1、回歸分析與協(xié)方差分析第1頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二內(nèi)容9.1 一元線性回歸 第2頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二學(xué)習(xí)目標(biāo)散點(diǎn)圖, 回歸系數(shù), 正規(guī)方程, 經(jīng)驗(yàn)回歸方程；回歸平方和,剩余平方和,相關(guān)系數(shù), 顯著性檢驗(yàn).第3頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二不確定關(guān)系人的身高體重農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量施肥量 9.1 一元線性回歸 1. 一元線性回歸的基本概念第4頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二 線性模型例 為了研究彈簧懸掛不同重量(單位：克力)x時(shí)長度(單位：厘米)y的關(guān)系。通過試驗(yàn)得到一組數(shù)據(jù)。重量

2、xi 5 10 15 20 25 30 長度yj 7.25 8.12 8.95 9.90 10.90 11.80把這些數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi, yj )畫在xoy坐標(biāo)系中，圖形稱為散點(diǎn)圖。第5頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二*L散點(diǎn)圖記L為第6頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)，測得數(shù)據(jù)如下：第7頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二我們的問題是，如何根據(jù)這些觀測值用“最佳的”形式來表達(dá)變量Y與X之間的相關(guān)關(guān)系？ 一般而言，在變量x取值以后，若Y所取的值服從N (+x,2)分布，當(dāng)、及2未知時(shí)，根據(jù)樣本(x1,Y1),(x2

3、,Y2),(xn,Yn)的觀測值(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn) 對未知參數(shù)、及2所作的估計(jì)與檢驗(yàn)稱為一元線性回歸分析，而稱為截距，稱為回歸系數(shù)， E(Y)+x 稱為回歸方程。第8頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二由回歸方程可以推出 根據(jù)樣本及其觀測值可以得到、及2的估計(jì)量及估計(jì)值 得到回歸方程的估計(jì)式或經(jīng)驗(yàn)回歸方程 第9頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二最常用的是最小二乘法，即求出 第10頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二的值最小，所求出的a稱為經(jīng)驗(yàn)截距，簡稱為截距，b稱為經(jīng)驗(yàn)回歸系數(shù)，簡稱為回歸系數(shù)，而 第11

4、頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二2. 總體中未知參數(shù)的估計(jì) 根據(jù)最小二乘法的要求由 第12頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二得到一元線性回歸的正規(guī)方程組第13頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二并求出第14頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二建立一元線性回歸方程的具體步驟： 第15頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二(3)計(jì)算b和a，寫出一元線性回歸方程。 與上述a和b相對應(yīng)的Q的數(shù)值又記作SSE，稱為剩余平方和。將a、b和SSE以及 和 看作是統(tǒng)計(jì)量，它們的表達(dá)式分別為 第16頁，共50

5、頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二 這些統(tǒng)計(jì)量之間以及它們與總體參數(shù)之間有以下的內(nèi)在聯(lián)系：第17頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二第18頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二 為提高a的估計(jì)精度，最理想的選擇是使 0，其絕對值越小越好； 為提高b的估計(jì)精度，應(yīng)該使lxx 取較大的數(shù)值，x1、x2、xn越分散越好； 觀測值的個(gè)數(shù)n不能太小。 第19頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二 3. 線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 因此，必須對回歸方程的擬合情況或效果作顯著性檢驗(yàn)。其理論基礎(chǔ)就是總平方和的分解，即第20頁，共50頁，2022

6、年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二第21頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二第22頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二表示n個(gè)y1、y2、yn與之間的差異，當(dāng)各個(gè)yi已知時(shí)，它是一個(gè)定值，稱為總平方和，記作SST。 第23頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二通過回歸已經(jīng)達(dá)到了最小值，稱為剩余平方和，記作SSE。 稱為回歸平方和，記作SSR。 第24頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二 因此，SSTSSE+SSR。 如果SSR的數(shù)值較大，SSE的數(shù)值便比較小，說明回歸的效果好；如果SSR的數(shù)值較小，SSE的數(shù)值便比較

7、大，說明回歸的效果差。 第25頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二第26頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二第27頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二 如果|r|較大，SSE的數(shù)值便比較小，說明回歸的效果好或者說x與Y的線性關(guān)系密切；如果|r|較小，SSE的數(shù)值便比較大，說明回歸的效果差或者說x與Y的線性關(guān)系不密切；因此稱r為x與Y的觀測值的相關(guān)系數(shù)。 又由r及回歸系數(shù)的計(jì)算公式 第28頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二 可以推出：r0時(shí)b0，x增加時(shí)Y的觀測值呈增加的趨勢；r0時(shí)b0時(shí)稱x與Y正相關(guān)，r0時(shí)稱x

8、與Y負(fù)相關(guān)。 綜上所述，如果設(shè)H0為0，也就是假設(shè)x與Y不是線性關(guān)系，則可以用以下三種實(shí)質(zhì)相同的方法檢驗(yàn)線性回歸方程的顯著性，且當(dāng)檢驗(yàn)的結(jié)果顯著時(shí)x與Y的線性關(guān)系顯著，回歸方程可供應(yīng)用；當(dāng)檢驗(yàn)的結(jié)果不顯著時(shí)x與Y的線性關(guān)系不顯著，回歸方程不可應(yīng)用。 第29頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二 F檢驗(yàn)法： 當(dāng)H0為真時(shí)， 且SSR與SSE相互獨(dú)立；因此，當(dāng)H0為真時(shí)， 當(dāng)FF1-(1,n-2)時(shí)應(yīng)該放棄原假設(shè)H0。第30頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二(2)t檢驗(yàn)法： 當(dāng)H0為真時(shí)， 當(dāng)|t|t1-0.5(n-2)時(shí)應(yīng)該放棄原假設(shè)H0。 第31頁，共5

9、0頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二(3)r檢驗(yàn)法：根據(jù)x與Y的觀測值的相關(guān)系數(shù) 可以推出當(dāng)H0為真時(shí)，第32頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二當(dāng)FF1-(1,n-2)或|r|r(n-2)時(shí)應(yīng)該放棄原假設(shè)H0，式中的 可由r檢驗(yàn)用表中查出。 因此，r常常用來表示x與Y的線性關(guān)系在x與Y的全部關(guān)系中所占的百分比，又稱為x與Y的觀測值的決定系數(shù)。第33頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二 4. 利用回歸方程進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測和區(qū)間預(yù)測 若線性回歸作顯著性檢驗(yàn)的結(jié)果是放棄H0，也就是放棄回歸系數(shù)0的假設(shè)，便可以利用回歸方程進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測和區(qū)間預(yù)測，這是人們關(guān)

10、注線性回歸的主要原因之一。 當(dāng)xx0時(shí)， Y0的觀測值y0的點(diǎn)預(yù)測是無偏的。 第34頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二 當(dāng)xx0時(shí)，用適合不等式PY0(G,H)1-的統(tǒng)計(jì)量G和H所確定的隨機(jī)區(qū)間(G,H)預(yù)測Y0的取值范圍稱為區(qū)間預(yù)測，而(G,H)稱為Y0的1-預(yù)測區(qū)間。 若Y0與樣本中的各Yi相互獨(dú)立，則根據(jù)ZY0-(a+bx0)服從正態(tài)分布，E(Z)0， Z與SSE相互獨(dú)立，第35頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二可以導(dǎo)出 因此，Y0的1-預(yù)測區(qū)間為 a+bx0(x0)， 第36頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二例1.1吸附

11、方程某種物質(zhì)在不同溫度下可以吸附另一種物質(zhì)，如果溫度x(單位：)與吸附重量Y(單位：mg)的觀測值如下表所示： 溫度x1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0 重量y4.8 5.7 7.0 8.3 10.9 12.4 13.1 13.6 15.3 試求線性回歸方程并用三種方法作顯著性檢驗(yàn)，若x02，求Y0的0.95預(yù)測區(qū)間。 解：根據(jù)上述觀測值得到n9， 第37頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二第38頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二所求的線性回歸方程為 第39頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二顯著

12、性檢驗(yàn)方法 F檢驗(yàn)法：SSTlyy114.516， SSRblxy112.485，SSESST-blxy2.031，n-27，F(xiàn)0.99(1,7)12.2， 所以回歸方程極顯著； 第40頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二 t檢驗(yàn)法： 所以回歸方程極顯著； 第41頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二(3) r檢驗(yàn)法： 所以回歸方程極顯著. 第42頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二Y0的0.95預(yù)測區(qū)間為(4.09,8.15)。 這說明當(dāng)溫度為2時(shí)，應(yīng)該預(yù)測吸附另一種物質(zhì)的重量在4.09至8.15之間，并且預(yù)測100次將有95次是正確

13、的。第43頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二 例1.2植物保護(hù)一些夏季害蟲的盛發(fā)期與春季溫度有關(guān)，現(xiàn)有1956-1964年間3月下旬至4月中旬旬平均溫度的累計(jì)數(shù)x和一代三化螟蛾盛發(fā)期Y(以5月10日為0)的觀測值如下： 溫度x 35.5 34.1 31.7 40.3 36.8 40.2 31.7 39.2 44.2盛發(fā)期y 12 16 9 2 7 3 13 9 -1試求線性回歸方程并用三種方法作顯著性檢驗(yàn)，若x040，求Y0的0.95預(yù)測區(qū)間。第44頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二解：根據(jù)上述觀測值得到n9， 第45頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二所求的線性回歸方程為 第46頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期二顯著性檢驗(yàn)方法 F檢驗(yàn)法：SSTlyy249.5556，SSRblxy174.8886，SSESST-blxy74.6670，n-27，F(xiàn)0.99(1,7)12.2， 所以回歸方程極顯著； 第47頁，共50頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期