1、9/19/20221北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院第 7 章 彎曲變形（課本第9章的內(nèi)容）9/19/20222北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7-1 梁的變形和位移變形后梁軸線撓曲線 撓度：v ，正負(fù)定義 變形后梁截面：仍為平面 梁截面轉(zhuǎn)角： ,正負(fù)定義PxvCqC1變形前梁截面：平面v9/19/20223北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院轉(zhuǎn)角和撓曲線確定梁的位移，關(guān)鍵是確定撓曲線方程v(x)。 PxvCqC1變形前梁截面：平面v9/19/20224北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7-2 小撓度曲線微分方程注意：坐標(biāo)的選取與正負(fù)號(hào)的關(guān)系9/19/20225北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7-3 用積分法求梁的位移梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程： 其中

2、C、D為積分常數(shù)，由邊界條件和連續(xù)條件確定。注意：積分是不定積分！ 9/19/20226北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-1】簡(jiǎn)支梁AB受力如圖所示(圖中a b)。求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并確定撓度的最大值。9/19/20227北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-1】 【解】1）先求彎矩方程AC段 CB段 2) 進(jìn)行積分 AC段CB段9/19/20228北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-1】 【解】3）用邊界條件和連續(xù)條件確定四個(gè)積分常數(shù)C1、D1、C2、D2 。邊界條件連續(xù)條件解得連續(xù)條件存在于分段的情況！邊界條件所有情況都存在！9/19/20229北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-1】 【解】4）為求vm

3、ax , 令1(x)=0 (由于假設(shè)ab,可以判斷出vmax將發(fā)生在AC段內(nèi)) ,解得:9/19/202210北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-2】求圖示簡(jiǎn)支梁的撓曲線方程，并求|v|max和|max。 9/19/202211北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-2】 【解】（1）求支座反力，列彎矩方程 AC段： CB段： 9/19/202212北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-2】 【解】（2）列出撓曲線近似微分方程， 并進(jìn)行積分 AC段： CB段： 9/19/202213北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-2】 【解】（3）確定積分常數(shù) 根據(jù)連續(xù)條件: 根據(jù)邊界條件: 9/19/202214北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)

4、院邊界條件的思考【例7-3】 懸臂梁受力如圖所示.求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,并確定最大轉(zhuǎn)角 和最大撓度?！纠?-4】簡(jiǎn)支梁在左端支座處承受集中力偶作用,如圖所示.求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并確定最大轉(zhuǎn)角 和最大撓度。9/19/202215北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院1、范欽珊課本 習(xí)題9-3 P238（C點(diǎn)改為滑動(dòng)支座約束，作為一道作業(yè)題，求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。）9/19/202216北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院1、蔣平課本 例11-2 P3442、范欽珊課本 圖9-13 P2359/19/202217北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院積分法求彎曲位移的解題步驟：（1）用整體平衡條件求出梁的支座反力；（2）用截面法求

5、出梁的彎矩方程；（3）對(duì)撓曲線近似微分方程進(jìn)行不定積分得到轉(zhuǎn)角 方程和撓度方程；（4）利用邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)；（5）求出設(shè)定截面的撓度和轉(zhuǎn)角；9/19/202218北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7-4 用疊加法求梁的位移在材料服從胡克定律和小變形的條件下，由小撓度曲線微分方程得到的撓度和轉(zhuǎn)角均與載荷成線性關(guān)系。因此，當(dāng)梁承受復(fù)雜載荷時(shí)，可將其分解成幾種簡(jiǎn)單載荷，利用梁在簡(jiǎn)單載荷作用下的位移計(jì)算結(jié)果，疊加后得到梁在復(fù)雜載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，這就是疊加法。9/19/202219北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-5】簡(jiǎn)支梁AB受力如圖所示。試用疊加法求梁中點(diǎn)的撓度 和A支座處的轉(zhuǎn)角 。9/19/2

6、02220北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-5】【解】查表9-1 課本P2229/19/202221北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-6】例7-6 按疊加原理求C點(diǎn)撓度。q00.5L0.5LxvC（強(qiáng)調(diào)不能用合力來解的原因?。?/19/202222北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-6】 【解】解：載荷無限分解如圖查表疊加q00.5L0.5LxdxxvCy9/19/202223北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院關(guān)于求解梁彎曲變形的其他一些方法：（1）奇異函數(shù)法； （參見材料力學(xué)，范欽珊主編，高教 出版社，2000年2月）（2）能量法； （參見工程力學(xué)基礎(chǔ)（I），蔣平編著，高教出版社，2003年2月）9/19/20222

7、4北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7-5 梁的剛度條件梁的設(shè)計(jì)中，除了需要滿足強(qiáng)度條件外，在很多情況下，還要將其彈性變形限制在一定范圍內(nèi)，即滿足剛度條件。見課本表-2 P2319/19/202225北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-7】車床主軸如圖所示。在圖示平面內(nèi)，已知切削力P1=2KN，嚙合力P2=1KN；主軸的外徑D=80mm，內(nèi)徑d=40mm，l=400mm，a=200mm；C處的許用撓度v=0.0001l，軸承B處的許用轉(zhuǎn)角=0.001rad；材料的彈性模量E=210GPa。試校核其剛度。 9/19/202226北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-7】 【解】【解】將主軸簡(jiǎn)化為如圖b所示的外伸梁，外伸部

8、分的抗彎剛度EI近似地視為與主軸相同。（1）計(jì)算變形（采用疊加法） 因P1而引起的C端的撓度和截面B的轉(zhuǎn)角（圖c）分別為： 9/19/202227北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-7】 【解】因P2而引起的截面B的轉(zhuǎn)角和C端的撓度（圖d）分別為： 9/19/202228北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-7】 【解】由疊加法，C端的總撓度為： B處截面的總轉(zhuǎn)角為 ：9/19/202229北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例7-7】 【解】（2）校核剛度主軸的許用撓度核許用轉(zhuǎn)角為： v =0.0001l=0.04mm=0.001rad9/19/202230北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7-7 提高梁剛度的措施1)改善結(jié)構(gòu)受

9、力形式，減小彎矩M；2)增加支承，減小跨度l；3)選用合適的材料，增加彈性模量E。但因各種鋼材的彈性模量基本相同，所以為提高梁的剛度而采用高強(qiáng)度鋼，效果并不顯著；4)選擇合理的截面形狀，提高慣性矩I，如工字形截面、空心截面等。 9/19/202231北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院超靜定梁的處理方法：變形協(xié)調(diào)方程+變形方程+靜力學(xué)平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。q0LAB*7-8 簡(jiǎn)單超靜定梁的求解方法9/19/202232北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院解：建立靜定基 確定超靜定次數(shù)，用約束力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)靜定基。=q0LABLq0MABAq0LRBAB或【例7-8】9/19/202233北京郵電大學(xué)自

10、動(dòng)化學(xué)院幾何方程變形協(xié)調(diào)方程+q0LRBAB=RBABq0AB9/19/202234北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程變形與力的關(guān)系變形協(xié)調(diào)方程9/19/202235北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院q0LRBAB求解其它問題：反力、應(yīng)力、變形等9/19/202236北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院=q0LABLq0MABA關(guān)于靜定基的思考如果我們選擇如左圖所示的靜定基，這時(shí)該如何求解？9/19/202237北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院例7-9 ：結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力q0LBCLABC【例7-9】9/19/202238北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院解：建立靜定基=LBCq0LABCq0LRBAB=RBAB+q0AB【例7-9】【解】9/19/202239北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院變形協(xié)調(diào)方程：=LBCq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB注意：負(fù)號(hào)9/19/20224