1、可分離變量的微分方程一階線性微分方程變量代換解方程(齊次方程)第二節(jié) 一階微分方程全微分方程伯努利(Bernoulli)方程第十二章 微分方程1如果一階微分方程等式的每一邊僅是一個(gè)變量的函數(shù)與這個(gè) 可分離變量的方程或可以寫成的形式,易于化為形式特點(diǎn)變量的微分之積.兩端積分可得通解.一階微分方程一、可分離變量的微分方程2可分離變量的方程求通解的步驟是:分離變量,兩邊積分其中C為任意常數(shù).就是方程的通解分離變量法.1.2.由上式確定的函數(shù)(隱式通解).這種解方程的方法稱為將上式一階微分方程3一階微分方程例 求方程 的通解.解分離變量兩端積分為方程的通解.隱式通解4一階微分方程練習(xí)解通解為5注應(yīng)用問

2、題建立微分方程的方法:方法大體有兩種第一種方法常見的物理定律有力學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、電學(xué)直接利用物理定律或幾何條件列出方程,的定律;第二種方法取小元素分析,然后利用物理定律列出方程(類似于定積分應(yīng)用中的元素法).一階微分方程6兩端積分解由題設(shè)條件分離變量負(fù)號(hào)是由于當(dāng) t 增加時(shí)M單調(diào)減少通解特解例衰變問題.衰變速度與未衰變?cè)雍縈成正比,求衰變過程中鈾含量 M (t)隨時(shí)間 t 變化的規(guī)律.一階微分方程衰變規(guī)律衰變速度7一階微分方程例求游船上的傳染病人數(shù).一只游船上有800人,12小時(shí)后有3人發(fā)病.故感染者不能被及時(shí)隔離. 設(shè)傳染病的傳播速度與受感染的人數(shù)及未受感染的人數(shù)之積成正比.一名游客患了

3、某種傳染病,由于這種傳染病沒有早期癥狀,直升機(jī)將在60至72小時(shí)將疫苗運(yùn)到,試估算疫苗運(yùn)到時(shí)患此傳染病的人數(shù).解用 y ( t )表示發(fā)現(xiàn)首例病人后 t 小時(shí)時(shí)的感染人數(shù),表示 t 刻未受感染的人數(shù),由題意,得其中k 0為比例常數(shù).可分離變量微分方程分離變量初始條件:8一階微分方程即兩邊積分,得通解初始條件由初始條件得再由便可確定出所以9有高為1米的半球形容器, 解由力學(xué)知識(shí) 得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度一階微分方程水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間t的變化規(guī)律.開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里流出, 例小孔橫截面積為1平方厘米(如圖). 水

4、從它的底部小孔 10所求規(guī)律為一階微分方程可分離變量方程11一階微分方程練習(xí) 2001年北方交大期末考題(8分)推進(jìn)器停止工作,已知船受水的阻力與船速的平方成正比(比例系問經(jīng)過多少時(shí)間,船的速度減為原速度的一半?解由題意初始條件即得.解得當(dāng)輪船的前進(jìn)速度為v0時(shí),數(shù)為mk,其中k 0為常數(shù),而m為船的質(zhì)量).12分析有兩種方法其一，將所給選項(xiàng)代入關(guān)系式直接驗(yàn)算，(B)正確.其二，對(duì)積分關(guān)系式兩邊求導(dǎo)化為微分方程,并注意到由所給關(guān)系式在特殊點(diǎn)可確定出微分方程所應(yīng)滿足的初始條件.練習(xí)一階微分方程 1991年考研數(shù)學(xué)一, 3分13一般,未知函數(shù)含于變上限的積分中時(shí),常可通過對(duì)關(guān)系式兩邊求導(dǎo)而化為微分

5、方程再找出初始條件而解之.解可分離變量方程兩邊積分由原關(guān)系式得得分離變量一階微分方程14二、一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式上面方程稱為上面方程稱為如線性的;非線性的.齊次的;非齊次的.線性一階 自由項(xiàng)一階微分方程15齊次方程的通解為1. 線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)(C1為任意常數(shù))一階微分方程162. 線性非齊次方程線性齊次方程是線性非齊次方程的特殊情況.顯然線性非齊次方程的解不會(huì)是如此,之間應(yīng)存在某種共性.設(shè)想非齊次方程 待定函數(shù)線性齊次方程的通解是但它們一階微分方程的解是17從而C(x)滿足方程一階微分方程18即一階線性非齊次微分方程的通解為常數(shù)變易法

6、把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.一階微分方程19非齊次方程的一個(gè)特解對(duì)應(yīng)齊次方程通解一階線性方程解的結(jié)構(gòu)注一階線性方程解的結(jié)構(gòu)及解非齊次方程的常數(shù)變易法對(duì)高階線性方程也適用.一階微分方程20解例一階線性非齊次方程一階微分方程21解 積分方程一階微分方程例如圖所示,平行于y 軸的動(dòng)直線被曲線 y = f (x)陰影部分的面積,一階非齊次線性方程即截下的線段PQ之長數(shù)值上等于求曲線 y = f (x).22所求曲線為一階微分方程23一階微分方程例靜脈輸液問題.靜脈輸入葡萄糖是一種重要的醫(yī)療技術(shù).研究這一過程,設(shè)G(t)為時(shí)刻 t 血液中葡萄糖含量,與此血液中的葡萄糖還會(huì)轉(zhuǎn)化為其他物質(zhì)或

7、轉(zhuǎn)移其速率與血液中的葡萄糖含量成正比.試列出描述這一現(xiàn)象的微分方程,為了到其他地方,含量.糖以常數(shù)同時(shí),解因?yàn)檠褐械钠咸烟呛康淖兓始铀俾逝c減少速率之差,等于增而增加速率為減少速率為其中為正的比例常數(shù),所以需要知道t 時(shí)刻中血液中的葡萄糖且設(shè)葡萄的固定速率輸入到血液中,并解之.常數(shù)k,24一階微分方程即關(guān)于G的一階線性非齊次方程由通解公式,得設(shè)G(0)表示最初血液中葡萄糖含量,于是定出則可確25練習(xí)解初值問題:解將方程寫為由初始條件特解一階非齊次線性方程一階微分方程26例 解方程若將方程寫成則它既不是線性方程,又不能分離變量.若將方程寫成以x為未知函數(shù), 即一階非齊次線性方程.分析y 為自

8、變量的一階微分方程27此外, y = 1也是原方程的解.解一階微分方程28注參數(shù)形式的.解方程時(shí), 通常不計(jì)較哪個(gè)是自變量哪個(gè)是因變量,視方便而定,關(guān)系.關(guān)鍵在于找到兩個(gè)變量間的解可以是顯函數(shù),也可以是隱函數(shù),甚至是一階微分方程29解 這是典型的一階線性方程.分析 由通解公式有一階微分方程 1992年考研數(shù)學(xué)一, 3分練習(xí)30 2002年考研數(shù)學(xué)二, 7分 求微分方程 的一個(gè)解 與直線 以及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的所圍成的旋轉(zhuǎn)體體積最小. 使得由曲線解一階微分方程練習(xí)原方程可化為則一階線性方程31形如的方程,方程為線性微分方程. 方程為非線性微分方程.需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程

9、.解法稱為一階微分方程伯努利(Bernoulli)方程. 事實(shí)上, 用除方程的兩邊,得 雅個(gè)布 伯努利 (瑞士) 1654-1705三、伯努利(Bernoulli)方程32即可見只要作變換,方程就可化為z 的一階線性方程伯努利方程的通解 令一階微分方程33解例伯努利方程作變換則方程化為即它的通解為故原方程的通解為一階微分方程34 熟悉求解方法后,也可以不引入新變量,注例解方程解這不是線性方程,但若把y視為自變量,兩邊除以一階微分方程n=2的伯努利方程.也不是伯努利方程.方程寫為:而直接按上述方法求解.即35即一階微分方程36分析這不是前面的典型類型中的任何一種,可仿照伯努利方程的解法,可化為線

10、性方程解 則上式成為即線性方程一階微分方程例兩邊, 得37從而于是得即一階微分方程38四、利用變量代換求解方程 下面用變量代換的方法來簡化求解微分方程.如果一階微分方程可以寫成齊次方程.即得到 u 滿足的方程即的形式,作變量代換 代入變量代換在數(shù)學(xué)的各個(gè)方面都是極重要的,極限運(yùn)算和積分運(yùn)算中已看到了變換的作用.則稱之為一階微分方程1. 齊次型方程39可分離變量的方程分離變量兩邊積分,求出通解后, 就得到原方程的通解.一階微分方程40例 解方程解將方程寫為 齊次方程方程變?yōu)榧捶e分得可分離變量方程一階微分方程41例探照燈反射鏡的設(shè)計(jì).一階微分方程在xOy平面上有一曲線L,曲線L繞x軸旋轉(zhuǎn)一周,形成

11、一旋轉(zhuǎn)曲面.假設(shè)由O點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)此旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡反射后都與x軸平行(探照燈內(nèi)的凹鏡就是這樣的),求曲線L的方程.解如圖,設(shè) O點(diǎn)發(fā)出的某條光線經(jīng)L上一點(diǎn)M (x, y)反射后是一條與x軸平行的直線MS.又設(shè)過點(diǎn)M的切線AT與x軸的傾角是由題意,42一階微分方程另一方面,是入射角的余角,是反射角的余角,于是由光學(xué)中的反射定律有從而但而于是得微分方程即 入射角 = 反射角齊次方程43一階微分方程為方便求解,視y為自變量, x為未知函數(shù),則有代入上式得由曲線L的對(duì)稱性, 不妨設(shè)y 0,上式為 化簡得分離變量可分離變量的方程44兩邊積分一階微分方程得即由上式可得即以代入上式,得這就是曲線L的方程

12、,它是以x軸為對(duì)稱軸,焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線.45分析解令方程變?yōu)?齊次方程可分離變量方程練習(xí)一階微分方程46兩邊積分即得通解分離變量一階微分方程47解令則代入方程,積分得分離變量,得因方程可變形為得例 求解一階微分方程2. 可化為齊次型的方程48求解一階微分方程通解得 C = 1,故所求特解為49為齊次型方程.(其中h和k是待定的常數(shù))否則為非齊次型方程.解法一階微分方程形如的微分方程有唯一一組解.50有唯一一組解.得通解代回未必有解, 上述方法不能用.一階微分方程中必至少有一個(gè)為零.可分離變量的微分方程.可分離變量的微分方程.51可分離變量.一階微分方程未必有解, 上述方法不能用.方程可化為5

13、2解代入原方程得一階微分方程例 是非齊次型方程.方程組是齊次型方程.分離變量法得方程變?yōu)?3分離變量法得得原方程的通解方程變?yōu)橐浑A微分方程即或54求解下列微分方程一階微分方程例 解題提示方程中出現(xiàn)等形式的項(xiàng)時(shí),通常要做相應(yīng)的變量代換55一階微分方程解求微分得代入方程 可分離變量方程56解分離變量法得所求通解為 可分離變量方程一階微分方程57解代入原式分離變量法得所求通解為另解一階線性方程. 可分離變量方程一階微分方程方程變形為58一階微分方程解原方程再令齊次方程59一階微分方程解微分方程例解原方程變形一階線性方程原方程的解60例求解 有的微分方程可以由多元函數(shù)全微分的(是可分離、解將方程寫成因

14、為左端是全微分式所以方程變成得通解五、全微分方程又是齊次方程 )一階微分方程逆運(yùn)算解出.611.定義則稱若有全微分形式如全微分方程或恰當(dāng)方程是全微分方程.所以一階微分方程622.解法應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān).通解為全微分方程一階微分方程63解是全微分方程.原方程的通解為例通解為應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān)xy.一階微分方程64得通解也可用分組湊全微分的方法解出這個(gè)方程一階微分方程65解是全微分方程將左端重新組合原方程的通解為例一階微分方程66定義如何求方程的積分因子?積分因子法則稱 為方程的成為全微分方程.問題一階微分方程積分因子.67 觀察法憑觀察湊微分得到 常見的全微分表達(dá)式一階微分方程68可選用積分因子一階微分方程69一階微分方程例 求方程解不是全微分方程.將方程兩端重新組合,有用簡單的觀察法看出積分因子為于是, 原方程70解將方程兩端重新組合,例 求方程不是全微分方程.有即為積分因子.一階微分方程即則易知71原方程的通解為一階微分方程72解整理得例一階線性方程法一法二整理得一階微分方程73用曲線積分法湊微分法A.B.原方程的通解為一階微分方程74一階微分方程不定積分法原方程的通解為C.75可分離變量的微分方程分離變量兩端積分