1、概率論的進(jìn)展史摘要：概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)規(guī)律的學(xué)科。它起源于十七世紀(jì)中葉，當(dāng)時刺激數(shù)學(xué)家們首先考慮概率論的問題，卻是來自賭博者的問題。費(fèi)馬、帕斯卡、惠更斯對那個問題進(jìn)行了首先的研究與討論，科爾莫戈羅夫等數(shù)學(xué)家對它進(jìn)行了公理化。后來，由于社會和工程技術(shù)問題的需要，促使概率論不斷進(jìn)展，隸莫弗、拉普拉斯、高斯等聞名數(shù)學(xué)家對這方面內(nèi)容進(jìn)行了研究。進(jìn)展到今天，概率論和以它作為基礎(chǔ)的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)科一起，在自然科學(xué)，社會科學(xué)，工程技術(shù)，軍事科學(xué)及生產(chǎn)生活實際等諸多領(lǐng)域中起著不可替代的作用。關(guān)鍵詞：概率論 公理化 隨機(jī)現(xiàn)象 賭博問題 17世紀(jì)資本主義經(jīng)濟(jì)的進(jìn)展和文藝復(fù)興運(yùn)動的興起，給歐洲數(shù)學(xué)注入了新的

2、活力，歐洲數(shù)學(xué)家們開始往常所未有的熱情投入到數(shù)學(xué)科學(xué)的研究中去。在這一個世紀(jì)里，他們不僅建立起了以解析幾何和微積分為代表的變量數(shù)學(xué)，進(jìn)一步研究現(xiàn)實世界中的必定現(xiàn)象及其規(guī)律，而且還開始了對偶然現(xiàn)象的研究，這確實是所謂的概率論。記得大數(shù)學(xué)家龐加萊講過：“若想預(yù)見數(shù)學(xué)的今后，正確的方法是研究它的歷史和現(xiàn)狀?！?一、 概率論的起源概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)規(guī)律的學(xué)科。十分有味的是，如此一門重要的數(shù)學(xué)分支，難道起源于對賭博問題的研究。1653年的夏天，法國聞名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡（Blaise Pascal,16231662）前往浦埃托鎮(zhèn)度假，旅途中，他遇到了“賭壇老手”梅累。為了消除旅途的寂寞

3、，梅累向帕斯卡提出了一個十分有味的“分賭注”的問題。問題是如此的一次，梅累與其賭友賭擲骰子，每人押了32個金幣，并事先約定：假如梅累先擲出三個6點，或其賭友先擲出三個4點，便算贏家。遺憾的是，這場賭注不算小的賭博并未能順利結(jié)束。當(dāng)梅累擲出兩次6點，其賭友擲出一次4點時，梅累接到通知，要他立即陪同國王接見外賓。君命難違，但就此收回各自的賭注又不甘心，他們只好按照已有的成績分取這64個金幣。這下可把他難住了。因此，當(dāng)他碰到大名鼎鼎的帕斯卡，就迫不及待地向他請教了。然而，梅累的貌似簡單的問題，卻真正難住他了。盡管通過了長時刻的探究，但他依舊無法解決那個問題。1654年左右，帕斯卡與費(fèi)馬在一系列通信中

4、討論了類似的“合理分配賭金”的問題。該問題能夠簡化為：甲、乙兩人同擲一枚硬幣，規(guī)定：正面朝上，甲得一點；若反面朝上，乙得一點，先積滿3點者贏取全部賭注。假定在甲得2點、乙得1點時，賭局由于某種緣故中止了，問應(yīng)該如何樣分配賭注才算公平合理。帕斯卡：若在擲一次，甲勝，甲獲全部賭注，兩種情況可能性相同，因此這兩種情況平均一下，乙勝，甲、乙平分賭注。甲應(yīng)得賭金的3/4，乙得賭金的1/4。費(fèi)馬：結(jié)束賭局至多還要2局，結(jié)果為四種等可能情況： 情況1234勝者甲甲甲乙乙甲乙乙前3種情況，甲獲全部賭金，僅第四種情況，乙獲全部賭注。因此甲分得賭金的3/4，乙得賭金的1/4。帕斯卡與費(fèi)馬用組合方法給出了正確解答。

5、盡管他們在解答中沒有明確定義概念，然而，他們定義了使某賭徒取勝的機(jī)遇，也確實是贏得情況數(shù)與所有可能情況數(shù)的比，這實際上確實是概率，因此概率的進(jìn)展被認(rèn)為是從帕斯卡與費(fèi)馬開始的。后來他們還研究了更復(fù)雜的在多個賭徒間分賭注的問題。1655年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯恰好也在巴黎，他了解到了帕斯卡與費(fèi)馬的工作詳情之后，也饒有興趣地參加了他們的討論，討論的情況與結(jié)果被惠更斯總結(jié)成關(guān)于賭博中的推斷（1657年）一書，這是公認(rèn)的有關(guān)或然數(shù)學(xué)的奠基之作。 二、 概率論的公理化俄國數(shù)學(xué)家伯恩斯坦和奧地利數(shù)學(xué)家馮米西斯(R.von Mises,1883-1953)對概率論的理論化做了最早的嘗試，但它們提出的公理理論并不完

6、善。事實上，真正嚴(yán)格的公理化概率論只有在測度論和實變函數(shù)理論的基礎(chǔ)才可能建立。這方面的先行者是法國數(shù)學(xué)家博雷爾(E.Borel,1781-1956)他首先將測度論方法引入概率論重要問題的研究，1909年他提出并在專門情形下解決了隨機(jī)變量序列1，2，.，服從大數(shù)定律的條件問題。他的工作激起了數(shù)學(xué)家們沿這一嶄新方向的一系列搜索。特不是原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫的工作最為卓著。他在1926年推倒了弱大數(shù)定律成立的充分必要條件。后又對博雷爾提出的強(qiáng)大數(shù)定律問題給出了最一般的結(jié)果，從而解決了概率論的中心課題之一大數(shù)定律，成為以測度論為基礎(chǔ)的概率論公理化的前奏。1933年，科爾莫戈羅夫出版了他的著作概率論基

7、礎(chǔ)，這是概率論的一部經(jīng)典性著作。在科爾莫戈羅夫的公理化理論中，關(guān)于域中的每一個事件，都有一個確定的非負(fù)實數(shù)與之對應(yīng)，那個數(shù)就叫做該事件的概率。在那個地點，概率論的定義同樣是抽象的，并不涉及頻率或其他任何有具體背景的概念。他還提出了6條公理，之后的整個概率論大廈都能夠從這6條公理開始建起?？茽柲炅_夫的公理系也因此逐漸獲得了數(shù)學(xué)家們的普遍承認(rèn)。科爾莫戈羅夫是20世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，他不僅僅是公理化概率論的建立者，在數(shù)學(xué)和力學(xué)的眾多領(lǐng)域他都做出了開創(chuàng)或奠基性的貢獻(xiàn)，同時，他依舊出色的教育家。他多次獲得國際大獎，1965年，他把得到的國際巴桑獎金全數(shù)捐贈給學(xué)校圖書館，1980年他榮獲沃爾夫獎。概

8、率論的公理化，使其成為了一門嚴(yán)格的演繹科學(xué)，取得了與其他數(shù)學(xué)分支同等的地位，并通過集合論與其他數(shù)學(xué)分支緊密地聯(lián)系著。 三、 概率論的進(jìn)一步進(jìn)展 概率論本質(zhì)上是研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門科學(xué)。這類現(xiàn)象與必定科學(xué)截然不同，他的條件與結(jié)果之間并不存在某種必定的聯(lián)系，也確實是講，在相同的條件下，可能會發(fā)生某一結(jié)果，也可能不發(fā)生這一結(jié)果。例如投擲一枚硬幣，既可能正面朝上，也可能反面朝上。然而，這并不意味著就不能用數(shù)量來描述和研究它們。投擲硬幣，投擲一次大概沒有什么規(guī)律性可言，但當(dāng)它們大量出現(xiàn)時，在總體上卻會呈現(xiàn)出某種規(guī)律，我們就稱這種總體上的規(guī)律性為統(tǒng)計規(guī)律性，它的存在構(gòu)成了或然數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)。關(guān)于概率論方法的

9、討論最初是由帕斯卡和費(fèi)馬二人以通信的形式展開的。它們盡管沒有提出明確的概念定義，但他們在可能賭徒獲勝的可能性時，總是利用有利情形數(shù)與所有可能數(shù)之比來做，這實質(zhì)上確實是早期古典概率的概念。他們會同惠更斯一起，給出了概率、數(shù)學(xué)期望等差不多概念的雛形，并得到相應(yīng)的性質(zhì)和計算方法，這些都表明，當(dāng)時概率已成為具有本身特定研究對象的一門獨立學(xué)科。后來，由于概率論在保險理論、人口統(tǒng)計、射擊理論、年度預(yù)算、產(chǎn)品檢驗以及天文學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科的應(yīng)用，專門快引起了許多數(shù)學(xué)家的關(guān)注，概率論的進(jìn)展也隨之進(jìn)入了一個嶄新的時期。 1718年，法國數(shù)學(xué)家隸莫弗（De Moivre,Abraham,16671754）發(fā)表了機(jī)遇

10、原理，他首次定義了獨立事件的乘法定理，給出二項分布公式，并討論了許多投擲骰子和其他賭博的問題。1931年，科爾莫戈羅夫用分析的方法奠定了一類一般的隨機(jī)過程馬爾可夫過程的理論基礎(chǔ)。在科爾莫戈羅夫之后，對隨機(jī)過程的研究做出重大貢獻(xiàn)而阻礙著整個現(xiàn)代概率論的重要代表人物還有萊維、辛欽、杜布和伊藤清等。1948年萊維出版的著作隨機(jī)過程與布朗運(yùn)動提出了獨立增量過程的一般理論，并以此為基礎(chǔ)極大地推進(jìn)了作為一類專門馬爾可夫過程的布朗運(yùn)動的研究。1934年，辛欽提出平穩(wěn)過程的相關(guān)理論。1939年，維爾(J.Ville)引進(jìn)“鞅”的概念，1950年起，杜布對鞅概念進(jìn)行了系統(tǒng)的研究而使鞅論成為一門獨立的分支。從19

11、42年開始，日本數(shù)學(xué)家伊藤清引進(jìn)了隨機(jī)積分與隨機(jī)微分方程，不僅開發(fā)了隨機(jī)過程研究的新道路，而且為隨機(jī)分析這門數(shù)學(xué)新分支的創(chuàng)立和進(jìn)展奠定了基礎(chǔ)。像任何一門公理化的數(shù)學(xué)分支一樣，公理化的概率論的應(yīng)用范圍被大大拓廣。值得我們快樂的是，我國數(shù)學(xué)家在概率論的研究方面也取得了許多重要的成果。數(shù)學(xué)家侯振廷年輕時發(fā)表的聞名論文Q過程的唯一性準(zhǔn)則得到國內(nèi)外學(xué)者的高度評價，榮獲1978年度的英國戴維遜獎。 四、 概率論的應(yīng)用數(shù)學(xué)家們通過大量的同類型隨機(jī)現(xiàn)象的研究，從中揭示出概率論某種確定的規(guī)律，而這種規(guī)律性又是許多客觀事物所具有的，因此，概率論應(yīng)用也隨之?dāng)U寬了。眾所周知，接種牛痘是增強(qiáng)機(jī)體抵抗力、預(yù)防天花等疾病的

12、有效方法，然而，當(dāng)牛痘開始在歐洲大規(guī)模接種之際，它的副作用引起了人們的爭議。為了探求情況的真相，伯努利家族的另一位數(shù)學(xué)家丹尼爾伯努利依照大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，應(yīng)用概率論的方法，得出了接種牛痘能延長人的平均壽命三年的結(jié)論，從而消除了人們的恐懼與懷疑，為這一杰出的醫(yī)學(xué)成果在世界范圍內(nèi)普及掃除了障礙?，F(xiàn)在，概率論與以它作為基礎(chǔ)的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)一起，在自然科學(xué)，社會科學(xué)，工程技術(shù)，軍事科學(xué)及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等諸多領(lǐng)域中起著不可或缺的作用。直觀地講，衛(wèi)星上天，導(dǎo)彈巡航，飛機(jī)制造，宇宙飛船巡游太空等都有概率論的一份功勞；及時準(zhǔn)確的天氣預(yù)報，海洋探險，考古研究等更離不開概率論與數(shù)量統(tǒng)計；電子技術(shù)的進(jìn)展，影視文化的進(jìn)步，人口

13、普查及教育等同概率論與數(shù)理統(tǒng)計也是密不可分的。例如，天氣預(yù)報的制作中就有一種統(tǒng)計預(yù)報法，它是在大氣動力學(xué)、熱力學(xué)、氣候?qū)W和預(yù)報員時刻經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，應(yīng)用概率論和數(shù)理統(tǒng)計方法，再利用電子計算機(jī)，依照歷史資料制作概率天氣預(yù)報。它所提供的不是某種天氣現(xiàn)象的“有”或“無”，某種氣象要素值“大”或“小”，而是天氣現(xiàn)象出現(xiàn)的可能性有多大。如對降水的預(yù)報，傳統(tǒng)的天氣預(yù)報一般預(yù)報有雨或無雨，而概率預(yù)報則給出可能出現(xiàn)降水的百分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)越大，出現(xiàn)降水的可能性越大。依照概率論中用投針試驗可能值思想產(chǎn)生的蒙特卡羅方法（這是一種建立在概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)上的計算方法），借助電子計算機(jī)這一工具，使這種方法在核物理、表明物

14、理、電子學(xué)、生物學(xué)、高分子化學(xué)等學(xué)科的研究中起著重要的作用。概率論理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛，這一數(shù)學(xué)分支正日益受到人們的重視，以后將會隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)展而得到進(jìn)展。 五、 概率論的歷史評價到17 世紀(jì)時,許多學(xué)者已對賭博中的某些問題進(jìn)行了討論,并挖掘了其中的數(shù)學(xué)原理。但對當(dāng)時的大多數(shù)學(xué)家來講,概率論是庸俗的賭博游戲,難登大雅之堂。是社會的HYPERLINK /fazhan/進(jìn)展及其需要,才推動了概率論的進(jìn)展。假如沒有社會的需要,概率論至今可能仍然只能在牌桌上顯示神通。我覺得“概率論產(chǎn)生于賭博”那個觀點是不完全對的，“賭博問題”和“理性考慮”是概率論產(chǎn)生的兩個必要條件,而后者更重要。與其它數(shù)學(xué)分支的形

15、成與進(jìn)展一樣，概率論的形成與進(jìn)展推動了新的數(shù)學(xué)思想和方法形成，如隨機(jī)思想、假設(shè)檢驗思想等等。同時，新的數(shù)學(xué)思想與方法又極大地推動了數(shù)學(xué)的進(jìn)展，正因為有公理化思想作指導(dǎo)，概率論才得以進(jìn)展成為一門嚴(yán)格的演繹科學(xué)。四百年往常“賭注下在多少點最有利？”的問題，現(xiàn)在看起來實在簡單只是了，但在當(dāng)時，由于差不多思想與方法的局限性，盡管有許多人為此進(jìn)行不懈地探究，卻專門難有大的突破。因此，從某種意義上講，概率論的形成與進(jìn)展實質(zhì)也是新的數(shù)學(xué)思想和方法的形成與進(jìn)展的歷史。 了解概率論的歷史有助于我們學(xué)習(xí)和應(yīng)用概率論這一重要的數(shù)學(xué)分支。正如拉普拉斯所講：“一門開始于研究賭博機(jī)會的科學(xué)，難道成了人類知識中最重要的學(xué)科

16、之一，這無疑是令人驚奇的情況?！?概率論進(jìn)展簡史 一、歷史背景：17、18世紀(jì)，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進(jìn)步。數(shù)學(xué)家們沖破了古希臘的演繹框架，向自然界和社會生活的多方面汲取靈感，數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了眾多嶄新的生長點，而后都進(jìn)展成完整的數(shù)學(xué)分支。除了分析學(xué)這一大系統(tǒng)之外，概率論確實是這一時期使歐幾里得幾何相形見絀的若干重大成就之一。二、概率論的起源：概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律學(xué)科。它起源于對賭博問題的研究。早在16世紀(jì)，意大利學(xué)者卡丹與塔塔里亞等人就已從數(shù)學(xué)角度研究過賭博問題。他們的研究除了賭博外還與當(dāng)時的人口、保險業(yè)等有關(guān)，但由于卡丹等人的思想未引起重視，概率概念的要旨也不明確，因此專門快被人忘卻了

17、。概率概念的要旨只是在17世紀(jì)中葉法國數(shù)學(xué)家帕斯卡與費(fèi)馬的討論中才比較明確。他們在往來的信函中討論合理分配賭注問題。該問題能夠簡化為：甲、乙兩人同擲一枚硬幣。規(guī)定：正面朝上，甲得一點；若反面朝上，乙得一點，先積滿3點者贏取全部賭注。假定在甲得2點、乙得1點時，賭局由于某種緣故中止了，問應(yīng)該如何樣分配賭注才算公平合理。帕斯卡：若在擲一次，甲勝，甲獲全部賭注，兩種情況可能性相同，因此這兩種情況平均一下，乙勝，甲、乙平分賭注甲應(yīng)得賭金的3/4，乙得賭金的1/4。費(fèi)馬：結(jié)束賭局至多還要2局，結(jié)果為四種等可能情況：情況勝者甲甲甲乙乙甲乙乙前3種情況，甲獲全部賭金，僅第四種情況，乙獲全部賭注。因此甲分得賭

18、金的3/4，乙得賭金的1/4。帕斯卡與費(fèi)馬用各自不同的方法解決了那個問題。盡管他們在解答中沒有明確定義概念，然而，他們定義了使某賭徒取勝的機(jī)遇，也確實是贏得情況數(shù)與所有可能情況數(shù)的比，這實際上確實是概率，因此概率的進(jìn)展被認(rèn)為是從帕斯卡與費(fèi)馬開始的。三、概率論在實踐中曲折進(jìn)展：在概率問題早期的研究中，逐步建立了事件、概率和隨機(jī)變量等重要概念以及它們的差不多性質(zhì)。后來由于許多社會問題和工程技術(shù)問題，如：人口統(tǒng)計、保險理論、天文觀測、誤差理論、產(chǎn)品檢驗和質(zhì)量操縱等。這些問題的提法，均促進(jìn)了概率論的進(jìn)展，從17世紀(jì)到19世紀(jì)，貝努利、隸莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切貝謝夫、馬爾可夫等聞名數(shù)學(xué)家都對概

19、率論的進(jìn)展做出了杰出的貢獻(xiàn)。在這段時刻里，概率論的進(jìn)展簡直到了使人著迷的程度。然而，隨著概率論中各個領(lǐng)域獲得大量成果，以及概率論在其他基礎(chǔ)學(xué)科和工程技術(shù)上的應(yīng)用，由拉普拉斯給出的概率定義的局限性專門快便暴露了出來，甚至無法適用于一般的隨機(jī)現(xiàn)象。因此能夠講，到20世紀(jì)初，概率論的一些差不多概念，諸如概率等尚沒有確切的定義，概率論作為一個數(shù)學(xué)分支，缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。四、概率論理論基礎(chǔ)的建立：談及概率論的產(chǎn)生，我們必須得提及瑞士數(shù)學(xué)家族貝努利家族的幾位成員，特不是雅可布?貝努利（Jacob Bernoulli,1654-1705），概率論的第一本專著是1713年問世的雅各貝努利的推測術(shù)。通過二十多

20、年的困難研究，貝努利在該書中，表述并證明了聞名的大數(shù)定律。所謂大數(shù)定律，簡單地講確實是，當(dāng)實驗次數(shù)專門大時，事件出現(xiàn)的頻率與概率有較大偏差的可能性專門小。這一定理第一次在單一的概率值與眾多現(xiàn)象的統(tǒng)計度量之間建立了演繹關(guān)系，構(gòu)成了從概率論通向更廣泛應(yīng)用領(lǐng)域的橋梁。因此，貝努利被稱為概率論的奠基人。遺憾的是，在雅可布?貝努利逝世八年后的1713年，他的研究大作猜度術(shù)才正式出版。之后，法國數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家棣莫弗(Abraham?De Moivre,1667-1754)把概率論又作了巨大推進(jìn)，他在1718年發(fā)表的機(jī)遇原理一書中提出了概率乘法法則，以及“正態(tài)分布”和“正態(tài)分布律”的概念，為概率論的“中心極限

21、定理”建立奠定了基礎(chǔ)。值得一提的是，棣莫弗還于1730年出版的概率著作分析雜錄中使用了概率積分，得出了n階乘的級數(shù)表達(dá)式。他還于1725年出版專門論著，把概率論首次應(yīng)用于保險事業(yè)上。1760年，法國數(shù)學(xué)家蒲豐（Comte de Buffon，1707-1788）的偶然性的算術(shù)試驗出版，他把概率和幾何結(jié)合起來，開始了幾何概率的研究。聞名的投針實驗便是他于1777年提出的，利用這一實驗，他采取概率的方法嘗試求求圓周率的近似值。19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Simon Laplace ,1749-1827）、德國數(shù)學(xué)家高斯（Gauss,1777-1855）、法國數(shù)學(xué)家泊松(S.D.Poisson,1

22、781-1840)等為概率論建方完整的體系和更為廣泛的應(yīng)用做了進(jìn)一步奠基性工作。特不是拉普拉斯，他是嚴(yán)密的、系統(tǒng)的科學(xué)概率論的最卓越的創(chuàng)建者，在1812年出版的概率的分析理論中，拉普拉斯以強(qiáng)有力的分析工具處理了概率論的差不多內(nèi)容，實現(xiàn)了從組合技巧向分析方法的過渡，使以往零散的結(jié)果系統(tǒng)化，開發(fā)了概率論進(jìn)展的新時期。拉普拉斯有一句名言，現(xiàn)在許多論及概率論在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義的論文都引有這句話，這句話是：“生活中最重要的問題，其中大多數(shù)只是概率問題”。概率論自問世之后，即充分顯示了它巨大的應(yīng)用價值。當(dāng)時，牛痘在歐洲大規(guī)模接種后，曾因副作用引起爭議。丹尼爾貝努里（Daniel Bernoulli，

23、17001782）依照大量的統(tǒng)計資料，作出了種牛痘能延長人類平均壽命三年的結(jié)論，消除了一些人的恐懼和懷疑；歐拉（Euler，1707-1783）將概率論應(yīng)用于人口統(tǒng)計和保險，寫出了關(guān)于死亡率和人口增長率問題的研究，關(guān)于孤兒保險等文章；泊松將概率應(yīng)用于射擊的各種問題的研究，提出了打靶概率研究報告等等。也正因為概率論有其巨大的應(yīng)用價值，使得它成為18和19兩個世紀(jì)的熱門學(xué)科之一，幾乎所有的科學(xué)領(lǐng)域，包括神學(xué)等社會科學(xué)都企圖借助于概率論去解決問題。然而，事物差不多上具有兩面性的，因為過于強(qiáng)調(diào)概率論的應(yīng)用價值，也在一定程度上形成了“濫用”的現(xiàn)象，以至到19世紀(jì)末，人們不得不重新對概率論進(jìn)行審視，客觀上

24、促進(jìn)了人們積極地尋求概率論的邏輯基礎(chǔ)。為概率論確定嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫。1933年，他發(fā)表了聞名的概率論的差不多概念，用公理化結(jié)構(gòu)，那個結(jié)構(gòu)明確定義了概率論進(jìn)展史上的一個里程碑，為以后的概率論的迅速進(jìn)展奠定了基礎(chǔ)。五、概率論的應(yīng)用：進(jìn)展到今天，概率論和以它作為基礎(chǔ)的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)科一起，在自然科學(xué)，社會科學(xué)，工程技術(shù)，軍事科學(xué)及生產(chǎn)生活實際等諸多領(lǐng)域中都起著不可替代的作用。例如，天氣預(yù)報的制作就有一種統(tǒng)計預(yù)報法，它是在大氣動力學(xué)、熱力學(xué)、氣候?qū)W和預(yù)報員時刻經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，應(yīng)用概率論和數(shù)理統(tǒng)計方法，利用電子計算機(jī)，依照歷史資料制作天氣預(yù)報。用這種方法制作的天氣預(yù)報稱為概率天氣預(yù)報，即用

25、概率值表示預(yù)報量出現(xiàn)可能性的大小，它所提供的不是某種天氣現(xiàn)象的有或無，某種氣象要素值大或小，而是天氣現(xiàn)象出現(xiàn)的可能性有多大。如對降水的預(yù)報，傳統(tǒng)的天氣預(yù)報一般預(yù)報有雨或無雨，而概率預(yù)報則給出可能出現(xiàn)降水的百分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)越大，出現(xiàn)降水的可能性越大。概率天氣預(yù)報既反映了天氣變化確定性的一面，又反映了天氣變化的不確定性和不確定程度。在許多情況下，這種預(yù)報形式更能適應(yīng)經(jīng)濟(jì)活動和軍事活動中決策的需要。這種預(yù)報法預(yù)報量的概率值。與其它數(shù)學(xué)分支的形成與進(jìn)展一樣，概率論的形成與進(jìn)展推動了新的數(shù)學(xué)思想和方法形成，如隨機(jī)思想、假設(shè)檢驗思想等等。同時，新的數(shù)學(xué)思想與方法又極大地推動了數(shù)學(xué)的進(jìn)展，正因為有公理化思想作

26、指導(dǎo)，概率論才得以進(jìn)展成為一門嚴(yán)格的演繹科學(xué)。四百年往常“賭注下在多少點最有利？”的問題，現(xiàn)在看起來實在簡單只是了，但在當(dāng)時，由于差不多思想與方法的局限性，盡管有許多人為此進(jìn)行不懈地探究，卻專門難有大的突破。因此，從某種意義上講，概率論的形成與進(jìn)展實質(zhì)也是新的數(shù)學(xué)思想和方法的形成與進(jìn)展的歷史。正如我國在近現(xiàn)代科學(xué)的進(jìn)展中地位不高一樣，概率論沒能在我國產(chǎn)生與進(jìn)展。概率論傳入我國的歷史也不長，在上個世紀(jì)初才傳入我國。1905年京師大學(xué)堂的數(shù)學(xué)教科學(xué)一般代數(shù)學(xué)中有概率問題的討論。上個世紀(jì)30、40年代在我國產(chǎn)生廣泛阻礙的范氏大代數(shù)一書中有許多對古典概率的討論。50年代，我國的數(shù)學(xué)教育以學(xué)習(xí)前蘇聯(lián)為主

27、，概率論被從中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“驅(qū)逐出境”，到了60年代，我國曾把作為大學(xué)內(nèi)容的概率初步知識下放到中小學(xué)教材，由因此將大學(xué)數(shù)學(xué)下放到中小學(xué)，終因其理論要求過高、內(nèi)容過深，與學(xué)生的生活經(jīng)驗與認(rèn)知水平之間存在過大差距而“水土不服”，以至沒能在中小學(xué)站住腳。盡管在80年代，教育界曾關(guān)注過概率統(tǒng)計在中小學(xué)的教學(xué)，但由于當(dāng)時的概率只是高中的選學(xué)內(nèi)容，高考不考，教師不教，學(xué)生不學(xué)，概率教學(xué)難免形同虛設(shè)。直到最近幾年，教育界才真正關(guān)注并重視了概率論的教育價值，往常所未有的地位將它寫入數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)。 為了使大伙兒更直觀的了解概率論的應(yīng)用，下面我給大伙兒舉一個概率論在社會調(diào)查中應(yīng)用的例子。關(guān)于某些被調(diào)查不愿公開回

28、答的問題，運(yùn)用概率論的方法能夠得到較準(zhǔn)確的結(jié)論。舉個例子，對一批立即出國留學(xué)的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，確定學(xué)業(yè)完成后情愿回國者所占的比例。關(guān)于完成學(xué)業(yè)后，你是否會回國這一問題，專門多人不希望透露自己的真實方法。為了得到正確的結(jié)論，我們將問題稍加調(diào)整，將完成學(xué)業(yè)后，你是否會回國定位問題a，另設(shè)問題b：你的年齡是奇數(shù)。將a、b組成一組問題，讓被調(diào)查者拋硬幣決定回答問題a或b，同時在問卷上不標(biāo)示被調(diào)查者回答的是問題a依舊問題b。解除了顧慮后，被調(diào)查者都會給出真實的方法。然后，運(yùn)用概率論方法，我們就能夠從調(diào)查結(jié)果中得到我們想明白的回國者比例。假定有300人同意調(diào)查，結(jié)果有130個是。因為被調(diào)查者回答問題a、b的

29、概率各是50%，因此將各有約150人回答a或b問題。又被調(diào)查者年齡是奇數(shù)的概率各是50%，因此150個回答b問題的人中，約有75個是。那么130個是的答案中，約有55個是是問題a的答案，因此我們就能夠得到完成學(xué)業(yè)后情愿回國者的比例約55/150即11/30?，F(xiàn)在，概率論已進(jìn)展成為一門與實際緊密相連的理論嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)科學(xué)。它內(nèi)容豐富，結(jié)論深刻，有不開生面的研究課題，由自己獨特的概念和方法，差不多成為了近代數(shù)學(xué)一個有特色的分支。概率論和數(shù)理統(tǒng)計是一門隨機(jī)數(shù)學(xué)分支，它們是緊密聯(lián)系的同類 17、18世紀(jì)，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進(jìn)步。數(shù)學(xué)家們沖破了古希臘的演繹框架，向自然界和社會生活的多方面汲取靈感，數(shù)學(xué)領(lǐng)域出

30、現(xiàn)了眾多嶄新的生長點，而后都進(jìn)展成完整的數(shù)學(xué)分支。除了分析學(xué)這一大系統(tǒng)之外，概率論確實是這一時期使歐幾里得幾何相形見絀的若干重大成就之一。 關(guān)鍵詞：概率論 、起源 、分支 概率論進(jìn)展史 一、歷史背景17、18世紀(jì)，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進(jìn)步。數(shù)學(xué)家們沖破了古希臘的演繹框架，向自然界和社會生活的多方面汲取靈感，數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了眾多嶄新的生長點，而后都進(jìn)展成完整的數(shù)學(xué)分支。除了分析學(xué)這一大系統(tǒng)之外，概率論確實是這一時期使歐幾里得幾何相形見絀的若干重大成就之一。 二、概率論的起源：概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律學(xué)科。概率論起源于博弈問題。15-16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利(L.Pacioli,1445-

31、1517)、塔塔利亞(N.Tartaglia,1499-1557)和卡爾丹(G.cardano,1501-1576)的著作中都曾討論過倆人賭博的賭金分配等概率問題。1657年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯(C.Huygens,1629-1695)發(fā)表了論賭博中的計算，這是最早的概率論著作。這些數(shù)學(xué)家的著述中所出現(xiàn)的第一批概率論概念與定理，標(biāo)志著概率論的誕生。而概率論最為一門獨立的數(shù)學(xué)分支，真正的奠基人是雅格布伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705)。他在遺著猜度術(shù)中首次提出了后來以“伯努利定理”著稱的極限定理，在概率論進(jìn)展史上占有重要地位。伯努利之后，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(A.de Moi

32、vre,1667-1754)把概率論又作了巨大推進(jìn)，他提出了概率乘法法則，正態(tài)分布和正態(tài)分布率的概念，并給出了概率論的一些重要結(jié)果。之后法國數(shù)學(xué)家蒲豐(C.de Buffon,1707-1788)提出了聞名的“普豐問題”，引進(jìn)了幾何概率。另外，拉普拉斯、高斯和泊松(S.D.Poisson,1781-1840)等對概率論做出了進(jìn)一步奠基性工作。特不是拉普拉斯，他是嚴(yán)密的、系統(tǒng)的科學(xué)概率論的最卓越的創(chuàng)建者，在1812年出版的概率的分析理論中，拉普拉斯以強(qiáng)有力的分析工具處理了概率論的差不多內(nèi)容，實現(xiàn)了從組合技巧向分析方法的過渡，使以往零散的結(jié)果系統(tǒng)化，開發(fā)了概率論進(jìn)展的新時期。泊松則推廣了大數(shù)定理，

33、提出了聞名的泊松分布。19世紀(jì)后期，極限理論的進(jìn)展稱為概率論研究的中心課題，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫?qū)Υ俗龀隽酥匾暙I(xiàn)。他建立了關(guān)于獨立隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律，推廣了棣莫弗拉普拉斯的極限定理。切比雪夫的成果后被其學(xué)生馬爾可夫發(fā)揚(yáng)光大，阻礙了20世紀(jì)概率論進(jìn)展的進(jìn)程。19世紀(jì)末，一方面概率論在統(tǒng)計物理等領(lǐng)域的應(yīng)用提出了對概率論差不多概念與原理進(jìn)行解釋的需要，另一方面，科學(xué)家們在這一時期發(fā)覺的一些概率論悖論也揭示出古典概率論中差不多概念存在的矛盾與模糊之處。這些問題卻強(qiáng)烈要求對概率論的邏輯基礎(chǔ)做出更加嚴(yán)格的考察。 三、概率論在實踐中曲折進(jìn)展：在概率問題早期的研究中，逐步建立了事件、概率和隨機(jī)變量等重要概

34、念以及它們的差不多性質(zhì)。后來由于許多社會問題和工程技術(shù)問題，如：人口統(tǒng)計、保險理論、天文觀測、誤差理論、產(chǎn)品檢驗和質(zhì)量操縱等。這些問題的提法，均促進(jìn)了概率論的進(jìn)展，從17世紀(jì)到19世紀(jì)，貝努利、隸莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切貝謝夫、馬爾可夫等聞名數(shù)學(xué)家都對概率論的進(jìn)展做出了杰出的貢獻(xiàn)。在這段時刻里，概率論的進(jìn)展簡直到了使人著迷的程度。然而，隨著概率論中各個領(lǐng)域獲得大量成果，以及概率論在其他基礎(chǔ)學(xué)科和工程技術(shù)上的應(yīng)用，由拉普拉斯給出的概率定義的局限性專門快便暴露了出來，甚至無法適用于一般的隨機(jī)現(xiàn)象。因此能夠講，到20世紀(jì)初，概率論的一些差不多概念，諸如概率等尚沒有確切的定義，概率論作為一個數(shù)

35、學(xué)分支，缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。 四、概率論理論基礎(chǔ)的建立：概率論的第一本專著是1713年問世的雅各貝努利的推測術(shù)。通過二十多年的困難研究，貝努利在該樹種，表述并證明了聞名的大數(shù)定律。所謂大數(shù)定律，簡單地講確實是，當(dāng)實驗次數(shù)專門大時，事件出現(xiàn)的頻率與概率有較大偏差的可能性專門小。這一定理第一次在單一的概率值與眾多現(xiàn)象的統(tǒng)計度量之間建立了演繹關(guān)系，構(gòu)成了從概率論通向更廣泛應(yīng)用領(lǐng)域的橋梁。因此，貝努利被稱為概率論的奠基人。為概率論確定嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫。1933年，他發(fā)表了聞名的概率論的差不多概念，用公理化結(jié)構(gòu)，那個結(jié)構(gòu)明確定義了概率論進(jìn)展史上的一個里程碑，為以后的概率論的迅速進(jìn)展奠

36、定了基礎(chǔ)。五、概率論的應(yīng)用：20世紀(jì)以來，由于物理學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)、農(nóng)業(yè)技術(shù)和軍事技術(shù)進(jìn)展的推動，概率論飛速進(jìn)展，理論課題不斷擴(kuò)大與深入，應(yīng)用范圍大大拓寬。在最近幾十年中，概率論的方法被引入各個工程技術(shù)學(xué)科和社會學(xué)科。目前，概率論在近代物理、自動操縱、地震預(yù)報和氣象預(yù)報、工廠產(chǎn)品質(zhì)量操縱、農(nóng)業(yè)試驗和公用事業(yè)等方面都得到了重要應(yīng)用。有越來越多的概率論方法被引入導(dǎo)經(jīng)濟(jì)、金融和治理科學(xué)，概率論成為它們的有力工具。 為了使大伙兒更直觀的了解概率論的應(yīng)用，下面我給大伙兒舉一個概率論在社會調(diào)查中應(yīng)用的例子。關(guān)于某些被調(diào)查不愿公開回答的問題，運(yùn)用概率論的方法能夠得到較準(zhǔn)確的結(jié)論。舉個例子，對一批立即出國

37、留學(xué)的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，確定學(xué)業(yè)完成后情愿回國者所占的比例。關(guān)于完成學(xué)業(yè)后，你是否會回國這一問題，專門多人不希望透露自己的真實方法。為了得到正確的結(jié)論，我們將問題稍加調(diào)整，將完成學(xué)業(yè)后，你是否會回國定位問題a，另設(shè)問題b：你的年齡是奇數(shù)。將a、b組成一組問題，讓被調(diào)查者拋硬幣決定回答問題a或b，同時在問卷上不標(biāo)示被調(diào)查者回答的是問題a依舊問題b。解除了顧慮后，被調(diào)查者都會給出真實的方法。然后，運(yùn)用概率論方法，我們就能夠從調(diào)查結(jié)果中得到我們想明白的回國者比例。假定有300人同意調(diào)查，結(jié)果有130個是。因為被調(diào)查者回答問題a、b的概率各是50%，因此將各有約150人回答a或b問題。又被調(diào)查者年齡是奇數(shù)

38、的概率各是50%，因此150個回答b問題的人中，約有75個是。那么130個是的答案中，約有55個是是問題a的答案，因此我們就能夠得到完成學(xué)業(yè)后情愿回國者的比例約55/150即11/30。六、概率論的公理化俄國數(shù)學(xué)家伯恩斯坦和奧地利數(shù)學(xué)家馮米西斯(R.von Mises,1883-1953)對概率論的嚴(yán)格化做了最早的嘗試。但它們提出的公理理論并不完善。事實上，真正嚴(yán)格的公理化概率論只有在測度論和實變函數(shù)理論的基礎(chǔ)才可能建立。測度論的奠基人，法國數(shù)學(xué)家博雷爾(E.Borel,1781-1956)首先將測度論方法引入概率論重要問題的研究，同時他的工作激起了數(shù)學(xué)家們沿這一嶄新方向的一系列搜索。特不是原

39、蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫的工作最為卓著。他在1926年推倒了弱大數(shù)定律成立的充分必要條件。后又對博雷爾提出的強(qiáng)大數(shù)定律問題給出了最一般的結(jié)果，從而解決了概率論的中心課題之一大數(shù)定律，成為以測度論為基礎(chǔ)的概率論公理化的前奏。1933年，科爾莫戈羅夫出版了他的著作概率論基礎(chǔ)，這是概率論的一部經(jīng)典性著作。其中，科爾莫戈羅夫給出了公理化概率論的一系列差不多概念，提出了六條公理，整個概率論大廈能夠從這六條公理動身建筑起來?？茽柲炅_夫的公理體系逐漸得到數(shù)學(xué)家們的普遍認(rèn)可。由于公理化，概率論成為一門嚴(yán)格的演繹科學(xué)，并通過集合論與其它數(shù)學(xué)分支緊密地聯(lián)系者。科爾莫戈羅夫是20世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，他不僅僅是公

40、理化概率論的建立者，在數(shù)學(xué)和力學(xué)的眾多領(lǐng)域他都做出了開創(chuàng)或奠基性的貢獻(xiàn)，同時，他依舊出色的教育家。由于概率論等其它許多領(lǐng)域的杰出貢獻(xiàn)，科爾莫戈羅夫榮獲80年的沃爾夫獎。七、進(jìn)一步的進(jìn)展在公理化基礎(chǔ)上，現(xiàn)代概率論取得了一系列理論突破。公理化概率論首先使隨機(jī)過程的研究獲得了新的起點。1931年，科爾莫戈羅夫用分析的方法奠定了一類一般的隨機(jī)過程馬爾可夫過程的理論基礎(chǔ)?？茽柲炅_夫之后，對隨機(jī)過程的研究做出重大貢獻(xiàn)而阻礙著整個現(xiàn)代概率論的重要代表人物有萊維(P.Levy,1886-1971)、辛欽、杜布(J.L.Dob)和伊藤清等。1948年萊維出版的著作隨機(jī)過程與布朗運(yùn)動提出了獨立增量過程的一般理論

41、，并以此為基礎(chǔ)極大地推進(jìn)了作為一類專門馬爾可夫過程的布朗運(yùn)動的研究。1934年，辛欽提出平穩(wěn)過程的相關(guān)理論。1939年，維爾(J.Ville)引進(jìn)“鞅”的概念，1950年起，杜布對鞅概念進(jìn)行了系統(tǒng)的研究而使鞅論成為一門獨立的分支。從1942年開始，日本數(shù)學(xué)家伊藤清引進(jìn)了隨機(jī)積分與隨機(jī)微分方程，不僅開發(fā)了隨機(jī)過程研究的新道路，而且為隨機(jī)分析這門數(shù)學(xué)新分支的創(chuàng)立和進(jìn)展奠定了基礎(chǔ)。像任何一門公理化的數(shù)學(xué)分支一樣，公理化的概率論的應(yīng)用范圍被大大拓廣。 概率論的產(chǎn)生 希羅多德在他的巨著歷史中記錄到，早在公元前1500年，埃及人為了忘卻饑餓，經(jīng)常聚攏在一起擲骰子，游戲進(jìn)展到后來，到了公元前1200年，有了

42、立方體的骰子，6個面上刻上數(shù)字，和現(xiàn)代的賭博工具差不多沒有了區(qū)不。但概率論的概念直到文藝復(fù)興后才出現(xiàn)，概率論出現(xiàn)如此遲緩，有人認(rèn)為是人類的道德規(guī)范阻礙了對賭博的研究既然賭博被視為不道德的，那么將機(jī)會性游戲作為科學(xué)研究的對象也確實是大逆不道。第一個有意識地計算賭博勝算的是文藝復(fù)興時期意大利大夫、數(shù)學(xué)家卡當(dāng)。據(jù)講卡當(dāng)曾參加過如此的一種賭法：把兩顆骰子擲出去，以每個骰子朝上的點數(shù)之和作為賭的內(nèi)容已知骰子的六個面上分不為16點，那么，賭注下在多少點上最有利？234567345678456789567891067891011789101112兩個骰子朝上的面共有36種可能，點數(shù)之和分不可為212共11種

43、從圖中可知，7是最容易出現(xiàn)的和數(shù)，它出現(xiàn)的概率是 卡當(dāng)曾預(yù)言講押7最好現(xiàn)在看來那個方法是專門簡單的，但是在卡當(dāng)?shù)臅r代，應(yīng)該講是專門杰出的思想方法他在一生中超過40年的時刻里，幾乎每天都參與賭博，而且是帶著數(shù)學(xué)的頭腦去觀看、去考慮。最終，在一本名叫機(jī)會性游戲手冊的書中，他公布了調(diào)查和考慮的結(jié)果和關(guān)于賭博實踐的體會。這本書寫于1526年左右，但一直到一百多年后的1663年才出版。書中已包含了等可能性事件的概率的思想萌芽，即一個專門結(jié)果的概率是所有達(dá)到那個結(jié)果的可能方法的數(shù)目被一個事件的所有可能結(jié)果的總和所除。在那個時代，盡管概率論的萌芽有些進(jìn)展，但還沒有出現(xiàn)真正的概率論十七世紀(jì)中葉，法國貴族德梅勒

44、在一次和賭友擲骰子中，各押賭注32個金幣雙方約定，梅勒假如先擲出三次6點，或者賭友先擲三次4點，就贏了對方賭博進(jìn)行了一段時刻，梅勒差不多兩次擲出6點，賭友差不多一次擲出4點，這時候梅勒接到通知，要他立即陪同國王接見外賓，賭博只好中斷了請問：兩個人應(yīng)該如何樣分這64個金幣才算合理呢？ 賭友講，他要再碰上兩次4點，或梅勒要再碰上一次6點就算贏，因此他有權(quán)分得梅勒的一半，即梅勒分64個金幣的 ，自己分64個金幣的 梅勒爭辯講，不對，即使下一次賭友擲出了4點，他還能夠得到 ，即32個金幣；再加上下一次他還有一半希望得到16個金幣，因此他應(yīng)該分得64個金幣的 ，賭友只能分得64個金幣的 兩人到底誰講得對

45、呢？因此就寫信向當(dāng)時法國的最具權(quán)威的數(shù)學(xué)家帕斯卡請教，正是這封信使概率論向前邁出了第一步帕斯卡是17世紀(jì)有名的“神童”數(shù)學(xué)家但是，梅勒提出的“分賭注”的問題，卻把他難住了他苦苦考慮了兩三年，到1654年才算有了點眉目，因此寫信給他的好友費(fèi)馬，兩人討論結(jié)果，取得了一致的意見：梅勒的分法是對的，他應(yīng)得64個金幣的 ，賭友應(yīng)得64金幣的 這時有位荷蘭的數(shù)學(xué)家惠更斯在巴黎聽到這件新聞；也參加了他們的討論討論結(jié)果，惠更斯把它寫成一本書叫做論賭博中的計算（1657年），這確實是概率論最早的一部著作因此，一個嶄新的數(shù)學(xué)分支概率論登上了歷史舞臺概率論現(xiàn)在差不多成了數(shù)學(xué)的一個重要分支，最初它只是關(guān)于帶機(jī)遇性游戲

46、的分析，而現(xiàn)在差不多是一門龐大的數(shù)學(xué)理論，它在社會學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)和化學(xué)等許多領(lǐng)域發(fā)揮著十分重要的作用 概率論與數(shù)理統(tǒng)計進(jìn)展簡史 17世紀(jì)，正當(dāng)研究必定性事件的數(shù)理關(guān)系獲得較大進(jìn)展的時候，一個研究偶然事件數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)分支開始出現(xiàn)，這確實是概率論早在16世紀(jì)，賭博中的偶然現(xiàn)象就開始引起人們的注意數(shù)學(xué)家卡丹諾(Cardano)首先覺察到，賭博輸贏盡管是偶然的，但較大的賭博次數(shù)會呈現(xiàn)一定的規(guī)律性, 卡丹諾為此還寫了一本論賭博的小冊子，書中計罷了擲兩顆骰子或三顆骰子時，在一切可能的方法中有多少方法得到某一點數(shù)據(jù)講，曾與卡丹諾在三次方程發(fā)明權(quán)上發(fā)生爭論的塔爾塔里亞，也曾做過類似的實驗促使概率論產(chǎn)生的

47、強(qiáng)大動力來自社會實踐首先是保險事業(yè)文藝復(fù)興后，隨著航海事業(yè)的進(jìn)展，意大利開始出現(xiàn)海上保險業(yè)務(wù)16世紀(jì)末，在歐洲許多國家已把保險業(yè)務(wù)擴(kuò)大到其它工商業(yè)上，保險的對象差不多上偶然性事件為了保證保險公司贏利，又使參加保險的人情愿參加保險，就需要依照對大量偶然現(xiàn)象規(guī)律性的分析，去創(chuàng)立保險的一般理論因此，一種專門適用于分析偶然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具也就成為十分必要了只是，作為數(shù)學(xué)科學(xué)之一的概率論，其基礎(chǔ)并不是在上述實際問題的材料上形成的因為這些問題的大量隨機(jī)現(xiàn)象，常被許多錯綜復(fù)雜的因素所干擾，它使難以呈“自然的隨機(jī)狀態(tài)”因此必須從簡單的材料來研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，這種材料確實是所謂的“隨機(jī)博弈”在近代概率論創(chuàng)立之

48、前，人們正是通過對這種隨機(jī)博弈現(xiàn)象的分析,注意到了它的一些特性, 比如“多次實驗中的頻率穩(wěn)定性”等，然后經(jīng)加工提煉而形成了概率論.荷蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯（Huygens）于1657年發(fā)表了關(guān)于概率論的早期著作論賭博中的計算在此期間，法國的費(fèi)爾馬（Fermat）與帕斯卡（Pascal）也在相互通信中探討了隨機(jī)博弈現(xiàn)象中所出現(xiàn)的概率論的差不多定理和法則惠更斯等人的工作建立了概率和數(shù)學(xué)期望等要緊概念，找出了它們的差不多性質(zhì)和演算方法，從而塑造了概率論的雛形18世紀(jì)是概率論的正式形成和進(jìn)展時期1713年，貝努利（Bernoulli）的名著推想的藝術(shù)發(fā)表在這部著作中，貝努利明確指出了概率論最重要的定

49、律之一“大數(shù)定律”，同時給出了證明，這使以往建立在經(jīng)驗之上的頻率穩(wěn)定性推測理論化了，從此概率論從對專門問題的求解，進(jìn)展到了一般的理論概括繼貝努利之后，法國數(shù)學(xué)家棣謨佛（Abraham de Moiver）于1781年發(fā)表了機(jī)遇原理書中提出了概率乘法法則，以及“正態(tài)分”和“正態(tài)分布律”的概念，為概率論的“中心極限定理”的建立奠定了基礎(chǔ)1706年法國數(shù)學(xué)家蒲豐（Comte de Buffon）的偶然性的算術(shù)試驗完成，他把概率和幾何結(jié)合起來，開始了幾何概率的研究，他提出的“蒲豐問題”確實是采取概率的方法來求圓周率的嘗試通過貝努利和棣謨佛的努力，使數(shù)學(xué)方法有效地應(yīng)用于概率研究之中，這就把概率論的專門進(jìn)

50、展同數(shù)學(xué)的一般進(jìn)展聯(lián)系起來，使概率論一開始就成為數(shù)學(xué)的一個分支概率論問世不久，就在應(yīng)用方面發(fā)揮了重要的作用牛痘在歐洲大規(guī)模接種之后，曾因副作用引起爭議這時貝努利的侄子丹尼爾貝努利（Daniel Bernoulli）依照大量的統(tǒng)計資料，作出了種牛痘能延長人類平均壽命三年的結(jié)論，消除了一些人的恐懼和懷疑；歐拉（Euler）將概率論應(yīng)用于人口統(tǒng)計和保險，寫出了關(guān)于死亡率和人口增長率問題的研究，關(guān)于孤兒保險等文章；泊松（Poisson）又將概率應(yīng)用于射擊的各種問題的研究，提出了打靶概率研究報告總之，概率論在18世紀(jì)確立后，就充分地反映了其廣泛的實踐意義19世紀(jì)概率論朝著建立完整的理論體系和更廣泛的應(yīng)用

51、方向進(jìn)展其中為之作出較大貢獻(xiàn)的有：法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace），德國數(shù)學(xué)家高斯（Gauss），英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家麥克斯韋（Maxwell），美國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家吉布斯（Gibbs）等概率論的廣泛應(yīng)用，使它于18和19兩個世紀(jì)成為熱門學(xué)科，幾乎所有的科學(xué)領(lǐng)域，包括神學(xué)等社會科學(xué)都企圖借助于概率論去解決問題，這在一定程度上造成了“濫用”的情況，因此到19世紀(jì)后半期時，人們不得不重新對概率進(jìn)行檢查，為它奠定牢固的邏輯基礎(chǔ)，使它成為一門強(qiáng)有力的學(xué)科1917年蘇聯(lián)科學(xué)家伯恩斯坦首先給出了概率論的公理體系1933年柯爾莫哥洛夫又以更完整的形式提出了概率論的公理結(jié)構(gòu)，從此，更現(xiàn)代意義上的完整的概率

52、論臻于完成相關(guān)于其它許多數(shù)學(xué)分支而言，數(shù)理統(tǒng)計是一個比較年輕的數(shù)學(xué)分支多數(shù)人認(rèn)為它的形成是在20世紀(jì)40年代克拉美（H.Carmer）的著作統(tǒng)計學(xué)的數(shù)學(xué)方法問世之時，它使得1945年往常的25年間英、美統(tǒng)計學(xué)家在統(tǒng)計學(xué)方面的工作與法、俄數(shù)學(xué)家在概率論方面的工作結(jié)合起來，從而形成數(shù)理統(tǒng)計這門學(xué)科它是以對隨機(jī)現(xiàn)象觀測所取得的資料為動身點，以概率論為基礎(chǔ)來研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門學(xué)科，它有專門多分支，但其差不多內(nèi)容為采集樣本和統(tǒng)計推斷兩大部分進(jìn)展到今天的現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計學(xué)，又經(jīng)歷了各種歷史變遷統(tǒng)計的早期開端大約是在公元前世紀(jì)初的人口普查計算中，這是統(tǒng)計性質(zhì)的工作，但還不能算作是現(xiàn)代意義下的統(tǒng)計學(xué)到了18世紀(jì)，

53、統(tǒng)計才開始向一門獨立的學(xué)科進(jìn)展，用于描述表征一個狀態(tài)的條件的一些特征，這是由于受到概率論的阻礙高斯從描述天文觀測的誤差而引進(jìn)正態(tài)分布，并使用最小二乘法作為可能方法，是近代數(shù)理統(tǒng)計學(xué)進(jìn)展初期的重大事件，18世紀(jì)到19世紀(jì)初期的這些貢獻(xiàn)，對社會進(jìn)展有專門大的阻礙例如，用正態(tài)分布描述觀測數(shù)據(jù)后來被廣泛地用到生物學(xué)中，其應(yīng)用是如此普遍，以至在19世紀(jì)相當(dāng)長的時期內(nèi)，包括高爾頓（Galton）在內(nèi)的一些學(xué)者，認(rèn)為那個分布可用于描述幾乎是一切常見的數(shù)據(jù)直到現(xiàn)在，有關(guān)正態(tài)分布的統(tǒng)計方法，仍占據(jù)著常用統(tǒng)計方法中專門重要的一部分最小二乘法方面的工作，在20世紀(jì)初以來，又通過了一些學(xué)者的進(jìn)展，現(xiàn)在成了數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中

54、的要緊方法從高斯到20世紀(jì)初這一段時刻，統(tǒng)計學(xué)理論進(jìn)展不快，但仍有若干工作對后世產(chǎn)生了專門大的阻礙其中，如貝葉斯（Bayes）在1763年發(fā)表的論有關(guān)機(jī)遇問題的求解，提出了進(jìn)行統(tǒng)計推斷的方法論方面的一種見解，在那個時期中逐步進(jìn)展成統(tǒng)計學(xué)中的貝葉斯學(xué)派（現(xiàn)在，那個學(xué)派的阻礙愈來愈大）現(xiàn)在我們所理解的統(tǒng)計推斷程序，最早的是貝葉斯方法，高斯和拉普拉斯應(yīng)用貝葉斯定理討論了參數(shù)的可能法，那時使用的符號和術(shù)語，至今仍然沿用再如前面提到的高爾頓在回歸方面的先驅(qū)性工作，也是那個時期中的要緊進(jìn)展，他在遺傳研究中為了弄清父子兩輩特征的相關(guān)關(guān)系，揭示了統(tǒng)計方法在生物學(xué)研究中的應(yīng)用，他引進(jìn)回歸直線、相關(guān)系數(shù)的概念，創(chuàng)

55、始了回歸分析數(shù)理統(tǒng)計學(xué)進(jìn)展史上極重要的一個時期是從19世紀(jì)到二次大戰(zhàn)結(jié)束現(xiàn)在，多數(shù)人傾向于把現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的起點和達(dá)到成熟定為那個時期的始末這確是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)蓬勃進(jìn)展的一個時期，許多重要的差不多觀點、方法，統(tǒng)計學(xué)中要緊的分支學(xué)科，差不多上在那個時期建立和進(jìn)展起來的以費(fèi)歇爾（R.A.Fisher）和皮爾遜（K.Pearson）為首的英國統(tǒng)計學(xué)派，在那個時期起了主導(dǎo)作用，特不是費(fèi)歇爾繼高爾頓之后，皮爾遜進(jìn)一步進(jìn)展了回歸與相關(guān)的理論，成功地創(chuàng)建了生物統(tǒng)計學(xué)，并得到了“總體”的概念，1891年之后，皮爾遜潛心研究區(qū)分物種時用的數(shù)據(jù)的分布理論，提出了“概率”和“相關(guān)”的概念接著，又提出標(biāo)準(zhǔn)差、正態(tài)曲線、平

56、均變差、均方根誤差等一系列數(shù)理統(tǒng)計差不多術(shù)語皮爾遜致力于大樣本理論的研究，他發(fā)覺許多生物方面的數(shù)據(jù)有顯著的偏態(tài)，不適合用正態(tài)分布去刻畫，為此他提出了后來以他的名字命名的分布族，為可能那個分布族中的參數(shù)，他提出了“矩法”為考察實際數(shù)據(jù)與這族分布的擬合分布優(yōu)劣問題，他引進(jìn)了聞名“檢驗法”，并在理論上研究了其性質(zhì)那個檢驗法是假設(shè)檢驗最早、最典型的方法，他在理論分布完全給定的情況下求出了檢驗統(tǒng)計量的極限分布1901年，他創(chuàng)辦了生物統(tǒng)計學(xué)，使數(shù)理統(tǒng)計有了自己的陣地，這是世紀(jì)初葉數(shù)學(xué)的重大收獲之一1908年皮爾遜的學(xué)生戈賽特（Gosset）發(fā)覺了Z的精確分布，創(chuàng)始了“精確樣本理論”他署名“Student”

57、在生物統(tǒng)計學(xué)上發(fā)表文章，改進(jìn)了皮爾遜的方法他的發(fā)覺不僅不再依靠近似計算，而且能用所謂小樣本進(jìn)行統(tǒng)計推斷，并使統(tǒng)計學(xué)的對象由集團(tuán)現(xiàn)象轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)現(xiàn)象現(xiàn)“Student分布”已成為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的常用工具，“Student氏”也是一個常見的術(shù)語英國實驗遺傳學(xué)家兼統(tǒng)計學(xué)家費(fèi)歇爾，是將數(shù)理統(tǒng)計作為一門數(shù)學(xué)學(xué)科的奠基者，他開創(chuàng)的試驗設(shè)計法，憑借隨機(jī)化的手段成功地把概率模型帶進(jìn)了實驗領(lǐng)域，并建立了方差分析法來分析這種模型費(fèi)歇爾的試驗設(shè)計，既把實踐帶入理論的視野內(nèi)，又促進(jìn)了實踐的進(jìn)展，從而大量地節(jié)約了人力、物力，試驗設(shè)計那個主題，后來為眾多數(shù)學(xué)家所進(jìn)展費(fèi)歇爾還引進(jìn)了顯著性檢驗的概念，成為假設(shè)檢驗理論的先驅(qū)他考察

58、了可能的精度與樣本所具有的信息之間的關(guān)系而得到信息量概念，他對測量數(shù)據(jù)中的信息，壓縮數(shù)據(jù)而不損失信息，以及對一個模型的參數(shù)可能等貢獻(xiàn)了完善的理論概念，他把一致性、有效性和充分性作為參數(shù)可能量應(yīng)具備的差不多性質(zhì)同時還在1912年提出了極大似然法，這是應(yīng)用上最廣的一種可能法他在年代的工作，奠定了參數(shù)可能的理論基礎(chǔ)關(guān)于檢驗，費(fèi)歇爾1924 年解決了理論分布包含有限個參數(shù)情況，基于此方法的列表檢驗，在應(yīng)用上有重要意義費(fèi)歇爾在一般的統(tǒng)計思想方面也作出過重要的貢獻(xiàn)，他提出的“信任推斷法”，在統(tǒng)計學(xué)界引起了相當(dāng)大的興趣和爭論，費(fèi)歇爾給出了許多現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)概念，考慮方法十分直觀，他造就了一個學(xué)派，在純粹數(shù)

59、學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)方面都建樹卓越那個時期作出重要貢獻(xiàn)的統(tǒng)計學(xué)家中，還應(yīng)提到奈曼（J.Neyman）和皮爾遜（E.Pearson）他們在從1928年開始的一系列重要工作中，進(jìn)展了假設(shè)檢驗的系列理論奈曼皮爾遜假設(shè)檢驗理論提出和精確化了一些重要概念該理論對后世也產(chǎn)生了巨大阻礙，它是現(xiàn)今統(tǒng)計教科書中不可缺少的一個組成部分，奈曼還創(chuàng)立了系統(tǒng)的置信區(qū)間可能理論，早在奈曼工作之前，區(qū)間可能就已是一種常用形式，奈曼從1934年開始的一系列工作，把區(qū)間可能理論置于柯爾莫哥洛夫概率論公理體系的基礎(chǔ)之上，因而奠定了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，而且他還把求區(qū)間可能的問題表達(dá)為一種數(shù)學(xué)上的最優(yōu)解問題，那個理論與奈曼皮爾遜假設(shè)檢驗理論，關(guān)

60、于數(shù)理統(tǒng)計形成為一門嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分支起了重大作用以費(fèi)歇爾為代表人物的英國成為數(shù)理統(tǒng)計研究的中心時，美國在二戰(zhàn)中進(jìn)展亦快，有三個統(tǒng)計研究組在投彈問題上進(jìn)行了9項研究，其中最有成效的哥倫比亞大學(xué)研究小組在理論和實踐上都有重大建樹，而最為聞名的是首先系統(tǒng)地研究了“序貫分析”，它被稱為“30年代最有威力”的統(tǒng)計思想“序貫分析”系統(tǒng)理論的創(chuàng)始人是聞名統(tǒng)計學(xué)家沃德（Wald）他是原籍羅馬尼亞的英國統(tǒng)計學(xué)家，他于1934年系統(tǒng)進(jìn)展了早在20年代就受到注意的序貫分析法沃德在統(tǒng)計方法中引進(jìn)的“停止規(guī)則”的數(shù)學(xué)描述，是序貫分析的概念基礎(chǔ)，并已證明是現(xiàn)代概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中最富于成果的概念之一從二戰(zhàn)后到現(xiàn)在，是統(tǒng)計學(xué)