1、高等數(shù)學(xué)辦法主講教師: 王升瑞 第一講1第1頁(yè)第1頁(yè)唯有奮斗最風(fēng)流!惜時(shí)如金2第2頁(yè)第2頁(yè)此刻打盹，你將做夢(mèng)，學(xué)習(xí)時(shí)痛苦是暫時(shí)，未學(xué)到痛苦是終身；學(xué)習(xí)這件事，不是缺乏時(shí)間，學(xué)習(xí)不是人生所有，請(qǐng)享受無(wú)法回避痛苦；哈佛圖書館訓(xùn)誡但是人生一部分;只有比別人更早，更勤奮努力，此刻學(xué)習(xí)，你將圓夢(mèng)；而是缺乏努力；學(xué)習(xí)也無(wú)法征服，還能做什么呢？才干嘗到成功滋味；3第3頁(yè)第3頁(yè)誰(shuí)也不能隨隨便便成功，狗同樣地學(xué)習(xí)，紳士同樣地玩；今天不走，明天要跑；教育程度代表收入；哈佛圖書館訓(xùn)誡沒(méi)有艱苦，便無(wú)所獲。它來(lái)自徹底自我管理和毅力；即使現(xiàn)在，對(duì)手也不斷地翻動(dòng)書頁(yè)；4第4頁(yè)第4頁(yè)培根說(shuō)：歷史使人聰明，詩(shī)歌使人機(jī)智，數(shù)學(xué)使

2、人精細(xì)。馬克思：一門科學(xué)只有當(dāng)它達(dá)到了能夠成功地利用數(shù)學(xué)，才算真正發(fā)展了。伽利略認(rèn)為：宇宙像一本用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫成大書，假如不掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言，就像在黑暗迷宮里游蕩，華羅庚：數(shù)學(xué)是最珍貴研究精神之一?？茖W(xué)家語(yǔ)錄什么也看不清。勤能補(bǔ)拙是良訓(xùn)，一分辛勞一分才。5第5頁(yè)第5頁(yè)華羅庚 （1910 - 1985）“聰明在于勤奮, 天才在于積累”“學(xué)而優(yōu)則用, 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)”“由薄到厚 ,由厚到薄”注意問(wèn)題：認(rèn)真聽課，扼要統(tǒng)計(jì)， 多做題目，總結(jié)規(guī)律。6第6頁(yè)第6頁(yè)一提到數(shù)學(xué)， 諸多人首先想到是復(fù)雜公式、大量計(jì)算、漫天數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)、尚有百思不得其解數(shù)學(xué)題。對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏懼、反彈心理。. 這與中國(guó)高中教育偏重于對(duì)于知識(shí)灌輸，

3、而非對(duì)于知識(shí)掌握密切相關(guān)?；趹?yīng)試壓力，數(shù)學(xué)教育尤其容易演變?yōu)楣潭愋皖}海戰(zhàn)術(shù)，某種意義上死記硬背，而非激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維，這在主線上就是與數(shù)學(xué)教育相背道而馳。甚至成為這樣使學(xué)生7第7頁(yè)第7頁(yè)其實(shí)數(shù)學(xué)背后思想， 精髓。 數(shù)學(xué)證實(shí)辦法才是數(shù)學(xué)都是商定俗成、很少歧義概念。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)注是邏輯推演能力。數(shù)學(xué)是一個(gè)表述簡(jiǎn)練、清楚、歧義較少邏輯體系。在數(shù)學(xué)中，不但各種數(shù)字、函數(shù)，就連加、減、乘、除，不小于、小于、等于，以及指數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分等符號(hào)本身，也用清楚、直觀坐標(biāo)或圖形表示比較復(fù)雜邏輯關(guān)系。 而幾何辦法，更是能學(xué)習(xí)目的是得到某種擬定感和安全感，就是一個(gè)戰(zhàn)場(chǎng)，身處戰(zhàn)場(chǎng)絕對(duì)不是一安全事， 并且上學(xué)有利于得

4、到某種擬定感和安全感。不是為了考高分念書，而是為了不逃避痛苦與討厭事。生活本質(zhì)上活脫脫8第8頁(yè)第8頁(yè)科學(xué)辦法是打開科學(xué)殿堂大門鑰匙 , 是由必定王國(guó)通向自由王國(guó)橋梁。數(shù)學(xué)辦法是數(shù)學(xué)靈魂高等數(shù)學(xué)辦法（上）9第9頁(yè)第9頁(yè)參 考 書張曉寧、李安昌： 高等數(shù)學(xué)辦法 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，.10第10頁(yè)第10頁(yè)目 錄第一講 高等數(shù)學(xué)中分析問(wèn)題和處理問(wèn)題 辦法第二講 研究函數(shù)與極限基本辦法第三講 導(dǎo)數(shù)計(jì)算辦法及微分中值定理應(yīng)用第四講 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用辦法第五講 積分學(xué)概念、性質(zhì)和不定積分 計(jì)算法第六講 定積分計(jì)算、證實(shí)和解應(yīng)用問(wèn)題 辦法第七講 試題類型及解題辦法分析11第11頁(yè)第11頁(yè)序言一. 為何要學(xué)“高等數(shù)學(xué)辦

5、法 (參考序言第一段)1. 科學(xué)辦法主要性科學(xué)是什么 , 為何:技術(shù)做什么 , 怎么做:科學(xué)辦法橋梁與鑰匙。反應(yīng)自然、社會(huì)、思維客觀規(guī)律分科知識(shí)體系。進(jìn)行物資資料生產(chǎn)所憑借辦法和能力。12第12頁(yè)第12頁(yè)數(shù)學(xué)思維體操科學(xué)語(yǔ)言生活需要(思緒)(表示)(應(yīng)用)數(shù)學(xué)辦法對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律結(jié)識(shí)思維辦法解題辦法(是數(shù)學(xué)靈魂)2. 數(shù)學(xué)辦法含義13第13頁(yè)第13頁(yè)二. “高等數(shù)學(xué)辦法”結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)辦法(參考序言第二、三段)第一部分 (第一至第七章)每節(jié)包括: 辦法指導(dǎo), 實(shí)例分析, 相關(guān)問(wèn)題第二部分 (第八至第十一章)包括綜述和提升(從古典數(shù)學(xué)向近代數(shù)學(xué)靠攏 )學(xué)習(xí)辦法:1. 掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)辦法相結(jié)合；2. 注

6、重分析問(wèn)題和處理問(wèn)題辦法；3. 學(xué)習(xí)要縱橫結(jié)合 , 著眼于提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。14第14頁(yè)第14頁(yè)第一講 高等數(shù)學(xué)中 分析問(wèn)題 和 處理問(wèn)題 辦法15第15頁(yè)第15頁(yè)一. 數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)建模辦法 ( P511 , 第一節(jié) )數(shù)學(xué)模型客觀實(shí)際問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律性數(shù)學(xué)含有形式化、符號(hào)化、簡(jiǎn)練化特點(diǎn).是一個(gè)高度抽象模型. 有狹義和廣義兩種解釋 .數(shù)學(xué)建模辦法 試驗(yàn)歸納法 理論分析法 ( P514 )物理模型數(shù)學(xué)模型求解和分析結(jié)構(gòu).許多物理中概念都要借助于高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)才干說(shuō)清楚。16第16頁(yè)第16頁(yè)可無(wú)限迫近比如 , 為何用及語(yǔ)言定義極限 ? 用圓內(nèi)接正多邊形面積迫近圓面積A .圓內(nèi)接正n邊形面積為(正整數(shù)

7、) ,當(dāng)時(shí),有記作精度要求邊數(shù)足夠多找出利用極限知識(shí)可求出 :17第17頁(yè)第17頁(yè) 測(cè)量圓面積直接觀測(cè)量為r間接觀測(cè)量為A.半徑真值為面積真值為測(cè)量圓半徑得計(jì)算圓面積為任給精度要使尋找精度讓記作18第18頁(yè)第18頁(yè)再如 , 椅子穩(wěn)定問(wèn)題 (P515P516)假設(shè): 四條腿同樣長(zhǎng) ; 地面為連續(xù)曲面 .建模:設(shè) A , C 兩腳與地面距離之和為B , D 兩腳與地面距離之和為不妨設(shè)且對(duì)任意有證實(shí)存在使19第19頁(yè)第19頁(yè)證實(shí): 設(shè)又由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理可知 , 存在使即又知因此思考: 對(duì)長(zhǎng)方形板凳穩(wěn)定問(wèn)題如何考慮?不妨設(shè)且對(duì)任意有證實(shí)存在使（轉(zhuǎn)后，對(duì)角線互換）。提醒：相鄰兩腳之和，并旋轉(zhuǎn)1800。

8、20第20頁(yè)第20頁(yè)二 .幾種慣用分析問(wèn)題辦法 (P444-455)1. 簡(jiǎn)化辦法 2. 直觀分析法3. 逆向分析法 4. 類比法1. 簡(jiǎn)化辦法復(fù)雜問(wèn)題 簡(jiǎn)樸問(wèn)題分解法變換法換元法遞推法轉(zhuǎn)化法21第21頁(yè)第21頁(yè)慣用幾種初等函數(shù)公式22第22頁(yè)第22頁(yè)23第23頁(yè)第23頁(yè)單調(diào)遞減。 提醒: 令則轉(zhuǎn)化為討論下述函數(shù)在 t 0 時(shí)單調(diào)遞減 .注意闡明 1. 與含有相同極值點(diǎn) , 故可用后者代替前者討論極值 2. 有些復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題 , 可利用構(gòu)成它簡(jiǎn)樸例1. 證實(shí)問(wèn)題與單調(diào)性問(wèn)題 . 函數(shù)鏈單調(diào)性傳遞得出 . 如 P445例1.24第24頁(yè)第24頁(yè) 設(shè), 求提醒：將函數(shù)化為則例2.25第25頁(yè)

9、第25頁(yè)2. 直觀分析法 通過(guò)特例或圖形，尋找規(guī)律、辦法和結(jié)論. 與幾何形體相關(guān)問(wèn)題應(yīng)盡也許畫圖尋求啟示. 相關(guān)幾何應(yīng)用畫出圖形找?guī)缀侮P(guān)系 . 填空題和選擇題可用增強(qiáng)條件辦法找結(jié)論.26第26頁(yè)第26頁(yè)圖形關(guān)于例1. 設(shè)定義在實(shí)數(shù)域上函數(shù)直線及對(duì)稱 , 試證為周期函數(shù) . ( P.447 例4 )直觀分析:任取一個(gè)實(shí)數(shù)因此有是周期為函數(shù) .它關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為而關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為顯然可猜想27第27頁(yè)第27頁(yè)圖形關(guān)于例1. 設(shè)定義在實(shí)數(shù)域上函數(shù)直線及對(duì)稱 , 試證為周期函數(shù) . ( P.447 例4 )證:有因此是周期為函數(shù) .28第28頁(yè)第28頁(yè)拉格朗日中值定理(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)

10、滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使思緒: 利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,在 a , b 上連續(xù) ,在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo),且證:問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立 .證畢29第29頁(yè)第29頁(yè)漸近線若則有水平漸近線若則有垂直漸近線若則有斜漸近線30第30頁(yè)第30頁(yè)例2.如何求函數(shù)斜漸近線分析:由圖可知, 若曲線有斜漸近線則必有從而31第31頁(yè)第31頁(yè)比如 , 求曲線斜漸近線。解:因此曲線有斜漸近線32第32頁(yè)第32頁(yè)斜漸近線方程。解 所求 斜漸近線方程為 例3、求曲線考研33第33頁(yè)第33頁(yè)練習(xí)、曲線漸近線條數(shù)（）；

11、A、1； B、2； C、D、3. 則為垂直漸近線；，則為水平漸近線，解考研故沒(méi)有斜漸近線。34第34頁(yè)第34頁(yè)例4. 求笛卡兒葉形線漸近線 . (P100 例13)解: 令 y = t x ,代入原方程得曲線參數(shù)方程 :因因此笛卡兒葉形線有斜漸近線即35第35頁(yè)第35頁(yè)在上連續(xù), 在內(nèi)存在 , 連接兩點(diǎn)直線交曲線于且試證至少存在一點(diǎn)使提醒:如圖所表示, 有在上應(yīng)用Rolle定理。C對(duì)（ P118 題7 ）例5.已知36第36頁(yè)第36頁(yè)逆向思維反推 執(zhí)果溯因反證 利用正命題與逆否命題等價(jià)，反例 找反例闡明原命題不正確3. 逆向分析法多用于否命題。37第37頁(yè)第37頁(yè)設(shè)函數(shù) 在 0,1 上二階可導(dǎo)

12、 , 且證實(shí)至少存在一點(diǎn) ,使 提醒: 設(shè)輔助函數(shù)在0,1上滿足 Rolle 定理 ,可知有 , 再對(duì) F(x) 在從結(jié)論入手, 注意到利用上用 Rolle 定理.例1.38第38頁(yè)第38頁(yè)在 上連續(xù),在 內(nèi)可導(dǎo),且,試證存在 使得提醒:轉(zhuǎn)化為證上滿足 Lagrange 定理?xiàng)l件 ,使則只需證實(shí)可見(jiàn)只要對(duì)上用 Cauchy 中值定理.( P450,考研98 )由于在則有及在例2. 設(shè)函數(shù)39第39頁(yè)第39頁(yè)無(wú)實(shí)根.( P451 例7 )提醒:用反證法. 假設(shè)有實(shí)根代入上式兩邊異號(hào), 矛盾, 假設(shè)不真!利用顯然則有例3. 證實(shí)方程40第40頁(yè)第40頁(yè) 類比是找相同性, 是發(fā)覺(jué)問(wèn)題和處理問(wèn)題主要辦

13、法。 4. 類比方法41第41頁(yè)第41頁(yè)計(jì)算極限提醒:類比下列極限例 1( P453 例9)42第42頁(yè)第42頁(yè)計(jì)算極限提醒:類比下列極限例 1( P453 例9)43第43頁(yè)第43頁(yè)利用Lagrange 微分中值定理易推出 :若在 a , b 上嚴(yán)格單調(diào)增長(zhǎng) , 則例2. 證實(shí)下列不等式 :44第44頁(yè)第44頁(yè)提醒: 將不等式改寫為設(shè)易證若在 a , b 上嚴(yán)格單調(diào)增長(zhǎng) , 則45第45頁(yè)第45頁(yè)高等數(shù)學(xué)辦法主講教師: 王升瑞 第二講46第46頁(yè)第46頁(yè)三.幾種慣用證題辦法1.分析綜合法2. 設(shè)輔助函數(shù)法3. 反證法 證實(shí)題是考核基本理論、基本運(yùn)算掌握情況和邏輯推理能力主要題型通過(guò)“執(zhí)果溯因

14、”尋找證實(shí)路徑,利用“由因?qū)Ч睂懗鲎C實(shí)過(guò)程.1. 分析綜合法47第47頁(yè)第47頁(yè)設(shè) 為正實(shí)數(shù),試證提醒:為上上凹函數(shù)在 上，( P473 例12 )例1.滿足48第48頁(yè)第48頁(yè)在 上可導(dǎo), 且 , 證實(shí)至少存在一點(diǎn) 使提醒: 由于可考慮對(duì)函數(shù)在區(qū)間 a , b 上用 Cauchy 中值定理 .( P81 例10 )例2 設(shè)49第49頁(yè)第49頁(yè)利用輔助函數(shù)證實(shí)等式或不等式是一個(gè)主要證實(shí)辦法.如:尋找輔助函數(shù)普通用逆向分析法. 通過(guò)設(shè)輔助函數(shù), 利用微分或積分中值定理 證實(shí)等式或方程零點(diǎn)存在. 通過(guò)討論輔助函數(shù)單調(diào)性或最值,證實(shí) 相關(guān)不等式.2. 設(shè)輔助函數(shù)辦法50第50頁(yè)第50頁(yè)例1. 設(shè)在

15、 上連續(xù)且可導(dǎo), 并有 n 個(gè)不同零點(diǎn)證實(shí): 對(duì)任意常數(shù) a ,在 上至少有 提醒: 設(shè)輔助函數(shù)在上用 Rolle 定理 . n -1 個(gè)不同零點(diǎn).51第51頁(yè)第51頁(yè)設(shè)函數(shù) 和 在 上二階可導(dǎo), 且提醒:只要證且依據(jù)乘積導(dǎo)數(shù)法則想到設(shè)輔助函數(shù)(用反證法)再證實(shí) 上滿足 Rolle 定理?xiàng)l件試證至少存在一點(diǎn)使( P475 例15,考研95 )例 2.即52第52頁(yè)第52頁(yè)設(shè) , 求證提醒:辦法1. 設(shè)證實(shí)它在單調(diào)增;辦法2. 設(shè)證實(shí)它在單調(diào)減。例3.53第53頁(yè)第53頁(yè)3. 反證法反證法是一個(gè)逆向分析辦法,是通過(guò)否認(rèn)命題結(jié)論 ,引導(dǎo)出與題設(shè)條件或已知結(jié)論矛盾結(jié)果來(lái)證實(shí)明原命題正確性.反證法多適合用