1、非簡并態(tài)微擾論第1頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四第一節(jié) 非簡并定態(tài)微擾理論一、非簡并定態(tài)微擾理論體系哈密頓量不顯含時間，能夠分解成兩部分：主要部分和微擾部分，且主要部分的解是已知的或是容易直接求解，微擾部分和主要部分相比很小。即：而哈密頓量 的本征值和本征函數(shù)分別為 和 ，即：與 相比， 發(fā)生了一定程度的移動，一般與能級間隔相比移動較小，其原因就是因為多了 的作用。第2頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四為了明顯的表示微擾小的程度，我將微擾哈密頓量寫成：其中是一個很小的實數(shù)，它只作為微擾級別的標志。相應的把哈密頓量的本征值和本征函數(shù)展開成為和無微擾

2、本征值和本征函數(shù)的函數(shù)，即：這時我們稱無微擾的本征值和本征函數(shù)為微擾作用下的零級近似本征值和本征函數(shù)，而 和 的一級修正。下面將本征能量和本征波函數(shù)展開式代入到含微擾作用的薛定諤方程，則得到方程展開式：第3頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四同次冪的系數(shù)應該相等，從而可以得到以下系列方程組：(1)(2)(3)方程(1)正是無微擾的薛定諤方程，方程(2)是確定一級修正的方程，由方程并利用一級修正可確定二級修正。對于方程(2)，若 是方程的解，則 也是方程的解。？第4頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四(2)假設所討論的第 n 能級為非簡并能級，則對應的波函

3、數(shù)只有一個，設該本征波函數(shù)已歸一化。下面由方程(2)確定本征能量和本征值的一級修正。設=1，所以將 再換成 。上式兩同時左乘 并對全空間積分得：根據(jù)哈密頓量厄密算符的性質(zhì)，方程左邊為：第5頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四所以得能量的一級修正為：為求波函數(shù)的一級修正，將一級修正波函數(shù)按零級近似波函數(shù)展開為：由于對于方程(2)，若 是方程的解，則 也是方程的解。所以上面的展開式完全可以不包括第 n 項。即：求和號上的一撇表示求和不包含第 n 項。將展開式代入 (2)式得：第6頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四即：上式兩同時左乘 并對全空間積分得：即：所

4、以得：所以波函數(shù)的一級修正為：對第(3)式利用同樣的方式，可以求得能量二級修正為：第7頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四這樣得到能量準確到二級修正為：二、非簡并定態(tài)微擾理論適用的條件微擾理論適用的條件就是以上兩式的級數(shù)收斂，由于不知道一般項的表達式，所以對于現(xiàn)有已知的項要求：可見微擾理論的成立不僅與微擾矩陣元有關(guān)，而且還與能級間隔有關(guān)，所以對于同一體系的不同能級，微擾理論成立的條件不一定一樣的。？第8頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四三、例題一電荷為 e 的線性諧振子，受恒定弱電場 E 作用，電場沿正 x 方向，用微擾法求體系的定態(tài)能量（到二級近似）

5、和波函數(shù)（到一級近似）。解：體系的哈密頓算符為：弱電場引起的附加能量可以看作微擾，因此哈密頓量可以分解為：體系是在線性諧振子的基礎上加上微擾，所以其零級近似為線性諧振子的本征值和本征能量。第9頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四所以直接利用公式計算微擾修正，則第 n 個能級的一級修正為：再計算能量的二級修正，由于所以先計算微擾矩陣元：第10頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四即：能量二級修正的求和中只有 m=n-1 和 m=n+1 兩項，即：能級移動與 n 無關(guān)。第11頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四類似的可以計算出波函數(shù)的一級修

6、正為：對于 n=0 上面的求和計算中應去掉第 n-1 項，諧振子能級間隔都相等，在偶極電場中，電場的附加能量對各能級都是相等的。這說明在偶極電場中能級間隔仍然相等，仍具有諧振子的特點。這一點通過對哈密算符配方，很容易看出。第12頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四可見加入電場后，能級低了 ，而平衡點也向右移動了 。勢能曲線如下頁圖所示。 第13頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四第14頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四例2.設Hamilton量的矩陣形式為：（1）設c1，應用微擾論求H本征值到二級近似；（2）求H的精確本征值；（3）

7、在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。解：（1）c1，可取0級和微擾Hamilton量分別為：H0是對角矩陣，是Hamilton H0在自身表象中的形式，而且能級是非簡并的。所以能量的0級近似為：第15頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四E1(0) = 1 E2(0) = 3 E3(0) = - 2由非簡并微擾公式得能量一級修正（此處每一能級都要修正?。旱?6頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四能量二級修正為：準確到二級近似的能量為：第17頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四設 H 的本征值是 E，由久期方程可解得：解得：(2)精確解：與近似解比較：第18頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四可知，微擾論二級近似結(jié)果與精確解展開式不計c4及以后高階項的結(jié)果相同。比較（1）和（2）之解(3) 將準確解按 c(1)展開：第19頁，共22頁，2022年，5月20日，3點33分，星期四總結(jié)： 非簡并微擾論處理問題的方法（2）寫出未微擾哈密頓的解（3）求微擾哈密頓在零級近似波函數(shù)的平均值 能量的一級近似（4）求能量的二級近似（5）求波函數(shù)到一