1、選題的根據(jù):選題的理論實(shí)際意義并綜述有關(guān)本選題的研究動(dòng)態(tài)和自己的見(jiàn)解一般我們?cè)谘芯课锢韱?wèn)題時(shí)，經(jīng)典物理遇到了無(wú)法解決的問(wèn)題，通過(guò)引入量子 化思想,，搞清楚它們之間的聯(lián)絡(luò)對(duì)于物理問(wèn)題的研究和學(xué)習(xí)就顯得非常重要.，要先分析經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)兩者的關(guān)系并從中找出兩者聯(lián)絡(luò)和過(guò)渡的條 件,再將兩者分析方法詳細(xì)運(yùn)用到物理問(wèn)題當(dāng)中，最終選擇更為簡(jiǎn)易的方法解決 物理問(wèn)題.論文的主要內(nèi)容、根本要求及其主要的研究方法：，文章通過(guò)幾個(gè)詳細(xì)的例子諧振子和氫原子的能級(jí)在一定條件下量子到經(jīng)典 問(wèn)題的過(guò)渡.薛定諸方程在一定條件下轉(zhuǎn)化為哈密頓方程解薛定川方程準(zhǔn)經(jīng) 典近似方法來(lái)討論量子力學(xué)在一定條件下過(guò)渡到經(jīng)典力學(xué)；第二方面從

2、運(yùn)動(dòng)學(xué)角 度對(duì)量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)的理論進(jìn)展了比較研究提出了量子力學(xué).首先對(duì)經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)的主要內(nèi)容進(jìn)展學(xué)習(xí),明確兩者在物理問(wèn)題解決時(shí)所采用的方法，對(duì)兩者之間的聯(lián)絡(luò)和過(guò)渡條件進(jìn)展分析歸納，最終得出兩者的詳細(xì)聯(lián)絡(luò)條件.通過(guò)學(xué)習(xí)參考文獻(xiàn)和詳細(xì)例子，對(duì)兩者的聯(lián)絡(luò)進(jìn)展分析，最終得出兩者之間 聯(lián)絡(luò)和過(guò)渡時(shí)所滿足的條件.量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的聯(lián)絡(luò)的實(shí)例分析摘要：量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)研究的對(duì)象不同，范圍不同，二者之間是不是不可逾越的？當(dāng)然不是，在一定條件下，二者可以過(guò)渡.本文首先對(duì)量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系進(jìn)展了分 析，其次通過(guò)詳細(xì)的實(shí)例來(lái)說(shuō)明量子力學(xué)過(guò)渡到經(jīng)典力學(xué)的條件，最后分析出從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度，經(jīng)典力學(xué)向量子

3、力學(xué)過(guò)渡可歸結(jié)為從泊松括號(hào)向?qū)σ椎眠^(guò)渡.關(guān)鍵詞：量子力學(xué)；經(jīng)典力學(xué)；過(guò)渡從高中到大學(xué)低年級(jí)，我們所涉及的物理學(xué)內(nèi)容均為經(jīng)典物理學(xué)范疇，經(jīng)典物理學(xué) 理論在宏觀低速范圍內(nèi)已是相當(dāng)完善，正如十九世紀(jì)末一些物理學(xué)家所描繪的那樣，做 機(jī)械運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)運(yùn)動(dòng)速度小于真空中的光速時(shí)準(zhǔn)確地遵從牛頓力學(xué)規(guī)律；分子熱運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有完備的熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)理論；電磁運(yùn)動(dòng)有麥克斯韋方程加以描繪；光的 現(xiàn)象有光的波動(dòng)理論，整個(gè)物理世界的重要規(guī)律都已發(fā)現(xiàn)，以后的工作只要重復(fù)前人的 實(shí)驗(yàn)，進(jìn)步實(shí)驗(yàn)精度，在測(cè)量數(shù)據(jù)后面多添加幾個(gè)有效數(shù)字而已.正因如此為何在學(xué)完經(jīng) 典物理學(xué)以后還要繼續(xù)學(xué)習(xí)近代物理學(xué)，如何引入近代物理學(xué)就顯得格外重

4、要.毫無(wú)疑問(wèn)近代物理學(xué)的產(chǎn)生是物理學(xué)上號(hào)稱在物理學(xué)晴朗的天空上“兩朵小小的 烏云造成的1,正是這引發(fā)了物理學(xué)的一場(chǎng)大革命.這“兩朵小小的烏云即黑體輻射 實(shí)驗(yàn)和邁克爾遜-莫雷實(shí)驗(yàn).1900年為理解釋黑體輻射實(shí)驗(yàn)，普朗克能量子的假設(shè)，導(dǎo)致 了量子理論思想的萌芽，接著光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)以及原子構(gòu)造等一系列問(wèn)題上，經(jīng)典 物理都碰到了無(wú)法抑制的困難，通過(guò)引入量子化思想，這些問(wèn)題都迎刃而解，這就導(dǎo)致了 描繪微觀世界的理論-量子力學(xué)的建立.在經(jīng)典物理非常成熟、完備的情況下引入靜近代物理學(xué)，毫無(wú)疑問(wèn)必須強(qiáng)調(diào)以下問(wèn) 題：1經(jīng)典物理學(xué)的適用范圍是宏觀低速運(yùn)動(dòng)；219世紀(jì)末20世紀(jì)初，物理學(xué)已 經(jīng)研究到微觀現(xiàn)象和

5、高速運(yùn)動(dòng)的新階段；3新的研究范疇必須引入新的理論，這樣， 近代物理學(xué)的出現(xiàn)也就順理成章了 .盡管強(qiáng)調(diào)經(jīng)典物理學(xué)的適用范圍是宏觀低速運(yùn)動(dòng)，但碰到微觀高速問(wèn)題，人們照舊 習(xí)慣于首先用非常熟悉的經(jīng)典物理來(lái)解決物理學(xué)家如此，我們也不例外.無(wú)疑用經(jīng)典物 理學(xué)去解決高速微觀問(wèn)題最終必將以失敗而告終.然而在近代物理學(xué)課程的研究中有 意識(shí)地首先讓經(jīng)典物理學(xué)去碰壁，去得出結(jié)論，但結(jié)論是矛盾的和錯(cuò)誤的，然后，引出近代 物理學(xué)的有關(guān)理論，問(wèn)題最后迎刃而解2.經(jīng)典物理學(xué)是在宏觀和低速領(lǐng)域物理經(jīng)歷的根底上建立起來(lái)的物理概念和理論體 系，其根底是牛頓力學(xué)和麥克斯韋電磁學(xué).近代物理學(xué)那么是在微觀和高速領(lǐng)域物理實(shí) 驗(yàn)的根底上

6、建立起來(lái)的概念和理論體系，其根底是相對(duì)論和量子力學(xué)，必須指出，在相對(duì) 論和量子力學(xué)建立以后的當(dāng)代物理學(xué)研究中.雖然大量的是近代物理學(xué)問(wèn)題，但也有不 少屬于經(jīng)典物理學(xué)問(wèn)題.因此不能說(shuō)有了近代物理學(xué)就可拋棄經(jīng)典物理學(xué) .量子力學(xué)是物理學(xué)研究的經(jīng)歷擴(kuò)大到微觀領(lǐng)域的結(jié)果.因此，量子力學(xué)的建立必然 是以經(jīng)典力學(xué)為根底，它們之間存在必然的聯(lián)絡(luò)，量子力學(xué)修改了物理學(xué)中關(guān)于物理世 界的描繪以及物理規(guī)律陳述的根本概念.量子力學(xué)關(guān)于微觀世界的各種規(guī)律的研究給 物理學(xué)根本概念帶來(lái)了根本性的改變.因此，近代物理學(xué)的研究應(yīng)該在經(jīng)典物理學(xué)的根 底上有所打破，才會(huì)日趨完美.本論文主要對(duì)經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)之間的聯(lián)絡(luò)進(jìn)展了分析

7、和討論.文章通過(guò)幾個(gè) 詳細(xì)的實(shí)例包括：（1）諧振子和氫原子的能級(jí)在n時(shí)量子到經(jīng)典問(wèn)題的過(guò)渡；（2）薛定川方程在一定條件下轉(zhuǎn)化為哈密頓方程；（3）經(jīng)典哈密頓函數(shù)H向量子力學(xué)算符？ 過(guò)渡；（4）經(jīng)典動(dòng)能和量子力學(xué)的表達(dá)形式的過(guò)渡，討論量子力學(xué)過(guò)渡到經(jīng)典力學(xué)處理 問(wèn)題的條件.量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系一直以來(lái)，開展很完善的經(jīng)典力學(xué)的研究對(duì)象就是宏觀物體和宏觀現(xiàn)象：諸如牛 頓三大定律、拉格朗日方程和哈密頓方程，它們很完美地反映并預(yù)測(cè)出了宏觀物體的運(yùn) 動(dòng)規(guī)律，而量子力學(xué)的研究對(duì)象是微觀粒子和微觀現(xiàn)象，諸如原子、電子、介子等.無(wú)論 是宏觀物質(zhì)還是微觀粒子？它們同屬于物質(zhì)，為什么卻要用兩種不同的理論來(lái)研究它們

8、呢？我們知道，在研究物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，先要建立觀測(cè)運(yùn)動(dòng)的手段，也就是說(shuō)，嚴(yán)格跟蹤它 的軌跡.有了明確的觀測(cè)軌道的手段就意味著有了明確的軌跡.利用相對(duì)論的知識(shí)，我們知道,在測(cè)量時(shí)一般用光或電波來(lái)追蹤物體并測(cè)定物體的一些力學(xué)量，如：速度、加速度等.這樣做的原因是光速不變、光速最大，最重要的是光子的質(zhì)量相對(duì)于宏觀粒子來(lái)說(shuō)幾 乎可以忽略.就像在碰撞中，假設(shè)被碰撞物體的質(zhì)量遠(yuǎn)大于入射粒子的質(zhì)量，那么入射粒 子對(duì)靶粒子的狀態(tài)就幾乎沒(méi)有影響，這樣就能到達(dá)測(cè)量的目的測(cè)量的原那么是不影響 被測(cè)物體的狀態(tài).而當(dāng)被測(cè)物是微觀粒子時(shí)，情況就不一樣了 .光子對(duì)微觀粒子的影響 已經(jīng)不能忽略了 .光子也是一種微觀粒子，當(dāng)光觸及

9、到微觀粒子時(shí)彳散觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 就發(fā)生改變，但假設(shè)光不觸及微觀粒子，就無(wú)法知道它的位置，這樣永遠(yuǎn)不能測(cè)定微觀粒 子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).宏觀粒子和微觀粒子的區(qū)別可以從波粒二象性中得到.任何物質(zhì)都具有波粒二象性，只是有波動(dòng)性、粒子性哪種性質(zhì)比較明顯的區(qū)別.根據(jù)德布羅意波長(zhǎng)表達(dá)式= -,h的量級(jí)是10-34，宏觀粒子因?yàn)橘|(zhì)量較大，故人很小，波動(dòng)性不明顯.而微觀粒子不 P一樣質(zhì)量很小，且通常以高速運(yùn)動(dòng)，已不能忽略,波動(dòng)性明顯.兩種力學(xué)理論中都有自己的假設(shè).在經(jīng)典力學(xué)中，牛頓定律F=ma就是最大的假設(shè)， 在這個(gè)假設(shè)的前提下，衍生出一系列的力學(xué)量及守恒定律.在量子理論中，有四大假設(shè)： 1.粒子的狀態(tài)可以用波函數(shù)

10、描繪，假設(shè)某一波函數(shù)（x）描繪一個(gè)粒子的坐標(biāo)狀態(tài)，那么 dv表示在空間體積中找到粒子的概率本身毫無(wú)物理意義，他只有與算符作用或是求幾率密度時(shí)才能表達(dá)出作用.2.波函數(shù)滿足態(tài)的疊加原理.3.力學(xué)量可以用厄米算符 表示試驗(yàn)中測(cè)得的力學(xué)量的值可以看作是對(duì)應(yīng)算符的期望值（F F? d 是系統(tǒng)的波函數(shù)，是波函數(shù)里的自變量.4.兩個(gè)力學(xué)量可以同時(shí)被測(cè)量的充要條件是：這兩個(gè)力學(xué)量對(duì)應(yīng)的力學(xué)算符可以對(duì)易（F GF?）.波函數(shù)及算符的引入使量子理論快速地 回到數(shù)學(xué)上來(lái)，并在很大程度上與經(jīng)典力學(xué)規(guī)律保持一致，四個(gè)假設(shè)也使量子理論和實(shí) 驗(yàn)結(jié)果能較好地吻合3.在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)我們找到系統(tǒng)的初始狀態(tài)時(shí)，根據(jù)經(jīng)典力學(xué)的規(guī)

11、律，可以唯一確定 系統(tǒng)的末狀態(tài)和力學(xué)量，而在量子領(lǐng)域，即使我們知道系統(tǒng)處于確定的狀態(tài)，但其力學(xué)量 不一定有確定值.如波函數(shù)Ci 1+C2 2+.+Cn n,系統(tǒng)此時(shí)的狀態(tài)用來(lái)描繪，但在測(cè)定力學(xué)量時(shí)，結(jié)果可能是斗（4是波函數(shù)對(duì)應(yīng)是本征值，該結(jié)果出現(xiàn)的概率是C1）,也可能 是a2 a2是波函數(shù)對(duì)應(yīng)是本征值，該結(jié)果出現(xiàn)的概率是C2，也可能是an（an、cn的物 理意義和上面一樣.故在量子力學(xué)中，在非本征態(tài)時(shí)，測(cè)量時(shí)，通常無(wú)法知道到底會(huì)出現(xiàn) 哪個(gè)結(jié)果，但我們能知道各個(gè)結(jié)果及它們出現(xiàn)的概率.大多數(shù)情況下，測(cè)定某物理量的值 時(shí),會(huì)有很多種結(jié)果出現(xiàn)，它們彼此分立，即出現(xiàn)量子化現(xiàn)象.事實(shí)上，大多數(shù)的量都是量

12、子化的.經(jīng)典力學(xué)中很容易確定物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，即同時(shí)確定動(dòng)量P和位移x,也能同時(shí) 確定能量E和時(shí)間t,一切都很完美！但在量子力學(xué)中，存在著一個(gè)重要且普遍的規(guī)律： 測(cè)不準(zhǔn)原理又稱互補(bǔ)原理，即：對(duì)于微觀粒子來(lái)說(shuō)，位置和其共腕的動(dòng)量以及能量和 其共腕的時(shí)間是不能同時(shí)嚴(yán)格測(cè)定的，而牛頓力學(xué)正是以這兩組量可以同時(shí)確定為根 底建立的.測(cè)不準(zhǔn)原理是引入微觀粒子的波動(dòng)性的概念的必然結(jié)果.該原理又稱互補(bǔ)原理是因?yàn)椋簆 x h E t h x是動(dòng)量改變 p粒子發(fā)生的位移，t是能量改變E所需的時(shí)間也不是所有的量都無(wú)法同時(shí)測(cè)量，在上面的量子力學(xué)假設(shè)4中,我們已 經(jīng)知道了可以多個(gè)力學(xué)量同時(shí)測(cè)量的條件.牛頓定律F=ma是整

13、個(gè)經(jīng)典力學(xué)的基石，或者用拉格朗日方程、哈密頓方程也可以 更普遍地描繪整個(gè)宏觀體系.在量子力學(xué)中，薛定川方程曲工=? ,?是哈密頓算符） 那么能反響出規(guī)律.我們都清楚，量子力學(xué)是比經(jīng)典力學(xué)更為普遍的理論，經(jīng)典力學(xué)是量 子力學(xué)是特例，當(dāng)大量的微觀粒子會(huì)聚在一起時(shí)，那么又回到了宏觀情況.所以，量子理論 成立的一個(gè)很重要的前提就是，能回到經(jīng)典理論中去.確實(shí)在極端條件下，薛定川方程能 回到牛頓方程和哈密頓方程4.在量子力學(xué)中也存在著一些特殊的狀態(tài)，如：定態(tài)當(dāng)能量波函數(shù) (X, t)可寫成(X) e-iEt/X和t可以別離變量時(shí)，我們稱系統(tǒng)處于定態(tài).此時(shí)薛定川方程不含時(shí)間, 也就是能量的本征方程，根據(jù)本征

14、方程的性質(zhì)可知：力學(xué)量的期望值即本征方程的本 征信不隨時(shí)間變化，該力學(xué)量取各種可能的結(jié)果的幾率不變.從這種特殊的狀態(tài)中我們 也能找到一點(diǎn)經(jīng)典情況的影子，它和經(jīng)典情況已經(jīng)有一點(diǎn)點(diǎn)相似了 .經(jīng)典力學(xué)幾乎能很好地解釋、預(yù)測(cè)宏觀世界的所有規(guī)律，包括宇宙天體的運(yùn)動(dòng).對(duì)于 量子力學(xué)，它在研究中心場(chǎng)、自旋理論、定態(tài)微擾論、散射理論、量子躍遷等方面運(yùn)用 較多,主要著重于微觀領(lǐng)域，如今一些穿插學(xué)科中運(yùn)用也很多，如生物物理中，研究蛋白質(zhì) 構(gòu)造；化學(xué)物理中，化學(xué)反響中化學(xué)鍵的形成等.量子力學(xué)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于各個(gè)研究領(lǐng) 域.經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)，根本區(qū)別在于能否用光子追蹤物體并能同時(shí)觀測(cè)到各種物 理量即研究對(duì)象的波動(dòng)的

15、明顯性.量子理論中，因?yàn)椴ê瘮?shù)的疊加性使得測(cè)量過(guò)程中 會(huì)出現(xiàn)各種結(jié)果，微觀粒子的波動(dòng)性即表達(dá)在 波的疊加性上，物質(zhì)波描繪的是粒子在 空間的幾率分布.波函數(shù)和算符的引入將經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)的聯(lián)絡(luò)表達(dá)出來(lái)了，并使量子論最終回到了經(jīng)典理論中去.在學(xué)習(xí)量子理論的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)很多理論是從經(jīng) 典的規(guī)律出發(fā)推導(dǎo)得到的 彳艮多時(shí)候這些推導(dǎo)在量子領(lǐng)域中都是不適用的.但我們認(rèn)為這只是從經(jīng)典過(guò)渡到量子的一種方法.很多時(shí)候，我們只關(guān)心結(jié)論，只要結(jié)論是對(duì)的，和實(shí) 驗(yàn)結(jié)果能很好地吻合，至于這個(gè)結(jié)論是怎么得來(lái)的，就不是很重要了 .正如在研究微觀粒 子的運(yùn)動(dòng)是，通常會(huì)用到“徑跡重現(xiàn)的方法，但微觀粒子根本就沒(méi)有軌跡，同樣，

16、有時(shí)候 借用經(jīng)典方法，只要能到達(dá)想要的結(jié)果，方法是否符合理論也不是那么重要了 .2.量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)詳細(xì)聯(lián)絡(luò)的分析和討論從量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的研究對(duì)象和范圍不同研究它們之間的過(guò)渡量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)研究的對(duì)象不同，范圍不同，二者之間是不是不可逾越的？當(dāng)然 不是,在一定條件下，二者可以過(guò)渡.由于物理學(xué)的開展是在實(shí)驗(yàn)的根底上開展起來(lái)的 ，隨 著實(shí)驗(yàn)條件，測(cè)量精度的不斷進(jìn)步，物理學(xué)理論也要開展.在量子物理中，當(dāng)主量子數(shù)n-oo 時(shí),從誤差角度考慮問(wèn)題，量子理論就過(guò)渡到經(jīng)典物理.下面舉例說(shuō)明：(1)諧振子設(shè)諧振子的能量為Enn工方那么相鄰能級(jí)間隔為2EnEn 1 En U那么，當(dāng)n那么，當(dāng)n時(shí),小En

17、EnEn=-2eR22a0nEnEn+1 Ee2EnEn+1 Ee2(2n+1)2a0n2(n+1 )2那么，當(dāng)nEn2n+1(2n+1)2時(shí),fn0.En由于相鄰能級(jí)間隔很小，可以忽略，所以當(dāng)n很大時(shí)的能級(jí)可以看作是連續(xù)能級(jí)，量 子化特征消失，由量子理論過(guò)渡到經(jīng)典理論.那么由量子理論過(guò)渡到經(jīng)典理論有沒(méi)有一 個(gè)標(biāo)志了 ？我們說(shuō)有，這就是普朗克常數(shù)h,假設(shè)在研究的過(guò)程中h的影響很小，可以忽略, 就可以由量子理論過(guò)渡到經(jīng)典理論，反之，那么用量子理論處理問(wèn)題.下面再舉例說(shuō)明：(3)薛定川方程與哈密頓方程的關(guān)系設(shè)離子在勢(shì)場(chǎng)v r中運(yùn)動(dòng)，含時(shí)間的薛定川方程表示為十 為2i 力一(-+v)t 2miis一

18、(p r-Et)= Re*= Re入為常數(shù),S表示作用量)R_ 1 t 2m(R 2R_ 1 t 2m(R 2S+2 R S)(2)代入上式得S=- ( S=- ( S)2+v- t 2m力222m R(3)式在經(jīng)典極限下，即h 0與經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓方程相等S ( S)2+ -_ +V=0t 2m對(duì)于定態(tài)對(duì)于定態(tài)Et那么樣 E V即不含時(shí)間的作用量滿足哈密頓方程，接下來(lái)我們還可以推導(dǎo)出量子力學(xué)中的牛頓方程.由粒子數(shù)守恒定律方程：一+ J 0t TOC o 1-5 h z 可得粒子流速為：=-j(6)m S 12(6)式代入(4)式得： + m +V (r)=0(7)式取梯度后將(6)式代入得

19、+m () v+ v( r)=F在流體力學(xué)中常用公式-=-+dt t所以得m =- V r =F(8)dt量子力學(xué)中的牛頓方程與經(jīng)典力學(xué)中的牛頓方程在形式上是一致的，但是量子力學(xué)由于動(dòng)量和坐標(biāo)的不確定關(guān)系，牛頓方程中都要取平均值方可計(jì)算6.4經(jīng)典哈密頓函數(shù)H向量子力學(xué)算符？過(guò)渡在球坐標(biāo)系下，直接對(duì)經(jīng)典量進(jìn)展量子化為算符，在球坐標(biāo)系下的三維運(yùn)動(dòng)粒子的動(dòng)能表達(dá)式為T - m (r2+r2 2+r2sin2 2)92正那么動(dòng)量為 R=1=mr P=mr2P mr2 sin2r10從而得到粒子的哈密頓量H =2m212(pr+p在球坐標(biāo)系中將r91+ 1 2r sinp2H =2m212(pr+p在球

20、坐標(biāo)系中將r91+ 1 2r sinp2)+v r式直接量子化，根據(jù)對(duì)易規(guī)那么，假設(shè)仍將相應(yīng)的算符表示為11p =-訪P r =-浦p =-%pr =-訪12將12式代入10式可得J2m r2222 + 2-22r r sin+V(r)5動(dòng)能表達(dá)形式的過(guò)渡在經(jīng)典力學(xué)中，粒子動(dòng)能一般表示為13132ds為粒子空間軌道曲線的線段元，在常用的直角坐標(biāo)系中，ds2=dx2+dy2+dz2所以T = 1M (x2所以T = 1M (x2+y2+Z2)214由正那么通量?x = =mxxT .p由正那么通量?x = =mxxT .py = -=myyTPz = -=mzz15因此T=擊位+py+p因此T=

21、擊位+py+p2)16按正那么量子化方法?x=-訪?y=-訪一 y件肅底噠+即-18x=r sin cosy=r sin sinz=rcos及逆變換件肅底噠+即-18x=r sin cosy=r sin sinz=rcos及逆變換r= . x2+y2+z2=arctan( x +y z=arctan (1917而動(dòng)能算符表示為/ 2_2 +2M x2從T?的直角坐標(biāo)表示式18可以導(dǎo)出2M27)z_ (r + 2M r r r r sinsin1+2 . 2r sin2)2M27)z_ (r + 2M r r r r sinsin1+2 . 2r sin2)F+丁一2M r r r sinsin

22、1+ 2 . 2r sin202M r221+ 一+ r r r sinsin1+ -22r sin2至)2.2從運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)角度對(duì)量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)的理論形式進(jìn)展比較 (1)運(yùn)動(dòng)學(xué)的比較運(yùn)動(dòng)學(xué)的任務(wù)是解決系統(tǒng)狀態(tài)的描繪問(wèn)題，也就是確定運(yùn)動(dòng)學(xué)變量及其服從的代 數(shù)關(guān)系.人們知道，經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動(dòng)學(xué)是廣義坐標(biāo)qi和廣義動(dòng)量pj7,它們所服從的代數(shù) 是泊松代數(shù). TOC o 1-5 h z qiPj = j(21)qi qj = PiPj =0(22)量子力學(xué)的運(yùn)動(dòng)學(xué)變量是廣義坐標(biāo)算符母和廣義坐標(biāo)算？它們所服從的是海森堡代數(shù)耳,* =ij(23)bi吊訊聞(24)1比較2122式和2324式易得到X

23、,Y 二 采部(25)25式中的XY分別代表任意兩個(gè)力學(xué)量，義和V代表力學(xué)量算符.由上可見(jiàn)，由 于運(yùn)動(dòng)學(xué)代數(shù)的不同，使得量子力學(xué)的廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量為算符，而經(jīng)典力學(xué)的廣義 坐標(biāo)和廣義動(dòng)量為普通的力學(xué)量，而且從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度經(jīng)典力學(xué)向量子力學(xué)過(guò)渡可歸結(jié) 為從泊松括號(hào)向?qū)σ椎眠^(guò)渡，這正提醒了量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)之間的本質(zhì)差異根源于 運(yùn)動(dòng)學(xué).另外，經(jīng)典力學(xué)的坐標(biāo)與動(dòng)量只是普遍空間的位矢，一般表示為q qg, P pgee ij(26)26式中的3或gj為普通空間的位矢，且彼此正交歸一；而量子力學(xué)的運(yùn)動(dòng)學(xué)變 量是算符，必須作用于詳細(xì)的物理對(duì)象方可給出物理學(xué)上可觀測(cè)的結(jié)果(平均值).而狀態(tài)矢量表示量子態(tài)的概

24、率幅，它是希爾伯特空間中的矢量，力學(xué)量算符也是作用于該空 間的算符，態(tài)疊加原理使得希爾伯特空間成為線性矢量空間，在該空間中，量子態(tài)一般 表小為:n | m mnn | m mn1nxnn| = I(27)27式中n為希爾伯特空間的基矢，滿足正交歸一完備要求.實(shí)際上正如經(jīng)典力 學(xué)可以選擇坐標(biāo)系一樣量子力學(xué)也可以選擇表象.其實(shí)，選擇坐標(biāo)系或表象都是理論描繪的自由因此帶有主觀因素.盡管如此人們還是為了簡(jiǎn)潔，明晰地描繪客觀物理現(xiàn)象，反 響物理規(guī)律的深化本質(zhì)而選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系或表象，這又表現(xiàn)出了經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)在運(yùn)動(dòng)學(xué)方面的相似性._isR*(28)2量子力學(xué)的薛定川形式與經(jīng)典力學(xué)的哈密頓-雅可比形式

25、的比較_isR*(28)設(shè)離子在勢(shì)場(chǎng)v（r）中運(yùn)動(dòng)，將波函數(shù)的模與相位分開.即令（R、S為實(shí)數(shù)）代入含時(shí)間的薛定川的方程有卜t經(jīng)運(yùn)算后可與H-J形式作比較薛定川形式為（幾率守恒）(29)2ms)2v殳& 0薛定川形式為（幾率守恒）(29)2ms)2v殳& 02m R(30)=1 I2R2 （幾率密度）(31)(32)哈密頓-雅可比形式為-J 0（質(zhì)量守恒）(32)哈密頓-雅可比形式為-J 0（質(zhì)量守恒）(33)R2 一、j S （幾率流密度）m(34)S 12(34)(S)2 V 0t 2m(35)(r-r (t)(質(zhì)量密度)(35)j V （r-r （t）（質(zhì)量流密度）(36)j V （r-

26、r （t）（質(zhì)量流密度）(36)(37)P= S(粒子動(dòng)量)(37)34和37式中的S表示經(jīng)典作用量.通過(guò)上述比較出，薛定川形式中的幾率當(dāng)處于同一量子態(tài)的量子數(shù)目很大時(shí)可理解為多粒子體系的空間分布密度，即質(zhì)量的 空間分布,也正是H-J形式中的質(zhì)量密度.因此，幾率守恒與質(zhì)量守恒對(duì)應(yīng).30式中的第四項(xiàng)稱為量子勢(shì)，在經(jīng)典極限h0時(shí)，該項(xiàng)趨于零，因此與34式對(duì)應(yīng)，作為相應(yīng)的S與經(jīng)典作用量對(duì)應(yīng)，而幾率密度與粒子動(dòng)量對(duì)應(yīng).3量子力學(xué)的海森堡-狄拉克形式與經(jīng)典力學(xué)泊松-漢密爾頓形式的比較 海森堡-狄拉克形式網(wǎng)dt訪dHdt訪dH和(38)更=工 A, H =0(39)dt38、39式中的？=? (?)為哈密頓算符，？為任意力學(xué)量算符，38式為海森堡方程，39式為力學(xué)量守恒方程.泊松-漢密爾頓形式dqidtqidpidtPidqidtqidpidtPi(40)dA dtA,H 0(41)40、41式中的 =(q, p)為哈密頓量，40哈密頓正那么方程，41式為力學(xué)量A服從的守恒方程.通過(guò)比較可看出，H-D形式與P-H形式之間的對(duì)應(yīng)可歸結(jié)為 Poisson括號(hào)向?qū)σ鬃拥?/p>