1、格林函數法第1頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四5.1 拉普拉斯方程邊值問題的提法設 滿足拉普拉斯方程描述穩(wěn)恒狀態(tài)下的物理過程。通常表示成不存在初始條件.拉普拉斯方程的解稱為調和函數.第2頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四1） 第一邊值問題狄利克雷(Direchlet)問題邊界條件:2)第二邊值問題紐曼(Neumann)問題5.1 拉普拉斯方程邊值問題的提法第3頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四函數除稱為三維拉普拉斯方程的基本解。點外處處滿足拉普拉斯方程，5.1 拉普拉斯方程邊值問題的提法第4頁，共42頁，2022年，5月20日

2、，5點34分，星期四5.2 格 林 公 式高斯公式：設 是以光滑曲面 為邊界的有界區(qū)域， ， ， 在閉域 上連續(xù),在 內有一階連續(xù)偏導數，則其中 為 的外法向量。高斯公式可簡記為第5頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四設滿足令則將代入高斯公式，等式右端為5.2 格 林 公 式第6頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四5.2 格 林 公 式所以 第一格林公式交換 u,v 的位置, 有 兩式相減, 得 第二格林公式第7頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四1) 牛曼內問題有解的必要條件 設u是在以 為邊界的區(qū)域 內的調和函數, 在 上有一階連

3、續(xù)偏導數, 則在第二格林公式中取 u 為上述調和函數, ,則有 . 所以牛曼內問題( )有解的必要條件為函數 f 滿足事實上, 這也是牛曼內問題有解的充分條件.5.2 格 林 公 式第8頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四 設 是拉普拉斯方程定解問題的兩個解，則它們的差 必是原問題滿足零邊界條件的解對于狄利克雷問題，v 滿足 對于牛曼問題, v 滿足 2) 拉普拉斯方程解的唯一性問題5.2 格 林 公 式第9頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四在第一格林公式中取 , 由 v 是調和函數，可得 在兩種邊界條件下，都有所以故在 內必有 , 即可得，其中 C為

4、常數.第10頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四對于狄利克雷問題, 由于 , 故 從而 .結論 狄利克雷問題在 內的解是唯一 確定的牛曼問題的解在相差一個常數下也是唯一確定的.5.2 格 林 公 式第11頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四3) 調和函數的積分表達式所謂調和函數的積分表達式,是指用調和函數及其在區(qū)域邊界 上的法向導數沿 的積分來表達調和函數在 內任一點的值.5.2 格 林 公 式第12頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四 設 是 內一固定點, 下面求調和函數在這一點的值. 為此構造一個輔助函數 可以證明函數 除點 外處

5、處滿足拉普拉斯方程. 5.2 格 林 公 式第13頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四為了利用格林公式，我們在 內挖去 的球形鄰域 , 是其球面. 在區(qū)域 內及其邊界 上， 是任意可導的。 在第二格林公式中, 取u為調和函數,假定它在 上有一階連續(xù)偏導數,而取 , 在區(qū)域 上應用公式得第14頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四在球面 上 因此同理可得 因此 4.2 格 林 公 式 令 , 則 于是 調和函數的積分表達式第15頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四 設函數 在某區(qū)域 內是調和函數, 是 內任一點, 表示以 為中心, 為半徑

6、且完全落在 內的球面, 則有 5.2 格 林 公 式4)平均值公式第16頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四5.3 格林函數第17頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四5.3 格林函數能不能直接提供狄利克雷問題和牛曼問題的解 ？調和函數的積分表達式 為得到狄利克雷問題的解, 必須消去 ,這需要引入格林函數的概念.第18頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四 設 為 內的調和函數并且在 上有一階連續(xù)偏導數，利用第二格林公式可得與相加得5.3 格林函數第19頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四如果能找到調和函數v,使得 ,

7、 那么上式意味著令則拉普拉斯方程的格林函數5.3 格林函數第20頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四如果能找到格林函數中的 v 并且它在上有一階連續(xù)偏導數，則狄利克雷問題的解如果存在, 必可以表示為類似的，泊松問題的解可以表示為5.3 格林函數第21頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四說明 格林函數僅依賴于選取的區(qū)域, 而與原定解問題中的非齊次項、邊界條件無關.如果求得某個區(qū)域的格林函數, 就可以解決該區(qū)域的一切狄利克雷問題.求解狄利克雷問題意 義 何 在？5.3 格林函數第22頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四要想確定格林函數,

8、需要找一個調和函數 v, 它滿足: . 對于一般的區(qū)域, 確定 v 并不容易, 但對于一些特殊的區(qū)域, 如半空間，球域等, 格林函數可以通過初等方法得到. 我們通常使用“電象法”求解。5.3 格林函數第23頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四注：拉普拉斯方程的基本解稱為拉普拉斯方程的基本解，其中 r 表示空間中兩點之間的距離。三維基本解的物理意義：在處放置一單位正電荷，則它在自由空間產生的靜電場的電位是5.3 格林函數第24頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四Green函數的物理意義在接地的閉曲面 中放上點電荷之后，在 面內側必然出現感應電荷, 內任意一

9、點的電位，就是點電荷的電位 和感應電荷的電位 v 的疊加， Green函數= 內的電位.5.3 格林函數第25頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數 及狄氏問題的解第26頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四 所謂電象法，就是在 放置的單位正電荷，在區(qū)域 外找出 關于邊界 的象點 ，然后在象點放置適當電量的負電荷，由它產生的負電位與 處的單位正電荷所產生的正電位在曲面 上互相抵消。而 和 處的點電荷在 內的電位就是所要求的格林函數。5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數及狄氏問題的解第27頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分

10、，星期四故 和 處的電荷在 內的電位就是所要求的格林函數。 在區(qū)域內 點放置的單位正電荷；在區(qū)域 外找出 關于邊界 的某種對稱點 ；在 點放置適當電量的負電荷，使得它產生的負電位與 處正電荷產生的電位在 上互相抵消。 處電荷所形成的電場在 的電位 處電荷所形成的電場在 的電位5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數及狄氏問題的解第28頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四? 點的位置 點放置的 負電荷的電量在區(qū)域內 點放置的單位正電荷在區(qū)域 外找出 關于邊界 的某種對稱點 在 點放置適當單位的負電荷，使得它產生的負電位與 處正電荷產生的電位在 上互相抵消。 關于邊界的某種對稱點5.4

11、兩種特殊區(qū)域的格林函數及狄氏問題的解第29頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四1) 半空間的格林函數 求解拉普拉斯方程在半空間 內的狄利克雷問題，就是求函數 u(x, y, z)，它滿足 5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數及狄氏問題的解第30頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四在 點放置單位負電荷。 M1xzyo.M0(x0,y0,z0）P.為解上述方程，首先找格林函數 在 點( )放置單位正電荷， 問題：1. 等效點電荷的位置 2. 等效點電荷的電量要求：它與 處的正電荷產生的電位在平面 z = 0上抵消電位：5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數及狄氏問題的解第

12、31頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四在 點放置單位負電荷。 .M0(x0,y0,z0）.P.M1xzyoM.電位：由于 在上半空間內為調和函數，在閉域 上具有一階連續(xù)偏導數，得上半空間上的格林函數：5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數及狄氏問題的解第32頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四由于 在上半空間內為調和函數，在閉域 上具有一階連續(xù)偏導數，得上半空間上的格林函數：狄利克雷問題的解:5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數及狄氏問題的解第33頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數及狄氏問題的解第34頁，共42頁，

13、2022年，5月20日，5點34分，星期四5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數及狄氏問題的解第35頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四將上式代入到即得到原問題的解:思考:半空間 x+y+z 0 的格林函數及狄利克雷問題的解.5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數及狄氏問題的解第36頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四2) 球域的格林函數 設有一個球心在原點,半徑為R的球面G,在球內任取一點M0，連接OM0并延長至點M1， 使得OM0OM1=R2, 點M1稱為M0關于球面的反演點。5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數及狄氏問題的解第37頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四在點放置單位正電荷，在點放置 q 單位負電荷，使這兩個電荷產生的電位在球面上互相抵消P o R1. 等效點電荷的位置 2. 等效點電荷的電量確定球域的格林函數： 的反演點5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數及狄氏問題的解第38頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四故 q 必須不依賴于 P 的選取且滿足： 由 ，得即只要在 點放置 個單位負電荷,它形成電場的電位P o R5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數及狄氏問題的解第39頁，共42頁，2022年，5月20日，5點34分，星期四具有性質: 在 所圍的球域內部是調和函