1、二、微分的基本公式及運算法則三、微分的應用第一節(jié)一、微分的概念 函數(shù)的微分 第三章 一、微分的概念 引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設薄片邊長為 x , 面積為 A , 則面積的增量為當 x 在取得增量時,變到邊長由其關于x 的線性主部x的高階無窮小時為故稱為函數(shù)在 的微分再例如,定義3.1若函數(shù)在點的微分,( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù)而 稱為記作即在點可微,的增量可表示為問題: 是否所有函數(shù)的改變量都含有這種關于x 的線性函數(shù)(改變量的主要部分)? 它是什么? 如何求?定理3.1 函數(shù)在點 可微的充要條件是且當f(x) 在點時, 其微分一定是處

2、可微證 “必要性” 已知在點 可微 ,則故在點 可導,且, 從而“充分性”已知在點則定理2.4 函數(shù)在點 可微的充要條件是且當f(x) 在點微分一定是處可微時, 其處可導,注 1時 ,2 當即當時與是等價無窮小,于是有3由定理3.1知，4“微商”.微分的幾何意義當 很小時,切線縱坐標的增量MNT例1 求函數(shù)解時的增量和微分.由此可見當 很小時,1. 基本初等函數(shù)的微分公式 二、 微分的基本公式及運算法則設 u(x) , v(x) 均可微 , 則(C 為常數(shù))2. 函數(shù)的和、差、積、商的微分法則分別可微 ,的微分為一階微分形式的不變性3. 復合函數(shù)的微分法則則復合函數(shù)結(jié)論：解 (方法1)例2利用

3、微分形式不變性(方法2)解由積的微分法則及微分形式不變性,有例3例4 設求 解 利用一階微分形式不變性 , 有由此解得利用一階微分形式不變性求隱函數(shù)的微分是好方法例5解三、 微分的應用當很小時,使用原則:得近似等式:1. 微分在近似計算中的應用特別當很小時,常用近似公式:很小)證令得的近似值 .解 設取則例6 求例7 有一批半徑為1cm 的球 , 為了提高球面的光潔度,解 已知球體體積為則鍍銅體積為 時體積V的增量因此每只球需用銅約為( g )用銅多少克 . 估計一下, 每只球需要鍍上一層銅 ,厚度定為 0.01cm , 2. 微分在誤差估計中的應用某量的精確值為 A ,其近似值為 a ,稱為

4、a 的絕對誤差稱為a 的相對誤差若稱為測量 A 的絕對誤差限稱為測量 A 的相對誤差限內(nèi)容小結(jié)1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可導可微2. 微分運算法則微分形式不變性 :( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應用近似計算估計誤差思考與練習1. 設函數(shù)的圖形如下, 試在圖中標出點處的及并說明其正負 .在下列括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立:解 (1)2.注 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.(3)3.4.6.5. 設 且則解由積的微分法則,有備用題例 2-1解例2-2例2-3已知求解 因為所以例4-1 由方程確定,解方程兩邊求微分,得當時由上式得求方程兩邊求微分, 得已知求解例4-2例4-3解 (方法1)解 (方法2)(隱函數(shù)求導法)的近似值 .解例6-1 計算誤差傳遞公式 :已知測量誤差限為按公式計算 y 值時的誤差故 y 的絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得 x ,例9 設測得圓鋼截面