數學分析課件第6章微分中值定理及其應用6精選_第1頁
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文檔簡介

1、3 泰勒公式 多項式函數是最簡單的函數.用多項一、帶有佩亞諾型余項的泰勒公式 三、在近似計算中的應用二、帶有拉格朗日型余項的泰勒公式要內容,也是數學的研究課題之一. 式來逼近一般的函數是近似計算的重返回 在處可導, 當充分小時, 可以由一次多項式近似地代替, 其誤差為. 一、帶有佩亞諾型余項的泰勒公式問題: 是否存在一個 n次多項式使得設則即設 f (x) 在 x0 處 n 階可導. 稱多項式 為 f (x) 在點 x0 的 n 階泰勒多項式, 稱為泰勒系數. 則不難得到:定理 6.8 設 f (x) 在 x = x0 處有n 階導數，則即定理6.6則也不能說明一定是 f (x) 的n 階泰勒

2、多項式. 比如注1附近滿足注2 若 f (x) 在點 x0 有n 階導數, 則只有惟一的多項式 ( 泰勒多項式 Tn(x) ) 滿足:注3可以證明對任意一個n 次多項式存在使得這也就是說,是逼近的最佳 n 次多項式.在以后的應用中, 公式 (3) 中的 x0 常被取作 0, 形此式稱為(帶有佩亞諾型余項)的麥克勞林公式.式變?yōu)辂溈藙诹? Maclaurin,C. 1698-1746, 蘇格蘭 ) 泰勒 ( Taylor,B. 1685-1731, 英國 ) 例1 驗證下列公式例2 求的麥克勞林公式, 并求例3求在點的泰勒公式.解利用泰勒公式來求極限.例4 求解 因為所以定理6.9(泰勒定理)若

3、函數上存在直到n 階連續(xù)導函數, 在(a,b)內存在(n+1)階導數, 則或者其中階泰勒多項式.泰勒公式二、帶有拉格朗日型余項的定理6.5(柯西中值定理) 設函數 , 在區(qū)間 上滿足:(i) f(x) , g(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù);(iii)(iv)則在開區(qū)間 內必定 (至少) 存在一點 , 使得(ii) f(x) , g(x) 在開區(qū)間 (a, b) 上可導;證 設 不妨設上連續(xù), 在上可導, 且由柯西中值定理, 得因為所以為 f (x) 在點 x0 的 n 階拉格朗日型余項,公式 (5) 于是就得到我們稱稱為 f (x) 在點 x0 的帶有拉格朗日型余項的 n 階泰勒公式.當時, 公式 (5) 成為公式 (6) 稱為帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式。例5 把例1中公式改寫為帶有拉格朗日型余項的公式: 于是從而有例5(1) 計算 e 的值,使其誤差不超過(2) 證明 e 是無理數.解 由例5 可知三、 泰勒公式在近似計算中的應用于是下證 e 是無理數. 這是因為其誤差不超過.矛盾. 所以 e 是一個無理數.那么不是整數. 而由 (7)

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