1、9. 非均勻等離子體中的。3。9.1 多尺度分（multi-ysis9. 非均勻等離子體中的。3。9.1 多尺度分（multi-ysis）方法9.1.1 雙時(shí)間尺度分（asymptoticmethod里只做簡(jiǎn)單的介紹。對(duì)這種方法的詳盡了解可以參考有關(guān)的書(shū)籍（漸進(jìn)方法：在流體力學(xué)中的應(yīng)用，友，1983E(t) E(0;0 i (9- 上的算子（矩陣E(t) E(0;0 i (9- 上的算子（矩陣） () 來(lái)說(shuō)有 即如在0 附近展開(kāi) ，使(9-()( )( ) O()2 ，00其中 等價(jià)于算i/ 0 O(c.c.(9- (9-2A(t)B(t) 在時(shí)間間隔t 上做平均這個(gè)時(shí)間間隔t 的“周期10，

2、但是遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于慢時(shí)間尺度1/ 0 ，即1 0t 1/ 。011 * A(t)B(t) AB A B (9-4t也就是說(shuō)，在這個(gè)時(shí)間間隔里，可以近似將隨時(shí)間慢變的“幅度”A(B(9.1.2 能量密度及能量流密BE1BEB 4 也就是說(shuō)，在這個(gè)時(shí)間間隔里，可以近似將隨時(shí)間慢變的“幅度”A(B(9.1.2 能量密度及能量流密BE1BEB 4 J1 E(9-c c 出發(fā)得cEB B JE0(9-t 率JE EE（E2 ，在各向同性等離子體中）第三項(xiàng)Poynting 矢量流（即電磁場(chǎng)能量流）寫(xiě)1i c.c. (9-E 0121i c.c. (9-B 012利用上面（9-05）給出的“時(shí)間平均”結(jié)果，忽略空

3、間變化） H E 0 *(9-這里等離子體中的“波能”密度（包括電磁波能量密度與“波-粒子相互作用 1 | |2 | |2 i * H 1| E E (9-0 1 | |2 | |2 i * H 1| E E (9-0 |160其中，矩陣算子MiM （及其轉(zhuǎn)置共軛MT* iM 比如，（HAHA其轉(zhuǎn)置共軛，包括了“對(duì)稱的”Hermitian 分 1MMT*(9-H2和稱的”非Hermitian 分M 1 MMT*(9-AM MH iMAMT* iM (9-利用前面的“雙尺度”分析將作用在慢變物理量（幅度）上的矩陣算子M 1MMT*M( )O2(9-H021 MMT* M(0) (9-M。A0顯然

4、，在慢變近似下稱非Hermitian 分量是 O() 的數(shù)量級(jí)可以看出，波能密度隨時(shí)間的變化是介電張量() 稱非Hermitian 1|E | |20(9-20 16 t0 0 1|E | |20(9-20 16 t0 0(0H)/| |2 | |20(9-| |2| |2 e2t0(9-00 (9-。(0H)/(0R)/其中的(0R ) / 0 表征波能，而0I 表征因?yàn)椴?粒子相互作用引起的功率方程（9-18）的物理圖像是（1）有(0R0 0，則0I 0表示功率損失導(dǎo)致波的衰減；而0I 0，有(0R)/00，則0I0表示功率損失，導(dǎo)致波的衰減；而0I 0 表示功率增益，導(dǎo)致波的增長(zhǎng)。Lan

5、dau阻尼率 。R/9.1.3 雙時(shí)空尺度分E(x,t)E(0,k0;t,x)e 0 i(k x t1(9-若用xt來(lái)表示時(shí)空的快變，而 x， tE(xtE(0k0;)e 0 i(k x t(9-類似地，對(duì)作用在E 上的若用xt來(lái)表示時(shí)空的快變，而 x， tE(xtE(0k0;)e 0 i(k x t(9-類似地，對(duì)作用在E 上的算子（矩陣）(k) 有(,k)(0 i/,k0 i/)E (9-即，當(dāng)算子(k(0 k0 k在 0k k0 于idd ，而k等價(jià)于iddM MH iMAMH MH (0,k0)O 2MA O(9-k(kE(,k) (,k)E(,k)c可以寫(xiě)出其零階（主導(dǎo)階）D(0,k

6、0) k k k I ,k ) E02 0 ,k k k k I20(9- 0 2|B| 2k E E(9-0H209.1.4 群速 1E E |B| E *0 16 t0 10E E E BE(9-16 H9.1.4 群速 1E E |B| E *0 16 t0 10E E E BE(9-16 HP2W (9- 1|B| E 0 160( )(2 )110 H 0 H *(9-波能流密度（等價(jià)于 Poynting 矢量P 1 cReE* 1 * 8 2 0 0cReE* * (9-8 2 01 E E *2 (9-0A。 E W2 0與上一小節(jié)相同， 有著類似Landau阻尼的性質(zhì) (9-W

7、速度VW (9-W速度VW E V V B (9-*Re 2 09.2 幾何光學(xué)近似，光線方9.2.1 幾何光學(xué)近可以把波（的電矢量）E(x,t) E(,)ei(k9.2 幾何光學(xué)近似，光線方9.2.1 幾何光學(xué)近可以把波（的電矢量）E(x,t) E(,)ei(kxt)1(9-保持時(shí)空變量 x t 作為快變時(shí)空尺度，并將慢變時(shí)空尺度表示為這里 x， t（wavelet 從上節(jié)可知， (k) 是快尺度下的色散關(guān)系即波方程的最低（零階（quasi-particle度“軌跡（trajectory）， (k) V dx (9-Wg（geometric approximation且方程（9-27a）稱為

8、“光跡方程 (k;,)(9-k k(,(9-（準(zhǔn)粒子）（Ray 9.2.2 光線方光線方程（組）dd (k;,)(9-k k(,(9-（準(zhǔn)粒子）（Ray 9.2.2 光線方光線方程（組）dd (kk 不失一般性僅假設(shè)空間慢變尺度的存在，則可以寫(xiě)（9-26）E(xt()ei(k()xt) E()eiS (x,t) (9- （eikonalD D(k;(9-D |D| D(k;0 (k對(duì)于波矢k k(D(k;) 0dD D D d Ddk Dd 0(9- 即Ddk Dd Ddk D 0(9-(9-9.2.3 “程函”表只E(xt) eiS(x,t)(9-S (x,t)S (9-9.2.3 “程函”

9、表只E(xt) eiS(x,t)(9-S (x,t)S 0 x (xt1 4i (9-S /t (xt) S 1/2c01/2c(9-pk(x,dS S dx 0(9-x dx 1/2cV (9-pk (9-， t (9-9.2.4 “準(zhǔn)粒子”表E(x,t) eiS(x,t)(9-D|D| D(x,t;k,)0(9-k k(x,t)(9- t (x,t;k)(9-9.2.4 “準(zhǔn)粒子”表E(x,t) eiS(x,t)(9-D|D| D(x,t;k,)0(9-k k(x,t)(9- t (x,t;k)(9-k2 2(9- (9-，。 k kdx kx S( S )t kk (9- k xx d

10、dx (9-x 從光線方程組（9-27，D(x,t;k,) (x,t;k)(9-k k(x, (9-d (x,t;k(9-顯然容易看出，k k(x, (9-d (x,t;k(9-顯然容易看出，波包的“色散關(guān)系 (x, t;k) 具有“能量”27，即方程組加上“光跡方程（9-27a，可以寫(xiě)成Hamiltonian 方程的形式d dH ，dx dx ， 這個(gè)工作與量子力學(xué)發(fā)展過(guò)程中對(duì)德布羅意（de ）波的“準(zhǔn)經(jīng)典似”的解釋是一致的。在研究等離子體中波-粒子以及波-波相互作用時(shí)使用的 9.3 截止9.3.1 均勻等離子體中的截止先來(lái)回顧一下均勻等離子體中波的截止的一般性質(zhì) k2c2對(duì)于k0，有 9.

11、3 截止9.3.1 均勻等離子體中的截止先來(lái)回顧一下均勻等離子體中波的截止的一般性質(zhì) k2c2對(duì)于k0，有 pe。如果pe，則k 02，其振幅在 1/ | k |的距離上指數(shù)衰減。所以 pe 被稱為光學(xué)電磁波在等離子還發(fā)現(xiàn)，在截止時(shí)（k 0）2k210 在k ”解 ce 還看到，在”處（k ，波的相速度和群速度都趨近零播）真實(shí)的非均勻等離子體中發(fā)生的截止9.3.2 非均勻等離子體中的截止“程函近似即“幾何光學(xué)近似（等價(jià)于量子力學(xué)中求解 Schrdinger 方程“準(zhǔn)經(jīng)典近似”或漸進(jìn)方法中的“WKB真實(shí)的非均勻等離子體中發(fā)生的截止9.3.2 非均勻等離子體中的截止“程函近似即“幾何光學(xué)近似（等價(jià)

12、于量子力學(xué)中求解 Schrdinger 方程“準(zhǔn)經(jīng)典近似”或漸進(jìn)方法中的“WKB 近似WKB 理（turning 向點(diǎn)”處，WKB 近似不再成立。對(duì)于非均勻等離子體中的僅考慮空間的不均勻性，WKB 近似成立的條件k2 或者是“截止”點(diǎn) 0 ，WKB 近似都不再成立似方法，而必須對(duì)波動(dòng)方程（waveequation）（）d q(x)E(x)02(9-2這里，2 1q(xxWKBx(9-E(x) Edxk(x )q(x12滿足WKB 近似條k2（1）截止規(guī)則轉(zhuǎn)向點(diǎn)（regularturning如果q(xx（ 0 0附近0 x 1/22(9-kx。x顯然，WKB 近似在這一區(qū)間不再成立。事實(shí)上，x(

13、9-E(x) Edxk(x )q(x12滿足WKB 近似條k2（1）截止規(guī)則轉(zhuǎn)向點(diǎn)（regularturning如果q(xx（ 0 0附近0 x 1/22(9-kx。x顯然，WKB 近似在這一區(qū)間不再成立。事實(shí)上，對(duì)于幾何光學(xué)近似xE(x) Edxk(x x0 （evanescentx0數(shù)學(xué)上，類似（9-36）的方d2xE(x) (9-2被稱為 Airy 方程，其兩個(gè)線性獨(dú)立解被稱為 Airy 函1 3Ai(r) dcosr (9-3031 3Bi(r) d expr sinr(9- 330其中r 213 x，而x 0是這類方程的“規(guī)則轉(zhuǎn)向點(diǎn)奇異轉(zhuǎn)向點(diǎn)（singularturning139，

14、，那么 0附近有 ，x2 d(9-。則 WKB 近似不成立。事實(shí)2dxE(x)2 0 處有一個(gè)奇點(diǎn)，所以方程的解在這里是奇異的，而且很可能劇烈振蕩在x所稱x0為“奇異轉(zhuǎn)向點(diǎn)”或者點(diǎn)面 0附近 引起的小尺度效應(yīng)2dxE(x)2 0 處有一個(gè)奇點(diǎn)，所以方程的解在這里是奇異的，而且很可能劇烈振蕩在x所稱x0為“奇異轉(zhuǎn)向點(diǎn)”或者點(diǎn)面 0附近 引起的小尺度效應(yīng)導(dǎo)致xA）面（面或奇異電流片B）（leading order耗散項(xiàng)一般具有空間的高階導(dǎo)數(shù)限 Larmor 半徑效應(yīng)）成為主導(dǎo)階，引起線性模Alfvn波（shearAlfvnwave，SAW）Alfvnwave，KAW“規(guī)則轉(zhuǎn)向點(diǎn)”的連接條件（con

15、necting condition）在量子力學(xué)中已經(jīng)充吸 n 24E(xt) 0(9-0m ，其中 n e m E 200e2D(0(9-2 4ne2E(t0。(9-t2D(;) (9-。如果等離子體是非弱均勻的，其密度n0 n0(x 4ne2E(t0。(9-t2D(;) (9-。如果等離子體是非弱均勻的，其密度n0 n0(x (x)4n (x)e2 /m (9-0e (x) E(xt) 02(9-2t如果外部驅(qū)動(dòng)源的頻率是0 ，對(duì)穩(wěn)態(tài)解（不考慮時(shí)間的多尺度WKB 的程函近E(x,t) 0(x)expi(x)i0t (x)e0 i (9- (9-00D0 (x,0(x)(9-， 2D (x,

16、)1(9-。2000k S d i (9-x x 有 (x D (x , 0000 x(x0 xk S d i (9-x x 有 (x D (x , 0000 x(x0 xx0吸”現(xiàn)象可以從程函近似下的解（9-46）和（9-48）直接得到：x x0 D0(x0,00，所以解（9-46）的振幅（9-48）激發(fā)頻率振蕩（程函解（9-但是當(dāng)外部激發(fā)的波的振蕩頻率與等離子體振幅（即受迫阻尼諧振子的情況引進(jìn)很小的阻尼率，0 ，2D(x, ;)(9-。( i0如果0 022D(x, ;)(9-。02300點(diǎn)x x0附x )i (xi(9-D00000這里2pe(x00n0(x0n0(x0，0不失一般性如假

17、設(shè)pe(x0)0則0寫(xiě) 1/Ln 其中x x0) Ln x2 x 8 Im D(x, ) 01 0Im(9-0 x 0 點(diǎn)x x0附近2 x 8 Im D(x, ) 01 0Im(9-0 x 0 點(diǎn)x x0附近(xx (9-0則波在”x x0面的功率損失 P 1 (9-；0n8如日冕的電流片加熱模型29.4 線性模式轉(zhuǎn)9.4.1 與等離子體靜電振的入射波轉(zhuǎn)換成 Bohm-Gross 上面情形，即頻率是0 ，對(duì)時(shí)間平穩(wěn)變化的情況（忽時(shí)間多尺度。這樣的高頻（在電子等離子體頻率附近） (9-9.4 線性模式轉(zhuǎn)9.4.1 與等離子體靜電振的入射波轉(zhuǎn)換成 Bohm-Gross 上面情形，即頻率是0 ，對(duì)

18、時(shí)間平穩(wěn)變化的情況（忽時(shí)間多尺度。這樣的高頻（在電子等離子體頻率附近） (9-顯然，其一般解（9-48）x x0 附近有1xx00000(x)(9-。Dx0 ddD (x) E(x)0(9-dxD 或dD (x) E(x) E (9-22這里D e0D D Ln 這個(gè)方程的齊次方程的兩個(gè)獨(dú)立解給出 Bohm-Gross 波（ (x)k (x)，在均勻等離子體情況成一般的Langmuir 波2 e2）x D 為(x00 3）x D AirydrE(r)02D2而方程（9-56）可以寫(xiě)成dr E(r E 2D(9-2這里rxx0。則非齊次方程（9-56）x x0（r 0）00 x03）x D Ai

19、rydrE(r)02D2而方程（9-56）可以寫(xiě)成dr E(r E 2D(9-2這里rxx0。則非齊次方程（9-56）x x0（r 0）00 x02 x3/L(9-A 0 x(40 00(9-。( x0L 13 1/3 Airy2ADDDD1 奇異性被化解在這個(gè)Airy 尺度里x00000L (9-，2/ 0AAD且入射波的“通解”部分轉(zhuǎn)換成 Airy 函數(shù)形式的 Bohm-Gross 波9.4.2 磁化等離子體中低頻入射波轉(zhuǎn)換成動(dòng)理學(xué) Alfvn Larmor effect 的、頻率為0幅度對(duì)時(shí)間緩慢變化（可以忽略） D (xD (x) (x0(9-dx D (x) 2xAxyAik yik

20、 z (x,t) ，xxD (x V (xk 222A顯然，方程（9-59）D幅度對(duì)時(shí)間緩慢變化（可以忽略） D (xD (x) (x0(9-dx D (x) 2xAxyAik yik z (x,t) ，xxD (x V (xk 222A顯然，方程（9-59）D (x (x k 0處（即入射波的頻率 2220當(dāng)?shù)氐募羟蠥lfvn 波頻率k|VA 處）在這點(diǎn)x x0 （DA(x0)0）附近，方程（9-59）可以寫(xiě)rk 2(9-dr x 的形式，這里r xx0 (9-xy道。那么離子有限 Larmor 半徑效應(yīng)就成為“消除到D k 在這2 2 x x（D (x 0k2dddrk 0r 2(9-dr

21、 D(0) xAdr E02(9- Alfvn波色散關(guān)系 k V (1k 22 | 9.4.3 與磁化電子等離子體的入射波轉(zhuǎn)換成離子 Bernstein 波幾何光學(xué)近似下，平 Alfvn波色散關(guān)系 k V (1k 22 | 9.4.3 與磁化電子等離子體的入射波轉(zhuǎn)換成離子 Bernstein 波幾何光學(xué)近似下，平行磁場(chǎng)方向入射的靜電波（0 ，k| ）在均勻磁化（背磁場(chǎng)保持不變）的非均勻等離子體（背景密度不均勻）k2x)D (xk2D (x0(9-c低頻近似下（0 2ci 22D (x)p(9- 2D (x) 1(9-。202.1） 在低密度區(qū)p(xc Dc(xk2x) k2D (x(9-x ，

22、k21）x x ， )k2D 0 x x x 2）x x k (xk k 2k2222220 x23）x x 2 2pk2(x)k2 k (x)/ (9-2 202.2） (x D (x 02222x D (x )1p00(9-x x0 (x 2(9-k2(x) k(9-，D 得到k2x k2 x x x0 (x 2(9-k2(x) k(9-，D 得到k2x k2 x 01）x x k 12 02）Bernstein模式（ci 0 2ci )k )k 22 22 D (x ) D (x )(9-，42 2220 (x ) k2(42 222D (x k2(x )kk0。 (9-0 D (x (

23、x ) k (x 222 2D (x 這里0 pi(x02ci Bernstein 波9.5 漂移9.5.1 磁化等離子體中的漂移運(yùn)不均勻性引起的壓強(qiáng)梯度漂移（抗磁漂移，或稱逆磁漂移 cEVEBb (nT b(n2 V 9.5 漂移9.5.1 磁化等離子體中的漂移運(yùn)不均勻性引起的壓強(qiáng)梯度漂移（抗磁漂移，或稱逆磁漂移 cEVEBb (nT b(n2 V pccb(B 2， bc2bln 0 (9-v1而對(duì)于溫度梯度引起的漂移波不穩(wěn)定性（如離子溫度梯度模，ITG；電子度梯度模，ETG 等 lnn9.5.2 離子靜電漂移 ci ，Di i k| e bln/2化的方向（即lnn0的方向）vD vD

24、0有 n 9.5.2 離子靜電漂移 ci ，Di i k| e bln/2化的方向（即lnn0的方向）vD vD 0有 n n en (1e/T )e /T (9-e0e0in in kv v n 0， k*(9-icivk b(9-0 ivk b0 ik ik ci (9-利用bvk b) vk 2qi i k ik bk (9- e /T (9-0 vk lnn0 k (9-，k2 q | i k ik (9-vn0 2qi i k ik bk (9-n0 qi2n0 0k k q2 k2 q*nn | | (9-Di 并利用Poisson 方程，* | 4ne2 kk 1k 2 *| i

25、n 2 n0 qi2n0 0k k q2 k2 q*nn | | (9-Di 并利用Poisson 方程，* | 4ne2 kk 1k 2 *| in 2 k 42* | 1(9-i2Te Te *ieTik*k | 1(9-2 e1k k c 0(9-2 22es11/ ) (9-*2 c。iee| k2 2 1對(duì)于主要平行磁的模 (9-；1k 2 得到漂移波（利用了k 1近似2 *e k(9-， | *即 (1*(9-i。* 0*ee9.5.3 準(zhǔn)靜電漂移波，低混雜漂移波不穩(wěn)定對(duì)較高頻率的靜電波，ci ce，D kBoltzmann 假設(shè)ink in0kvk vk n0 0， k(9-iv (1*(9-i。* 0*ee9.5.3 準(zhǔn)靜電漂移波，低混雜漂移波不穩(wěn)定對(duì)較高頻率的靜電波，ci ce，D kBoltzmann 假設(shè)ink in0kvk vk n0 0， k(9-ivk vk cvk b(9- vk lnn0 kv(9-，k2 | k k (9-vTn0i b(9-v0 k q 2 k k (9-cv iv k bic b(9-， k q 2 q 2n k i bv kcv 220k q q 2 k c k k k b(9-2 Tn0 c對(duì)離子來(lái)說(shuō)，i vik lnn0 k iq22n0 k ik i(9-假設(shè) b ln2/b的方向?yàn)閑 ，則 lnn 的方向?yàn)閑 的方