1、充要條件與反證法知識梳理1.充分條件：假如pq，則p叫q的充分條件，原命題（或逆否命題）建立，命題中的條件是充分的，也可稱q是p的必需條件.2.必需條件：假如qp，則p叫q的必需條件，抗命題（或否命題）建立，命題中的條件為必需的，也可稱q是p的充分條件.3.充要條件：假如既有pq，又有qp，記作pq，則p叫做q的充分必需條件，簡稱充要條件，原命題和抗命題（或逆否命題和否命題）都建立，命題中的條件是充要的.4.反證法：當直接證明有困難時，常用反證法.點擊雙基bc2是ab建立的A.充分而不用要條件B.充要條件C.必需而不充分條件D.既不充分也不用要條件分析：abac2bc2，如c=0.答案：A2.

2、（2004年湖北，理4）已知a、b、c為非零的平面向量.甲：ab=ac，乙：b=c，則甲是乙的充分條件但不是必需條件B.甲是乙的必需條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必需條件分析：命題甲:ab=aca（bc）=0a=0或b=c.命題乙:b=c，因此乙甲，但甲乙.故甲是乙的必需條件但不是充分條件.答案：B3.（2004年浙江，8）在ABC中，“A30”是“sinA1”的2A.充分而不用要條件B.必需而不充分條件C.充分必需條件D.既不充分也不用要條件分析：在ABC中，A300sinA1sinA1，sinA130A15022A30.“A30”是“sinA1”的

3、必需不充分條件.2答案：B4.若條件p:a4，q:5a6，則p是q的_.分析：a45a6，如a=7固然知足a4，但明顯a不知足5a6.答案：必需不充分條件5.（2005年春天上海，16）若a、b、c是常數(shù)，則“a0且b24ac0”是“對隨意xR，有ax2”的+bx+c0A.充分不用要條件B.必需不充分條件C.充要條件D.既不充分也不用要條件分析：若a0且b24ac0，則對隨意xR，有ax2+bx+c0，反之，則不必定建立.如a=0，b=0且c0時，也有對隨意xR，有ax2所以應選A.+bx+c0.答案：A典例分析【例1】使不等式2x25x30建立的一個充分而不用要條件是001，3，51或x32

4、分析：2x25x30建立的充要條件是x12時2x25x30.同理其余也可用特別值考證.或x3，對于A當x=13答案：C【例2】求證：對于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充分必需條件是a+b+c=0.證明：（1）必需性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，則a+b+c=0”.x=1是方程的根，將x=1代入方程，得a12+b1+c=0，即a+b+c=0.（2）充分性，即“若a+b+c=0，則x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.把x=1代入方程的左側(cè)，得a12+b1+c=a+b+c.a+b+c=0，x=1是方程的根.綜合（1）（2）知命題建立.深入拓展求ax2+2x+1=0（a0

5、）起碼有一負根的充要條件.證明：必需性：（1）方程有一正根和一負根，等價于44a0 x1x21a0.a0（2）方程有兩負根，等價于44a02a00a1.1a0綜上可知，原方程起碼有一負根的必需條件是a0或0a1.充分性：由以上推理的可逆性，知當a0時方程有異號兩根；當0a1時，方程有兩負根.故a0或0a1是方程ax2+2x+1=0起碼有一負根的充分條件.答案：a0或0a1.【例3】以下說法對不對?假如不對，分析錯誤的原由.（1）x2x2是xx2=x2的充分條件；（2）x2x2是xx2=x2的必需條件.解：（1）x2=x+2是xx2=x2的充分條件是指x2=x+2xx2=x2.但這里“”不建立，

6、因為x=1時，“”左側(cè)為真，但右側(cè)為假.得犯錯誤結(jié)論的原由可能是應用了錯誤的推理：x2=x+2x=x2x2=xx2.這里推理的第一步是錯誤的（請同學增補說明詳細錯在哪里）.（2）x2=x+2是xx2=x2的必需條件是指xx2=x2x2=x+2.但這里“”不建立，因為x=0時，“”左側(cè)為真，但右側(cè)為假.得犯錯誤結(jié)論的原由可能是用了錯誤的推理:xx2=x2x2=xx+2=x2.這里推理的第一步是錯誤的（請同學增補說明詳細錯在哪里）.評論：本題的解答比較著重邏輯推理.事實上，也能夠從真值會合方面來分析：x2=x+2的真值會合是1，2，xx2=x2的真值會合是0，2，1，20，2，而0，21，2，所以

7、（1）（2）兩個結(jié)論都不對.闖關(guān)訓練夯實基礎1.（2004年重慶，7）已知p是r的充分不用要條件，s是r的必需條件，q是s的必需條件，那么p是q建立的A.充分不用要條件B.必需不充分條件C.充要條件D.既不充分也不用要條件分析：依題意有pr，rs，sq，prsq.但因為rp，qp.答案：A2.（2003年北京高考題）“cos2=3”是“=k+5，kZ”的212A.必需不充分條件B.充分不用要條件C.充分必需條件D.既不充分又不用要條件分析：cos2=3552=2k=k.2612答案：A3.（2005年海淀區(qū)第一學期期末練習）在ABC中，“AB”是“cosAcosB”的A.充分不用要條件B.必需

8、不充分條件C.充要條件D.既不充分也不用要條件分析：在ABC中，ABcosAcosB（余弦函數(shù)單一性）.答案：C4.命題A：兩曲線F（x，y）0和G（x，y）=0訂交于點P（x0，y0），命題B：曲線F（x，y）+G（x，y）0（為常數(shù)）過點P（x0，y0），則A是B的_條件.答案：充分不用要5.（2004年北京，5）函數(shù)f（x）=x22ax3在區(qū)間1，2上存在反函數(shù)的充分必需條件是（，12，+）C.1，2（，12，+）分析：f（x）=x22ax3的對稱軸為x=a，y=f（x）在1，2上存在反函數(shù)的充要條件為1，2（，a或1，2a，+），即a2或a1.UB）的充要條件是答案：D6.已知數(shù)列an

9、的前n項和Sn=pn+q（p0且p1），求數(shù)列an成等比數(shù)列的充要條件.分析：先依據(jù)前n項和公式，導出使an為等比數(shù)列的必需條件，再證明其充分條件.解：當n=1時，a1=S1=p+q；當n2時，an=SnSn1=（p1）pn1.因為p0，p1，當n2時，an是等比數(shù)列要使n（N*）是等比數(shù)列，.an則a2=p，即（p1）p=p（p+q），q=1，即an是等比數(shù)列的必需條件是p0且a1p1且q=1.再證充分性：當p0且p1且q=1時，Sn=pn1，an=（p1）pn1，an=p（n2），an1an是等比數(shù)列.培育能力7.（2004年湖南，9）設會合U=（x，y）xR，yR，A=（x，y）|2xy

10、+m0，B=（x，y）|x+yn0，那么點P（2，3）A（1，n51，n51，n51，n5分析：UB=（x，y）nx+y，將P（2，3）分別代入會合A、B取交集即可.選A.答案：A8.已知對于x的一元二次方程mx24x+4=0，x24mx+4m24m5=0.求使方程都有實根的充要條件.解：方程有實數(shù)根的充要條件是1=（4）216m0，即m1；方程有實數(shù)根的充要條件是2=（4m）24（4m24m5）0，即m5.4方程都有實數(shù)根的充要條件是5m1.49.已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).求證：三個方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0起碼有一個方程有兩個相異實

11、根.證明：反證法：假定三個方程中都沒有兩個相異實根，則1=4b24ac0，2=4c24ab0，3=4a24bc0.相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20.由題意a、b、c互不相等，式不可以建立.假定不建立，即三個方程中起碼有一個方程有兩個相異實根.研究創(chuàng)新10.若x、y、z均為實數(shù)，且a=x22y+，b=y22z+，c=z22x+，則a、b、c236中能否起碼有一個大于零？請說明原由.解：假定a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，則a+b+c0.而a+b+c=x22y+y22z+z22x+=（x1）2+（y1）2+（z1）2+3，23630，且不論x、y、z為什么實數(shù)，（x1）2+（y1）2+（z1）20，a+b+c0.這與a+b+c0矛盾.所以，a、b、c中起碼有一個大于0.思悟小結(jié)1.要注意一些常用的“結(jié)論否認形式”，如“起碼有一個”“至多有一個”“都是”的否認形式是“一個也沒有”“起碼有兩個”“不都是”.2.證明充要性要從充分性、必需性兩個方面來證明.教師下載中心教課點睛1.掌握常用反證法證題的題型，如含有“起碼有一個”“至多有一個”等字眼多用反證法.2.重申反證法的第一步，要與否命題分清.3.要證明充要性應從充分性、必需性兩個方面來證.拓展題例【例題】指出以下命題中