1、對稱問題知識梳理1.點對于點成中心對稱的對稱中心正是這兩點為端點的線段的中點，因其中心對稱的問題是線段中點坐標(biāo)公式的應(yīng)用問題.設(shè)P（x0，y0），對稱中心為A（a，b），則P對于A的對稱點為P（2ax0，2by0）.2.點對于直線成軸對稱問題由軸對稱定義知，對稱軸即為兩對稱點連線的“垂直均分線”.利用“垂直”“均分”這兩個條件成立方程組，便可求出對極點的坐標(biāo).一般情況以下：設(shè)點P（x0，y0）對于直線y=kx+b的對稱點為P（x，y），則有y0k=1，xx0可求出x、y.yy0=kxx0+b，22特別地，點P（x0，y0）對于直線x=a的對稱點為P（2ax0，y0）；點P（x0，y0）對于直線

2、y=b的對稱點為P（x0，2by0）.3.曲線對于點、曲線對于直線的中心或軸對稱問題，一般是轉(zhuǎn)變?yōu)辄c的中心對稱或軸對稱（這里既可選特別點，也可選隨意點實行轉(zhuǎn)變）.一般結(jié)論以下：（1）曲線f（x，y）=0對于已知點A（a，b）的對稱曲線的方程是f（2ax，2by）=0.（2）曲線f（x，y）=0對于直線y=kx+b的對稱曲線的求法：設(shè)曲線f（x，y）=0上隨意一點為P（x0，y0），P點對于直線y=kx+b的對稱點為P（y，x），則由（2）知，P與P的坐標(biāo)知足y0k=1，xx0從中解出x0、y0，y0y=kx0 x2+b，2代入已知曲線f（x，y）=0，應(yīng)有f（x0，y0）=0.利用坐標(biāo)代換法便

3、可求出曲線f（x，y）=0對于直線y=kx+b的對稱曲線方程.4.兩點對于點對稱、兩點對于直線對稱的常有結(jié)論：（1）點（x，y）對于x軸的對稱點為（x，y）；（2）點（x，y）對于y軸的對稱點為（x，y）；（3）點（x，y）對于原點的對稱點為（x，y）；（4）點（x，y）對于直線xy=0的對稱點為（y，x）；（5）點（x，y）對于直線x+y=0的對稱點為（y，x）.點擊雙基1.已知點M（a，b）與N對于x軸對稱，點P與點N對于y軸對稱，點Q與點P對于直線x+y=0對稱，則點Q的坐標(biāo)為A.（a，b）B.（b，a）C.（a，b）D.（b，a）分析：N（a，b），P（a，b），則Q（b，a）答案：B

4、2.（2004年浙江，理4）曲線y2=4x對于直線x=2對稱的曲線方程是=84x=4x8=164x=4x16分析：設(shè)曲線y2對于直線x=2對稱的曲線為C，在曲線C上任取一點（，），=4xPxy則P（x，y）對于直線x=2的對稱點為Q（4x，y）.由于Q（4x，y）在曲線y2=4x上，所以y2=4（4x），即y2=164x.答案：C3.已知直線l1：x+my+5=0和直線l2：x+ny+p=0，則l1、l2對于y軸對稱的充要條件是5=pmn=5=n且p=5D.1=1且p=5mn分析：直線l1對于y軸對稱的直線方程為（x）+my+5=0，即xmy5=0，與l2比較，m=n且p=5.反之亦考證成立.

5、答案：C4.點A（4，5）對于直線l的對稱點為B（2，7），則l的方程為_.分析：對稱軸是以兩對稱點為端點的線段的中垂線.答案：3xy+3=05.設(shè)直線x+4y5=0的傾斜角為，則它對于直線y3=0對稱的直線的傾斜角是_.分析：數(shù)形聯(lián)合.答案：典例分析【例1】求直線a：2x+y4=0對于直線l：3x+4y1=0對稱的直線b的方程.分析：由平面幾何知識可知若直線a、b對于直線l對稱，它們擁有以下幾何性質(zhì)：（1）若a、b訂交，則l是a、b交角的均分線；（2）若點A在直線a上，那么A對于直線l的對稱點B必定在直線b上，這時ABl，而且AB的中點D在l上；（3）a以l為軸旋轉(zhuǎn)180，必定與b重合.使用

6、這些性質(zhì)，能夠找出直線b的方程.解本題的方法好多，總的來說有兩類：一類是找出確立直線方程的兩個條件，選擇適合的直線方程的形式，求出直線方程；另一類是直接由軌跡求方程.解：由2x+y4=0，解得a與l的交點E（3，2），E點也在b上.3x+4y1=0，方法一：設(shè)直線b的斜率為k，又知直線a的斜率為2，直線l的斜率為3.43k3(2)()則4=4.1(3)(2)1k(3)44解得k=2.11代入點斜式得直線b的方程為y（2）=2（x3），11即2x+11y+16=0.方法二：在直線a：2x+y4=0上找一點A（2，0），設(shè)點A對于直線l的對稱點B的坐標(biāo)為（x0，y0），32x0+40y01=0，由

7、22y004，x0=32解得B（4，8）.55由兩點式得直線b的方程為y(2)=x3，284()35即2x+11y+16=0.方法三：設(shè)直線b上的動點P（x，y）對于l：3x+4y1=0的對稱點Q（x0，y0），則有xx0+4yy01=0，322y0=4.xx0307x24y6024x7y82525Q（x0，y0）在直線a：2x+y4=0上，則27x24y6+24x7y84=0，2525化簡得2x+11y+16=0是所求直線b的方程.方法四：設(shè)直線b上的動點P（x，y），直線a上的點Q（x0，42x0），且P、Q兩點對于直線l：3x+4y1=0對稱，則有|3x4y1|=|3x04(42x0)1

8、|，55y(42x0)=4.xx03消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y4=0（舍）.評論：本題表現(xiàn)了求直線方程的兩種不一樣的門路，方法一與方法二，除了點E外，分別找出確立直線地點的另一個條件：斜率或另一個點，而后用點斜式或兩點式求出方程，方法三與方法四是利用直線上動點的幾何性質(zhì)，直接由軌跡求方程，在使用這類方法時，要注意劃分動點坐標(biāo)及參數(shù)，本題綜合性較強，只有對坐標(biāo)法有較深刻的理解，同時有較強的數(shù)形聯(lián)合能力才能較好地達成本題.【例2】光芒從點A（3，4）發(fā)出，經(jīng)過x軸反射，再經(jīng)過y軸反射，光芒經(jīng)過點B（2，6），求射入y軸后的反射線的方程.分析：由物理中光學(xué)知識知，入射線和反射線對于

9、法線對稱.解：A（3，4）對于x軸的對稱點A1（3，4）在經(jīng)x軸反射的光芒上，相同A1（3，4）對于y軸的對稱點A2（3，4）在經(jīng)過射入y軸的反射線上，kA2B=64=2.23故所求直線方程為y6=2（x+2），即2x+y2=0.評論：注意知識間的互相聯(lián)系及學(xué)科間的互相浸透.【例3】已知點M（3，5），在直線l：x2y+2=0和y軸上各找一點P和Q，使MPQ的周長最小.分析：以以下圖，作點M對于直線l的對稱點M1，再作點M對于y軸的對稱點M2，連接MM1、MM2，連線MM1、MM2與l及y軸交于P與Q兩點，由軸對稱及平面幾何知識，可知這樣獲得的MPQ的周長最小.解：由點M（3，5）及直線l，可

10、求得點M對于l的對稱點M1（5，1）.相同簡單求得點M對于y軸的對稱點M2（3，5）.據(jù)M1及M2兩點可獲得直線M1M2的方程為x+2y7=0.令x=0，獲得M1M2與y軸的交點Q（0，7）.2解方程組x+2y7=0，5，9）.得交點P（24x2y+2=0，故點P（5，9）、Q（0，7）即為所求.242評論：適合地利用平面幾何的知識對解題能起到事半功倍的成效.深入拓展適合地利用平面幾何的知識解題.不如再試一試這個小題：已知點A（1，3）、B（5，2），在x軸上找一點P，使得|PA|+|PB|最小，則最小值為_，P點的坐標(biāo)為_.答案：41（17，0）5闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.（2004年全國卷，4）

11、已知圓C與圓（x1）2+y2=1對于直線y=x對稱，則圓C的方程為A.（x+1）2+y2=1+y2=1+（y+1）2=1+（y1）2=1分析：由M（x，y）對于y=x的對稱點為（y，x），即得x2+（y+1）2=1.答案：C2.與直線x+2y1=0對于點（1，1）對稱的直線方程為y5=0+2y3=0+2y+3=0y1=0分析：將x+2y1=0中的x、y分別代以2x，2y，得（2x）+2（2y）1=0，即x+2y+3=0.應(yīng)選C.答案：C3.兩直線y=3x和x=1對于直線l對稱，直線l的方程是_.3分析：l上的點為到兩直線y=3x與x=1距離相等的點的會合，即|x3y|=x31(3)21，化簡得

12、x+3y2=0或3x3y2=0.答案：x+3y2=0或3x3y2=04.直線2xy4=0上有一點P，它與兩定點A（4，1）、B（3，4）的距離之差最大，則P點的坐標(biāo)是_.分析：易知A（4，1）、B（3，4）在直線l：2xy4=0的雙側(cè).作A對于直線l的對稱點A1（0，1），當(dāng)A1、B、P共線時距離之差最大.答案：（5，6）5.已知ABC的一個極點A（1，4），B、C的均分線所在直線的方程分別為l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求邊BC所在直線的方程.解：設(shè)點A（1，4）對于直線y+1=0的對稱點為A（x1，y1），則x1=1，y1=2（1）（4）=2，即A（1，2）.在直線BC上，再設(shè)點

13、A（1，4）對于l2：x+y+1=0的對稱點為A（x2，y2），則有y24（1）=1，x21x21+y24+1=0.22解得x2=3，y=0，2即A（3，0）也在直線BC上，由直線方程的兩點式得y2=x1，即x+2y3=00231為邊BC所在直線的方程.培育能力6.求函數(shù)y=x29+x28x41的最小值.解：由于y=(x0)2(03)2+(x4)2(05)2，所以函數(shù)y是x軸上的點P（x，0）與兩定點A（0，3）、B（4，3）距離之和.y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值.由平面幾何知識可知，若A對于x軸的對稱點為A（0，3），則|PA|+|PB|的最小值等于|AB|，即(40)2(53)

14、2=45.所以ymin=45.若拋物線2上的兩點A（x1，1）、（2，2）對于直線y=x+m對稱且127.y=2xyBxyxx=1，求m的值.2解：設(shè)直線AB的方程為y=x+b，代入y=2x2得2x2b=0，+xx121，x12b1.222b=1，即AB的方程為y=x+1.設(shè)AB的中點為M（x0，y0），則x0=x1x2=1，代入y0=x0+1，4得y0=5.又M（1，5）在y=x+m上，4445=1+m.m=3.4428.（文）直線y=2x是ABC中C的均分線所在的直線，若A、B坐標(biāo)分別為A（4，2）、B（3，1），求點C的坐標(biāo)，并判斷ABC的形狀.解：由題意，點A對于直線y=2x的對稱點A

15、在BC所在直線上，設(shè)A點坐標(biāo)為（x1，y1），則x1、y1知足y12=1，即x1=2y1.x142y12=2x14，即2x1y110=0.22解兩式構(gòu)成的方程組，得x1=4，y=2.1BC所在直線方程為y1=x3，2143即3x+y10=0.解方程組3x+y10=0，得x=2，y=2x，y=4.所求C點坐標(biāo)為（2，4）.由題意|AB|2=50，|AC|2=40，|BC|2=10，ABC為直角三角形.（理）若拋物線y=ax21上總存在對于直線x+y=0對稱的兩點，務(wù)實數(shù)a的取值范圍.解：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）是拋物線上對于直線x+y=0對稱的兩點，則AB的方程可設(shè)為y=x+b.聯(lián)立

16、方程組y=x+b，y=ax21，得ax2xb1=0，可知=1+4a（b+1）0.又x12x2=1，y12y2=1.2a2a線段AB的中點M（1，1）.2a2aM點在直線AB上，1=1+b，即b=12a2aa將代入得1+4a（11a.0.a3.4研究創(chuàng)新9.（2003年新課程，理10）已知長方形的四個極點A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點從AB的中點P0沿與AB夾角為的方向射到BC上的點P1后，挨次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P（4入射角等于反射角）.設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0）.若1x42，求tan的取值范圍.解：設(shè)P1B=x，P1P0B=，則CP1=1x

17、，P1P2C、P3P2D、AP4P3均為，tan=P1B=x.P0B又tan=CP1=1x=x，CP2CP2CP2=1x=11.xx而tan=P3D=DP3=DP3=x，P2D211)1(3xxDP=x（1）=3x1.3x又tan=AP3=1(3x1)=23x=x，AP4AP4AP4AP423x23.xx依題設(shè)1AP4，即232，x42x1.4251tan2.25思悟小結(jié)1.對稱問題分為點對稱及軸對稱.點對稱僅用中點坐標(biāo)公式即可解決，軸對稱因?qū)ΨQ點連線的中垂線就是對稱軸，依據(jù)中點坐標(biāo)公式及斜率的關(guān)系即可解決.特別是對于原點對稱、坐標(biāo)軸對稱、直線xy=0對稱都要嫻熟掌握.2.解決最值問題最常用的

18、方法是目標(biāo)函數(shù)法和幾何法.3.本章的內(nèi)容是分析幾何最基本的觀點、公式和法例，這些內(nèi)容的綜合應(yīng)用是高考中常?？疾斓膬?nèi)容.教師下載中心教課點睛1.對稱問題的核心是點對于點的中心對稱和點對于直線的軸對稱，要充分利用轉(zhuǎn)變的思想將問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫@兩類對稱中的一種加以辦理.2.很多問題都隱含著對稱性，要注意發(fā)掘、充分利用對稱變換來解決，如角均分線、線段中垂線、光芒反射等.3.對稱問題除了用中點坐標(biāo)公式及斜率關(guān)系來求之外，還能夠用求軌跡的思想代入法來求解.拓展題例【例1】已知兩點A（2，3）、B（4，1），直線l：x+2y2=0，在直線l上求一點P.（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|PB|最大.解：（1）可判斷A、B在直線l的同側(cè)，設(shè)A點對于l的對稱點A1的坐標(biāo)為（1，xy1）.x12+2y1232=0，2則有y13（1）=1.x122x1=2，解得5y1=9.5由兩點式求得直線A1B的方程為y=7（x4）+1，直線A1B與l的交點可求得為11（56，3）.2525由平面幾何知識可知|PA|+|PB|最小.（2）由兩點式求得直線AB的方程為y1=（x4），即x+y