 例 3 分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進(jìn)行怎樣的向量運(yùn)算？3. 出示例 3：課本 P109 例 4 分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進(jìn)行怎樣的向量運(yùn)算？4. 出示例 4：證：假如兩條直線同垂直于一個平面,就這兩條直線平行改寫為：已知：直線 OA平面 ,直線 BD平面 ,O、B為垂足求證： OA/ BD證明：以點(diǎn) O為原點(diǎn),以射線 OA為非負(fù) z 軸,建立空間直 角坐標(biāo)系 O- xyz,i , j , k 為沿 x 軸, y 軸, z 軸的坐標(biāo)向量,精品教學(xué)教案且設(shè) BD , , x y z j , , x y z 0,1,0y0, BD , BD i , BD j , B

29、D i , , x y z 1,0,0 x0, BD BD 0,0, z BD zk即 BD / k由已知 O、B為兩個不同的點(diǎn), OA/ BD5. 法向量定義：假如表示向量a 的有向線段所在直線垂直于平面 ,就稱這個 向量垂直于平面 ,記作 a 假如 a ,那么向量 a 叫做 平面 的法向量 6. 小結(jié)：向量法解題“ 三步曲”：（1）化為向量問題（ 2）進(jìn)行向量運(yùn)算（ 3）回到圖形問題. 三、鞏固練習(xí) 作業(yè)：課本 P111、 習(xí)題 A 組 1 、2 題. 3.2 立體幾何中的向量方法（三）教學(xué)要求 ：向量運(yùn)算在幾何證明與運(yùn)算中的應(yīng)用把握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法,并能解簡潔的立體幾何問題教學(xué)

30、重點(diǎn)： 向量運(yùn)算在幾何證明與運(yùn)算中的應(yīng)用精品教學(xué)教案教學(xué)難點(diǎn)： 向量運(yùn)算在幾何證明與運(yùn)算中的應(yīng)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入1. 法向量定義： 假如直線 l 平面 , 取直線 l 的方向向量為 a ,就向量 a 叫作平面 的法向量（ normal vectors）. 利用法向量,可以奇妙的解決空間角度和距離 . 2. 爭論：如何利用法向量求線面角？ 面面角？直線 AB與平面 所成的角,可看成是向量 AB所在直線與平面 的法向量 n 所在直線夾角的余角, 從而求線面角轉(zhuǎn)化為求直線所在的向量與平面的法向量的所成的線線角,依據(jù)兩個向量所成角的余弦公式cosa ba b,我們可以得到如下向量法的 公式 ：a

31、 bsincosAB nAB n. ABn3. 爭論：如何利用向量求空間距離？兩異面直線的距離,轉(zhuǎn)化為與兩異面直線都相交的線段在公垂向量上的投影長. . 點(diǎn)到平面的距離,轉(zhuǎn)化為過這點(diǎn)的平面的斜線在平面的法向量上的投影長二、例題講解：1. 出示例 1：長方體 ABCD A B C D 中,AD= AA =2,AB=4,E、F 分別是 A D 、AB的中點(diǎn), O 是 BC 1 與 B C 的交點(diǎn) . 求直線OF與平面DEF所成角的正弦 . 解：以點(diǎn) D為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),DA、DC、DD 為坐n 2,2,1. 標(biāo)軸,建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系. 就D2,2,0,E1,0,2,F2,2,0,O

32、1,4,1,C0,4,0. 設(shè)平面 DEF的法向量為n , , x y z ,就nDE,而DE1,0,2,DF2,2,0. nDFn DE0,即x2zy00, 解得x y z2: 2:1, n DF02x2nOF|n OF| cos,而OF1, 2, 1. cos|nOF| 22 122 21 17 6n|OF2212 1 222 118精品教學(xué)教案所以,直線 OF與平面 DEF所成角的正弦為 7 6 18. 2. 變式： 用向量法求：二面角 A 1 DE O余弦； OF與 DE的距離； O點(diǎn)到平面 DEF的距離. 三、鞏固練習(xí) 作業(yè)：課本 P112、 習(xí)題 A 組 5 、6 題. 法向量在立

33、體幾何中的應(yīng)用 向量在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用很廣泛,在解析幾何與立體幾何里的應(yīng)用更為直接,用向 量的方法特殊便于爭論空間里涉及直線和平面的各種問題；將向量引入中學(xué)數(shù)學(xué)后,既 豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容,拓寬了中同學(xué)的視野；也為我們解決數(shù)學(xué)問題帶來了一套全新的 思想方法向量法； 下面就向量中的一種特殊向量法向量,結(jié)合近幾年的高考題,談?wù)勂湓诹Ⅲw幾何有關(guān)問題中的應(yīng)用；精品教學(xué)教案一、平面的法向量的定義假如表示向量 a 的有向線段所在直線垂直于平面,就稱這個向量 a 垂直于平面,記作 a ,假如 a ,那么向量 a 叫做平面的法向量二、平面的法向量的求法1、在幾何體中找平面的垂線對應(yīng)的有向線段作為平面的法向量

34、；2、在空間直角坐標(biāo)系中利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來求法向量；問題 : 已知不共線的三點(diǎn)坐標(biāo) , 如何求經(jīng)過這三點(diǎn)的平面的一個法向量 . 在空間直角坐標(biāo)系中 , 已知 A 3,0,0, B 0,4,0 , C 0,0,2 , 試求平面 ABC的一個法向量 . 解 : 設(shè)平面 ABC 的一個法向量為 n , x y z , 就 n AB,n AC . AB 3,4,0 , AC 3,0,2 , x y z , 3,4,0 0 即 3 x 4 y 0 , x y z , 3,0,2 0 3 x 2 z 0取 x 4 , 就 n 4,3,6n 4,3,6 是平面 ABC 的一個法向量 . 問題 :如何求平面

35、的法向量 . 設(shè)平面的法向量為 n x y z , 找出 求出 平面內(nèi)的兩個不共線的向量的z P 坐標(biāo) a a b c 1 , b a b c 2 依據(jù)法向量的定義建立關(guān)于 x y z 的方程組n a0n b0解方程組 , 取其中的一個解 , 即得法向量 .練習(xí)：在三棱錐 PABC中, PA平面 ABC,BAC=90 ,AB=2,AC=PA=1,xB 2A C y 求平面 PBC的一個法向量；寫出平面 ABC的一個法向量；圖P 三、利用平面的法向量求空間角nA H 1、求直線和平面所成的角；如圖（圖 2）所示,設(shè) PA與平面的法向量 n所在直線所成的角為 ,就 PA與所成的角為圖 2 ,精品教

36、學(xué)教案（其中cos|cosPA ,n|）a b ,平面,的法向量分別為所以：設(shè)直線,l m 的方向向量分別為u v ,就2, sina u a u；直線 l 與平面所成的角為 0例 2如圖（圖 3）所示,在四棱錐PABCD中,底面 ABCD是正方形,PA底面 ABCD,AEPD,EF/CD,PA=3AB,P z求直線 AC與平面 AEFB所成角的正弦值；E 2.直線與直線所成的角：2, cosa bA F D y B C x圖 3 兩直線 l , m 所成的角為0；,向量a b3.求二面角的大??；設(shè) n 1,n 2 分別為平面 ,的大小為的法向量,二面角l（圖 4）或（圖 5）圖 5 n 1, n 2的夾角為n,就有nn圖 4 lln二面角 l 的大小為 0, cosu v u v.z 例 3如圖（圖 6）所示,在棱長為1 的正方體D1 CABABCDA1B1C1D1 中,AC與 BD 交于點(diǎn) E,C1B 與F CB1 交于點(diǎn) F；（1）求證： A1C平面 DBC1 （2）求二面角 BEFC的大小；B x