1、 中國古代數(shù)學(xué)思想與方法（一）鄧 鵬西華師范大學(xué)富硒功能農(nóng)業(yè)第1頁一、神奇創(chuàng)造中華數(shù)學(xué)之光周易數(shù)學(xué)思想 周易又稱易經(jīng)-為“五經(jīng)”之首（尚書、禮記、詩經(jīng)、春秋） 周易分為兩大部分：易經(jīng)和易傳。經(jīng)包含卦、爻兩種符號和卦辭、爻辭兩種說明。相傳伏羲畫卦，文王作辭。大約西周初年（公元前11世紀）成書，后經(jīng)春秋、戰(zhàn)國以至西漢人陸續(xù)寫成。富硒功能農(nóng)業(yè)第2頁富硒功能農(nóng)業(yè)第3頁 怎樣說“理”？經(jīng)過數(shù)和數(shù)表八卦和六十四卦，來進行探究。 所以，周易是我國古代哲學(xué)著作，其中又包含有不少數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維結(jié)果。它不但對我國傳統(tǒng)思想、文化發(fā)展起了巨大影響和啟迪作用，而且直到今天，它依然吸引著不少中外學(xué)者研究興趣。它潛在思

2、想內(nèi)容，實在太豐富了。 周易試圖講述宇宙萬事萬物不停改變、相互轉(zhuǎn)化、化繁為簡“不易之理”。富硒功能農(nóng)業(yè)第4頁八卦二進制原理 卦是由兩種符號組成： 陽爻“” 陰爻“ “ 這兩種符號重復(fù)抽取三次， 那么就有八種可能結(jié)果，把每種結(jié)果起一個名字，就形成了八個經(jīng)卦（簡稱八卦）：乾、巽（音：迅）、離、艮、兌、坎、震、坤富硒功能農(nóng)業(yè)第5頁太極八卦圖 再給每一卦配一個方位，圍繞太極排列起來，就組成了太極八卦圖。富硒功能農(nóng)業(yè)第6頁 假如將 陽爻 “ 1” 表示，陰爻 “ 0” 表示， 那么上述八卦恰好是二進制數(shù)頭八個數(shù)： 111， 110， 101， 100，011，010， 001， 000 從陽爻、陰爻中重

3、復(fù)抽取六次，就得到64個別卦，恰好是二進制數(shù)頭64個數(shù)。 富硒功能農(nóng)業(yè)第7頁 17世紀末，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（16461716）就醉心研究二進制記數(shù)法。當(dāng)他從來華傳教士域明我那里了解到中國周易里八卦時，欣喜若狂，他認為中國古老八卦就是二進制記數(shù)制證實。 他還寫信給中國康熙皇帝，贊揚中國古代科學(xué)成就，提議建立中國科學(xué)院（德國科學(xué)院就是他提倡成立）。 只須要兩個記數(shù)符號 1和0，或者是陽爻和陰爻，就能將任意大正整數(shù)表示出來。 富硒功能農(nóng)業(yè)第8頁 演卦中數(shù)學(xué)原理 演卦并不是簡單地從兩種不一樣符號中隨意抽取三次或六次而得到。演卦有一個復(fù)雜既定程序。大致過程是這么： 首先，取長短大致相同蓍草（蓍：音詩

4、，一個野草莖桿）50根，去掉一根，實用49根。 第一步，將一堆蓍草隨意分為兩把，從右手中抽一根夾于左手小指與無名指之間。左、右兩把蓍草分別四根一數(shù)，最終將所剩下四根或不足四根、連同左手夾一根除去。這稱之為“一變”。一變剩下蓍草要么是40根，要么是44根。 富硒功能農(nóng)業(yè)第9頁 第二步，將這所剩蓍草再隨意分成左、右兩把，如前再數(shù)一次，去掉零頭，謂之“二變”。二變后剩下根數(shù)，為40、36、32這三種情況之一。 第三步，將剩下蓍草再進行“三變”, 最終所剩根數(shù)為36、32、28、24這四種情況之一。 第四步，將所剩蓍草用4除，所得商為6、7、8、9四個數(shù)之一，謂之一爻：奇數(shù)為陽爻，偶數(shù)為陰爻。 得三爻

5、即成一經(jīng)卦，得六爻即成一別卦。富硒功能農(nóng)業(yè)第10頁 演卦包含數(shù)學(xué)思想： 其一，把正整數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類； 其二，“三變”重復(fù)用4除帶余除法，且余數(shù)多少決定卦象；余數(shù)相同則卦象相同，含有“同余”思想。 其三，在演卦過程中，每變對最終結(jié)果陰爻和陽爻影響是機會均等。亦就是說，三變成爻，陰爻和陽爻是等概率。富硒功能農(nóng)業(yè)第11頁三變成爻框圖表示富硒功能農(nóng)業(yè)第12頁富硒功能農(nóng)業(yè)第13頁歷書干支記日法 在中國古代，怎樣來記載歷史上某年某月某日發(fā)生了某事呢？這實在是個難題。我們祖先卻想出了一個絕好方法干支記日法。 天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸 地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、

6、戌、亥 用10個天干和12個地支搭配起來，成為甲子、乙丑、癸亥，共60個不一樣干支名，稱為六十甲子。用這60干支給每一日起一個名字，依次為甲子日、乙丑日、，癸亥日，然后又從頭以甲子命名，周而復(fù)始，循環(huán)使用。富硒功能農(nóng)業(yè)第14頁六十甲子表富硒功能農(nóng)業(yè)第15頁 我國干支記年從東漢四分歷頒發(fā)實施那一年東漢章帝元和二年（公元85年）開始，自那以來，直至今天都連續(xù)使用這種干支記年法，從未間斷，也從未混亂過。這是世界上使用時間最長記年法。 中國早在商代就已創(chuàng)造了干支記日法。甲骨文中卜辭就是用干支記日，還發(fā)覺有比較完整甲子表。殷商帝王們也大多用其出生那一天干支日名來命名，如 帝辛就是商紂王名字。富硒功能農(nóng)業(yè)

7、第16頁干支年號與公元年號推算 給公元前每一年取一個干支名。以公元年是甲子年為參考。 由此得到計算公元年干支年號方法。設(shè)公元年數(shù)為N，令 b N60q3 這里q是自然數(shù)，0b 60。b就是最近一個甲子周期所剩年數(shù)，在甲子表中第b個干支名，就是所要計算那一年干支名。富硒功能農(nóng)業(yè)第17頁比如，求1937年干支名。 b 1937 6032314 甲子表中第14個干支名為丁丑，所以1937年是丁丑年。富硒功能農(nóng)業(yè)第18頁能夠不查甲子表，直接進行以下推算： 在甲子表中，天干逢10一循環(huán)，凡第1、11、21、31、41、51位天干皆是甲，地支逢12一循環(huán)，凡第1、13、25、37、49地支皆是子。 所以，

8、可求得 富硒功能農(nóng)業(yè)第19頁則第 個天干與第 個地支搭配，就是這一年干支名。 比如，求1898年干支名： b = 189860313 = 35， 第五個天干名是戊，第十一個地支名是戊，所以1898年是戌年，即是“戊戌變法”那一年。富硒功能農(nóng)業(yè)第20頁反過來，也能夠用干支年號推算公元年號。 比如，甲申年李自成起義失敗，甲申年是公元多少年？ 首先判斷李自成起義失敗在17世紀。公元4年是甲子，公元是甲戌，公元24年是甲申。所以 246027 = 1644年是甲申年。而17世紀中只有這一個甲申年。故李自成起義失敗是在1644年。富硒功能農(nóng)業(yè)第21頁 據(jù)春秋記載： “魯隱公三年春王二月己巳日有食之”，能

9、夠推得這一次全日食，發(fā)生在公元前72月22日。 注意：按國際通例，公元元年（1年）前一年是公元前1年（1年），沒有公元零年。所以，推算公元前某年干支年號，從公元4年（甲子年）往前推要減去一年。 近代史上許多重大事件，也常以該事件發(fā)生干支年號來命名，如“辛亥革命”、“甲午戰(zhàn)爭”、“辛丑條約”、“庚子賠款”等。富硒功能農(nóng)業(yè)第22頁人生“八字” 用干支記日、記年同時，我國還用于支記月、記時。每個人出生時間由年、月、日、時來決定，年、月、日、時干支名分別用兩個字表示，總共八個字，這就是舊時人們常說人生“八字”。 這個人生“八字”，只是統(tǒng)計一個人出生年、月、日、時干支名，起了記時作用，并沒有更多意義。宿

10、命論者認為“八字”決定人一生命運，是一個毫無依據(jù)。 富硒功能農(nóng)業(yè)第23頁河圖、洛書數(shù)學(xué)奧秘 相傳伏羲時代，黃河有龍馬負圖出水，是謂“河圖”； 大禹治水時，洛水有神龜負圖登岸，是謂“洛書”。據(jù)明代程大位算法統(tǒng)宗所載，河圖、洛書以下列圖所表示：周易：河出圖，洛出書，圣人則之。這圖和書是圣人一切知識源泉，治理國家策略富硒功能農(nóng)業(yè)第24頁河圖 洛書 富硒功能農(nóng)業(yè)第25頁 其實河圖、洛書都是由小圓點排列而成數(shù)陣圖。若把點子改寫成數(shù)字，洛書就變成“九宮圖”：九宮圖 規(guī)律：每行、每列、兩條對角上三個數(shù)字之和均為15。 這絕對不是能夠隨便寫得出來。它是人類高度智慧產(chǎn)物，是古人數(shù)學(xué)思維結(jié)晶。富硒功能農(nóng)業(yè)第26頁

11、 最早記載這個九宮圖，是寫于東漢初年大戴禮記（成書于公元80年）。但關(guān)于河圖、洛書傳說，卻遠在公元前5世紀以前。 九宮圖在中國發(fā)展為“縱橫圖”，傳到中亞和西方，稱為“幻方”。九宮圖本身是世界上最早三階幻方。富硒功能農(nóng)業(yè)第27頁楊輝“縱橫圖” 洛書和九宮圖，到了南宋，數(shù)學(xué)家楊輝（公元13世紀）把它命名為“縱橫圖”，而且把它看成數(shù)學(xué)對象來進行研究。 N 階縱橫圖要求是： 把 個連續(xù)自然數(shù)排成n行、n列，使每行、每列、每條對角線上n個數(shù)之和都相等。富硒功能農(nóng)業(yè)第28頁 楊輝創(chuàng)編出了四階、五階，以至十階縱橫圖，以及其它形式連環(huán)圖。如 聚八圖 攢九圖 富硒功能農(nóng)業(yè)第29頁 這影響到明清兩代數(shù)學(xué)家研究興趣

12、。明代程大位（15331606）給出了14個縱橫圖，清初張潮（ 1600一？）在算法補圖中又造出不少新連環(huán)圖。保其壽還造出了一個立體連環(huán)圖。張潮連環(huán)圖 保其壽立體連環(huán)圖 富硒功能農(nóng)業(yè)第30頁 楊輝創(chuàng)造性不但表現(xiàn)在他把三階縱橫圖推廣到高階，而且研究了縱橫圖結(jié)構(gòu)法。以4階縱橫圖為例： 將l16順次排成4行、4列。先外四角對換，再內(nèi)四角對換，便得到一個4階縱橫圖。它每行每列各數(shù)之和都是34，兩條對角線之和也是34。富硒功能農(nóng)業(yè)第31頁向宇宙人展示智慧 我們?nèi)祟惥幼〉厍颍怯钪嬷幸粋€普通星球。茫茫宇宙之中有沒有窮無盡大小星球，其中有沒有第二個地球？有沒有像我們地球人一樣宇宙人？ 假如真有這么宇宙人，那

13、么又怎樣溝通彼此之間信息呢？雙方語言不通，電訊密碼不一樣，怎樣能把地球上人類信息傳遞出去呢？用什么方式向宇宙人通告我們?nèi)祟愔腔勰?？富硒功能農(nóng)業(yè)第32頁 科學(xué)家們從中國洛書得到啟示，提出用一個四階幻方來傳達地球人智慧信息一個用點子數(shù)表示 完美幻方 富硒功能農(nóng)業(yè)第33頁 這個幻方之所以稱為“完美”，是因為它含有更多、更美妙性質(zhì) ：（1）它每行、每列、兩條對角線（主對角線）各數(shù)之和（幻和）皆等于34。 （2）四角上四個數(shù)之和等于 34。 （3）中間四個數(shù)之和等于34。 （4）四角上四個田字格四個數(shù)之和等于34（5）每邊相鄰二數(shù)與對邊對應(yīng)二數(shù)之和，皆等于34。富硒功能農(nóng)業(yè)第34頁（6）每條次對角線各數(shù)

14、之和，也等于34，也就是說，若將兩個拚在一起，每條斜對角線各數(shù)和，都等于34。 正像洛書向今人展示中華民族祖先們高度智慧一樣，這個四階完美幻方，也能夠向宇宙人通告我們地球人今日智慧程度。 富硒功能農(nóng)業(yè)第35頁4. “量”從何出？人們常說：數(shù)是數(shù)出來，但數(shù)出來數(shù)，只能是正整數(shù)。分數(shù)、小數(shù)，是數(shù)不出來。這些數(shù)是“量出來量數(shù)。一個物體長度、重量（質(zhì)量）和體積（容積），是三種最主要量。怎樣才能知道其量多少（量數(shù)）呢？這就須要有一個同類標(biāo)準(zhǔn)量。度量衡標(biāo)準(zhǔn)單位怎樣來制訂呢？中國古代智者想出了一個絕妙方法 富硒功能農(nóng)業(yè)第36頁黃鐘起度相傳黃帝時代，伶?zhèn)惡蜆s將受命制樂律。他倆取來昆侖山山陰之竹，選兩節(jié)之間均勻

15、者，截取9寸長、3分徑一節(jié)竹管。用它吹出聲調(diào)，定為基準(zhǔn)音黃鐘。 然后，用“三分損益”方法，得到不一樣長度竹管，吹出高低不一樣“六呂”與“六律”共12個音調(diào)，組成一個音階古代樂器，如銅編鐘、石磐等，都是按此要求確定音調(diào)。 富硒功能農(nóng)業(yè)第37頁 “三分損益”包含“三分損一”、“三分益一”兩層含義。 三分損一是指將原有長度作3等分而減去其1份，即：原有長度(3-1)/3生得長度；而三分益一則是指將原有長度作3等分而增添其1份，即：原有長度(3+1)/3生得長度。兩種方法能夠交替利用、連續(xù)利用，各音律就得以輾轉(zhuǎn)相生。 注：富硒功能農(nóng)業(yè)第38頁用黃鐘音調(diào)來確定長度：選長度與直徑為30：1均勻竹管，若吹出

16、聲音與黃鐘相合（共鳴），那么就定此竹管長度為9寸。它九分之一為1寸，10寸為1尺。于是長度標(biāo)準(zhǔn)就決定下來了。 因為編鐘、竹笛聲音是否一致，是大家都能區(qū)分出來，所以這么決定出來長度單位能夠得到公認。 富硒功能農(nóng)業(yè)第39頁定出長度單位之后，再用下法來確定體積（容積）單位和重量單位： 黃鐘竹管容積，定為l龠（音 月），2龠為1合，10合為1升，10升為 1斗。取籽粒均勻粟，使黃鐘竹管（l龠）恰好容1200粒，其重量定為12銖，24銖為 1兩，16兩為1斤（古制）。體積（容積）單位：重量單位：于是，由黃鐘之竹，就將長度、容積、重量標(biāo)準(zhǔn)單位完全確定了。 富硒功能農(nóng)業(yè)第40頁歷史現(xiàn)象往往有驚人相同之處，今

17、天我們和世界上大多數(shù)國家共同使用長度單位米，就是利用“黃鐘起度”科學(xué)思想制訂出來。開始，人們制訂一個標(biāo)準(zhǔn)長度實物米原器，保留在法國，作為各國制訂長度單位參考標(biāo)準(zhǔn)。但這既不方便，又不精密。伴隨科技進步，對長度準(zhǔn)確程度要求越來越高。1960年國際計量大會經(jīng)過決定：長度基本單位“米”：為同位素氪86原子和級之間躍遷所對應(yīng)輻射，在真空中1650763.73個波長長度。富硒功能農(nóng)業(yè)第41頁中國古代是利用聲波（黃鐘）頻率來確定長度單位，當(dāng)代是用原子輻射光波波長來確定長度單位。二者異曲而同工。從這里，我們好像聽到了古老“黃鐘起度”歷史回聲。富硒功能農(nóng)業(yè)第42頁5. 音樂中數(shù)學(xué)中國古代早期采取五聲音階：宮、商

18、、角、征、羽，其聲調(diào)高低依“三分損益”法來定。富硒功能農(nóng)業(yè)第43頁但“三分損益”法得出音程不夠準(zhǔn)確：高八度音頻率并不恰好是基準(zhǔn)音一倍。按此制作樂器，在轉(zhuǎn)調(diào)時會發(fā)生困難。那么怎樣才能克服上述缺點呢？明代數(shù)學(xué)家、樂律學(xué)家朱載堉（15361611）于1584年創(chuàng)造了“十二平均律”，創(chuàng)造性地處理了這個難題。所謂“十二平均律”，是將高低八度之間一個音階按百分比等分為12段，每一段為一個半音，共有12個音調(diào)，每兩個音階頻率之比相等。 富硒功能農(nóng)業(yè)第44頁若設(shè)一個音階中12個音調(diào)頻率依次為那么它們組成一個公比為等比數(shù)列。富硒功能農(nóng)業(yè)第45頁十二平均律是當(dāng)代音樂理論基礎(chǔ)。朱載堉發(fā)覺在世界上是最早。法國音樂理論

19、家梅爾森（15881648）直到 1636年才發(fā)表十二平均律，比朱載墑晚了52年。 數(shù)學(xué)思想方法，在中國五千年文明形成中發(fā)輝了巨大作用！富硒功能農(nóng)業(yè)第46頁二、今有術(shù)求百分比之法 術(shù)解答問題方法 今有術(shù)指各種百分比計算方法。它包含正百分比、反百分比、復(fù)百分比、配分百分比、連百分比等?！奥省惫糯谏唐方粨Q中等價物各自數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)由此抽象出“率”這個數(shù)學(xué)基本概念。 率就是百分比 富硒功能農(nóng)業(yè)第47頁 中國古代關(guān)于百分比思想與方法形成很早，九章算術(shù)稱為“今有術(shù)”，劉徽對此評價很高，認為這是解百分比問題普通法則。即富硒功能農(nóng)業(yè)第48頁 九章算術(shù)“粟米”章第一題：“粟米之法，粟率五十，糲米(糙米)三十，今有

20、粟一斗，欲為糲米，問得幾何？” 答曰：6升。術(shù)曰：“以全部數(shù)乘所求率為實(被除數(shù))，以全部率為法(除數(shù))，實如法而一”(被除數(shù)除以除數(shù)所得商就是所求數(shù))。 所以，我們得到全部數(shù)為10升（即一斗），全部率為50，所求率為30，這么就有富硒功能農(nóng)業(yè)第49頁 古代名題-客去忘衣 九章算術(shù)“均輸章”第16題：“今有客馬日行三百里?？腿ネ忠?，日已三分之一，主人乃覺。持衣追及與之而還，至家視日四分之三。問主人馬不休，日行幾何？答曰：七百八十里。 也就是說：“客人馬速日行三百里，客走后三分之一日，主人發(fā)覺客人有衣服忘記帶走，馬上騎馬追趕，追上客人交還衣服后又騎原來馬回家，到家時已過了四分之三日。問主人馬速

21、日行多少里?”答數(shù)：日行780里。富硒功能農(nóng)業(yè)第50頁 術(shù)曰：“置四分日之三，除三分日之一，半其余認為法。副置法，增三分日之一，以三百里乘之，為實。實如法，得主人馬一日行。” 利用“今有術(shù)”，用當(dāng)代形式解釋以下： 富硒功能農(nóng)業(yè)第51頁 劉徽注：“是為客行率五，主人馬行率十三。于今有術(shù)，三百里為全部數(shù)，十三為所求率，五為全部率，而今有之，即得也?！备晃δ苻r(nóng)業(yè)第52頁相關(guān)復(fù)百分比和配分百分比問題。青苗問題 九章算術(shù)“衰分”章第二題：“今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗。羊主日：我羊食半馬。馬主日：我馬食半牛。今欲衰償之，問各出幾何？” 答曰：“牛主出二斗八升、七分升之四；馬主出一斗四升、七分升

22、之二；羊主出七升、七分升之一?！备晃δ苻r(nóng)業(yè)第53頁 “今有牛、馬、羊吃了人家地里青苗，苗主要求它們主人賠償小米五斗。羊主人說：羊吃去青苗只是馬二分之一；馬主人說：馬吃去青苗也只有牛吃二分之一。那么，他們各應(yīng)分攤多少小米?” 答曰: 牛為 (升) ，馬為 (升) ，羊為 (升) 術(shù)曰：“置牛四、馬二、羊一，各自為列衰，副并為法。以五斗乘末并者各自為實。實如法得一斗?！弊g成今文：富硒功能農(nóng)業(yè)第54頁“今有術(shù)”與“三率法” 利用“今有術(shù)”，對當(dāng)初視為比較復(fù)雜而又在生產(chǎn)、生活中慣用到各種百分比問題，都能得到處理。不但如此，今有術(shù)還傳到國外，對當(dāng)初世界數(shù)學(xué)產(chǎn)生很大影響。 公元五、六世紀起，印度很多數(shù)學(xué)

23、著作就開始討論百分比問題。他們創(chuàng)造了“三率法”。 婆什迦羅對百分比問題定義為“三率法”時說：“這里有三個量，所以定義為三率法”。相當(dāng)于我國今有術(shù)中全部率、全部數(shù)和所求率，按一定次序列出。 富硒功能農(nóng)業(yè)第55頁 印度“三率法”和我國有兩千多年歷史“今有術(shù)”完全相同 ，且印度古算中用到三率法處理問題，其題意也與我國今有術(shù)要處理問題頗有類似地方。 印度“三率法”經(jīng)阿拉伯人傳至歐洲，在1416世紀文藝復(fù)興時期，三率法曾風(fēng)靡一時，給當(dāng)初商業(yè)帶來很大方便，歐洲人譽為“黃金法則”。 英國人霍德說：“此律通稱黃金法則，之所以如此稱呼它，是因為它當(dāng)之無愧。此律遠勝算術(shù)其它各種方法，如同黃金是一切金屬極品那樣寶貴

24、?！?可正當(dāng)”三率法“在歐洲盛行之時，而”今有術(shù)“在我國卻備受冷落。富硒功能農(nóng)業(yè)第56頁三、 盈不足術(shù)兩次假設(shè)之法 “盈不足術(shù)”是中國古代解應(yīng)用問題一個別開生面方法, 在古代算法中占有相當(dāng)主要地位。“盈不足術(shù)”問題思想方法 假定有一些物品要分攤給一些人，假如物品數(shù)和人數(shù)都是未知數(shù)，那么怎么辦呢？ 我們能夠做兩次試分：第一次每人平均少分攤一些，比如每人分al個，這時物品經(jīng)分后還余下bl個；第二次每人分a2個，這時物品又不足b2個。從兩次試分中得到了4個數(shù)據(jù)，即a1, b1，a2, b2。依據(jù)這4個數(shù)來確定物數(shù)和人數(shù)，這就是“盈不足術(shù)”問題原意。富硒功能農(nóng)業(yè)第57頁 盈不足術(shù)是把假設(shè)試驗與推理論證

25、相結(jié)合起來數(shù)學(xué)方法。它經(jīng)過兩次假設(shè)試算，將普通應(yīng)用問題化為特定盈虧類數(shù)學(xué)模型，從而用固定演算程序求解。九章算術(shù)“盈不足”章第一題： “今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價各幾何？” 答曰：“七人，物價五十三。” 題意是：要湊錢共同買一樣?xùn)|西，假如每人出8元，加在一起就多出3元；假如每人出7元，付出總數(shù)比物價又少4元。問人數(shù)、物價各是多少？富硒功能農(nóng)業(yè)第58頁 盈不足術(shù)曰：“置所出率，盈、不足各居其下。令維乘（即交織相乘）所出率，并認為實。并盈、不足為法。實如法而一?！?這就是說，設(shè)前、后兩次付款數(shù)為a1, a2，第一次付出時總數(shù)比物價數(shù)多b1，第二次付出時總數(shù)比物價數(shù)少b2，

26、我們把它們排成方形：(1) a1, a2 (2) b1, b2然后交織相乘，求和：a1b2a2b1，再把多出和不足數(shù)相加: b1b2, 二者之商就是每人應(yīng)付款數(shù)。 富硒功能農(nóng)業(yè)第59頁設(shè)人數(shù)為x，物價為y, 那么有： 富硒功能農(nóng)業(yè)第60頁“盈不足”還有其它類型, 如 兩盈：“今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，問人數(shù)、金價各幾何？” 答曰：三十三人，金價九千八百。 兩不足：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。問人數(shù)、羊價各幾何？ ”答曰：二十一人，羊價一百五十。富硒功能農(nóng)業(yè)第61頁“兩盈”、“兩不足”問題，術(shù)曰： “置所出率，以少減多，余為法。兩盈、兩不足，以少減

27、多，余為實。實如法而一得人數(shù)。以所出率乘之，減盈、增不足，即物價?！?用當(dāng)代式表示，即將上面三式分別更改為 富硒功能農(nóng)業(yè)第62頁盈不足術(shù)與假設(shè)法 普通算術(shù)問題都能夠按“盈不足術(shù)”來計算。對此，西方學(xué)者曾稱盈不足術(shù)為“雙設(shè)法”,在中世紀歐洲視為算術(shù)問題萬能方法。其原理是 設(shè)有方程 ax = b, 第一次假設(shè)x = a1，得 aa1 b b1；第二次假設(shè)x = a2，得 aa2 b b2富硒功能農(nóng)業(yè)第63頁 解上述兩式，得 實際上是公式推廣。因為在公式中允許b1、b2能夠是正、負、零各種情況。在我國古代數(shù)學(xué)文件中已詳盡無遺地討論過b1、b2正、負或零值各種情況。 在我國隋唐時代，一些伊斯蘭教數(shù)學(xué)家

28、經(jīng)絲綢之路將我國盈不足術(shù)傳人中東，如阿爾花拉子模（約780850）著作盈不足算書（保留在英國劍橋大學(xué)圖書館）并對盈不足術(shù)作出注釋。所以人們獲知盈不足術(shù)是在9世紀傳入中東。以后在中東人們稱盈不足術(shù)為“契丹算法”。富硒功能農(nóng)業(yè)第64頁 至宋元時代，意大利數(shù)學(xué)家斐波納奇（Fibonacci， 11701250）在他算術(shù)之書（1202）中也介紹了盈不足術(shù)，稱之為“契丹算法”，并明確地說此法來自阿拉伯。 為何稱中國算術(shù)為“契丹算術(shù)”呢？因為在古代，中東或歐洲均稱中國為契丹，當(dāng)我國盈不足術(shù)傳入中東及歐洲后，他們便很自然地稱之為“契丹算法”了。 盈不足術(shù)不但傳入中東，也輾轉(zhuǎn)傳到俄羅斯。18世紀初被認為是俄國

29、數(shù)學(xué)之驕傲馬格尼茲基在他著算術(shù)中，寫了所謂無平算法。這一算法完整地保留了由中東傳入中國盈不足術(shù)。富硒功能農(nóng)業(yè)第65頁 正當(dāng)中東與歐洲在廣泛應(yīng)用盈不足術(shù)，并認為是萬能之術(shù)時， 而在中國卻因為受封建士大夫清談?wù)摰浪`，盈不足術(shù)反而湮沒無聞。明代末期李之藻在他編譯同文算指中稱“雙設(shè)法”為“選借互征”，并說該法起源于國外，這種本末倒置說法，深為可嘆！ 富硒功能農(nóng)業(yè)第66頁四、方程術(shù)矩陣變換之法 九章算術(shù)“方程章”是世界上最早出現(xiàn)研究代數(shù)方程專章。它是人類歷史上第一次提出“方程”這一專有名詞?！胺匠獭币辉~含義相當(dāng)于現(xiàn)今所用以矩陣初等變換之法，解線性方程組。 “方程術(shù)”關(guān)鍵是經(jīng)過“遍乘直除”法消元。 所謂

30、遍乘：用常數(shù)乘某一行中各數(shù); 所謂直除：要消去乙行某未知數(shù)系數(shù)，使用甲行同一未知數(shù)系數(shù)乘乙行全部數(shù)，然后用甲行一次次對減乙行，直至乙行該系數(shù)為零。富硒功能農(nóng)業(yè)第67頁九章算術(shù)方程章第一題: “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗問上、中、下禾實一秉各幾何？” 設(shè)上、中、下禾各一秉打出糧食分別為x，y，z（斗），則問題就相當(dāng)于解一個三元一次方程組： 3x2yZ = 39， 2x 3yZ = 34， (1) x2y3z = 26.富硒功能農(nóng)業(yè)第68頁 九章算術(shù)用算籌將x，y，z系數(shù)和常數(shù)項排列成一個方陣如圖

31、 7-1(a),將籌算數(shù)碼換作阿拉伯?dāng)?shù)碼即得矩陣如圖7-1(b). 左 中 右 7-1(a)7-1(b)富硒功能農(nóng)業(yè)第69頁 用圖 7-1(a)右行上禾(x)系數(shù)3“遍乘”中行和左行各數(shù)，然后從所得結(jié)果按行分別“直除”右行，即連續(xù)減去右行對應(yīng)各數(shù)，就得到圖7-2(c), 對應(yīng)矩陣為圖7-2(d).7-2(c)7-2(d)富硒功能農(nóng)業(yè)第70頁 以圖7-2（c）中行中禾（y）系數(shù)5遍乘左行各數(shù)，從所得結(jié)果直除中行并約分，又得到圖7-3(e), 對應(yīng)矩陣為圖7-2(f)7-3(e)7-2(f)圖7-3(e)中左行未知量(z)系數(shù)只剩一項，以4除11，即得下禾（z） （斗）富硒功能農(nóng)業(yè)第71頁 為求上

32、禾（x）和中禾（y），重復(fù)“遍乘直除”程序以圖7-3（e）左行下禾（z）系數(shù)4遍乘中行和右行各數(shù)，從所得結(jié)果按行分別直除左行并約分，最終得到圖 7-4（g）, 對應(yīng)矩陣為圖7-2(h).7-4（g）7-2(h)富硒功能農(nóng)業(yè)第72頁由此計算得： 上禾（x）= ， 中禾（y）= ， 下禾（z） .富硒功能農(nóng)業(yè)第73頁 對該題解法注釋說：“程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實，令每行為率。二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程。 ”文中所說“如物數(shù)程之”，是說：有幾個未知量就必須列出幾個等式。在聯(lián)立一次方程組中，用算籌來表示各項未知量系數(shù)時，它們排成了方陣形式，所以叫做“方程

33、”。而解方程方法就稱為“方程術(shù)”。 方程術(shù)基本思想是次序消元，把增廣矩陣一再用初等變換進行變換，使系數(shù)矩陣成為單位矩陣，從而得解。這種方法就是現(xiàn)在高斯消元法。富硒功能農(nóng)業(yè)第74頁 在理論上，尤其是經(jīng)過劉徽注釋，對方程基本性質(zhì)也已經(jīng)有所闡述。 比如劉徽對方程章第一題注釋說：“方程：程，課程也，喚術(shù)之意，令少行減多行，重復(fù)相減，則頭位必先盡，上無一位，則此行亦缺一物矣。然而舉率以相減，不害余數(shù)之課也?！?這最終兩句話和方程變形性質(zhì)相同，即：假如方程兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)（即“舉率以相減），那么所得方程和原方程是同解方程（即“不害余數(shù)之課也”）。從上面題解過程中屢次用遍乘、直除方法變換方程，就

34、足以說明九章算術(shù)作者已熟知方程變形性質(zhì)： 假如方程兩邊乘以（或除以）不等于零同一個數(shù)，那么所得方程和原方程是同解方程。富硒功能農(nóng)業(yè)第75頁 解線性方程組除了用矩陣初等變換方法外，互乘相消法和代入法也是古代數(shù)學(xué)家們慣用方法。 在九章算術(shù)中，劉徽即將它屢次利用齊同術(shù)引伸到解線性方程組中來，這種方法實即當(dāng)代互乘相消法。 如在方程章第七題：“今有牛五、羊二，值金十兩，牛二，羊五，值金八兩。問牛、羊各值金幾何？”答曰：牛一，值金 兩；羊一，值金 兩。術(shù)曰：“如方程”。也就是按照常規(guī)方法，即用矩陣變換方法求解。 富硒功能農(nóng)業(yè)第76頁 然而，劉徽在注文中卻使用了齊同術(shù)來求解。他說： “假令為同齊，頭位為牛，

35、當(dāng)相乘左右行定，更置右行牛十、羊四，值金二十兩；左行牛十、羊二十五，值金四十兩。牛數(shù)等同，金多二十二者，羊差二十一使然也。以少行減多行，則牛數(shù)盡，惟羊與值金之?dāng)?shù)見（出現(xiàn)），可得而知也?！?對于劉徽注文，我們不妨作以下解釋： 設(shè)牛、羊一頭各值金為x、y，依題得富硒功能農(nóng)業(yè)第77頁 因“頭位為?！?，使“相乘左右行定”，即 兩式相減為 21y = 20，即“以少行減多行，則牛數(shù)盡，惟羊與值金之?dāng)?shù)見（出現(xiàn)）。” 這是劉徽所創(chuàng)“互乘對減”消元法，即“互乘相消法”。 在注文最終還說：“以小推大，雖四、五行不異也?！边@就是說，互乘相消法能夠推廣到解四元、五元線性方程組，足見其應(yīng)用之廣。富硒功能農(nóng)業(yè)第78頁

36、又如方程章第九題：“今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕。一雀一燕交而處，衡適平。并燕、雀重一斤。問燕、雀一枚各重幾何？” 用現(xiàn)在語言說：即“今有五只麻雀、六只燕子放在天平上稱，麻雀總重大于燕子總重。如將麻雀、燕子各交換一只，則二者重量恰好相等。又知二者重量之和為一斤，問麻雀、燕子每只重多少？”術(shù)曰：“如方程，交易質(zhì)之，各重八兩?！币簿褪牵骸把嘧印⒙槿附粨Q一只后，二者各總重八兩，列方程進行交換?！备晃δ苻r(nóng)業(yè)第79頁 劉徽注文說：“此四雀一燕與一雀五燕衡適平，并重一斤，故各八兩。是三雀四燕重相當(dāng)，雀率重四，燕率重三也?！?也就是說，如設(shè)x、y分別為一雀、一燕重量，則依術(shù)文有或 4Xy X5

37、y，即 3x = 4y，或x：y = 4：3這就是說：雀重：燕重=4：3。再用代人法即得答數(shù)。富硒功能農(nóng)業(yè)第80頁 這是劉徽所提另一方法，即解方程新術(shù)，此法還能夠推廣。 在劉徽后數(shù)學(xué)家們對線性方程組都展開了研究，并取得了新成就。“方程術(shù)”在世界影響 在國外，關(guān)于建立多元一次方程組解法較之中國要晚得多。多元一次方程組解法在印度最早出現(xiàn)于第七世紀初婆羅門發(fā)多（Brahmasunta，約公元628年）所著書中，有類似于我國九章算術(shù)方程題目。古印度人用代入法和假設(shè)法解方程組。富硒功能農(nóng)業(yè)第81頁 中國數(shù)學(xué)經(jīng)由朝鮮傳入日本，待消化吸收后，在日本也有些人著書立說。于公元7世紀時有算術(shù)書設(shè)題： “三馬、四牛

38、、二羊值一百三十一金幣，二馬、三牛、十羊值一百二十金幣，四馬、一牛、八羊值一百零四金幣，問三種家畜各值多少？” 這不但題目標(biāo)形式和九章算術(shù)方程章如出一轍，且解法也完全模仿方程中方程術(shù)，用算籌列出增廣矩陣后，借互乘相消法得到解答。富硒功能農(nóng)業(yè)第82頁 在歐洲，最早提出三元一次方程組和解法是16世紀法國數(shù)學(xué)家布丟（Buteo， 1559），到 1669年牛頓（I Newton 16421727）給出一個用減根變換原了解方程方法。由此看來，西方關(guān)于解多元一次方程組方法比中國要晚得多。富硒功能農(nóng)業(yè)第83頁 五、正負術(shù)正負運算之法 在九章算術(shù)方程章中所列諸方程，在用矩陣初等變換解題時，當(dāng)減數(shù)大于被減數(shù)時，不可防止地會出現(xiàn)負數(shù)。所以，方程章中及時地提出了正、負數(shù)概念以及它們運算法則。 方程章第三題：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，實皆不滿斗。上取中，中取下，下取上各一秉而實滿斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？” 題意是：“今有上等稻二束，中等稻三束，下等稻四束，它們各自出谷量都不滿一斗。如將上等稻二束加中等稻一束，中等稻三束加下等稻一束，下等稻四束加上等稻一束，那么它們都可出谷一斗。問三種稻每束出谷量各是多少？富硒功能農(nóng)業(yè)第84頁答曰：“上