1、-讓每一個人相同地提高自我2008年中考試題拋物線與幾何問題優(yōu)選、（遼寧12市）如圖，在平面直角坐標系中，直線y3x3與x軸交于點A，1與y軸交于點C，拋物線223經過，三點yax3xc(a0)ABC（1）求過A，B，C三點拋物線的分析式并求出極點F的坐標；（2）在拋物線上能否存在點P，使ABP為直角三角形，若存在，直接寫出P點坐標；若不存在，請說明原因；（3）試一試究在直線AC上能否存在一點M，使得MBF的周長最小，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明原因解：（1）直線y3x3與x軸交于點A，與y軸交于點CA(1，0)，C(0，3)點A，C都在拋物線上，y0a23a33c33cc3AOBx

2、3223CF拋物線的分析式為yx極點33x3F1，433（2）存在P1(0，3)P2(2，3)（3）存在y原因：延伸BC到點B，使BCBC，連結BF交直線AC于點M，則點M就是所求的點HAOx過點B作BHAB于點HBCB點在拋物線y32233上，B(3，0)BMFxx圖9331-讓每一個人相同地提高自我在RtBOC中，tanOBC3，3OBC30，BC23，在RtBBH中，BH1BB23，2BH3BH6，OH3，B(3，23)設直線BF的分析式為ykxb233kbk3643解得kb333b23x33623y3x3xy3x33解得7M3，1031037762y，7在直線AC上存在點M，使得MBF

3、的周長最小，此時M3，103772、（山東濟南）已知：拋物線yax23)，與x軸交于A、bxc(a0)，極點C(1，B兩點，A(1，0)1）求這條拋物線的分析式2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點D，與拋物線對稱軸交于點E，挨次連結、，AD、BE，點P為線段AB上一個動點(P與AB兩點不重合)，過點P作PMAE于MPNDB于N，請判斷PMPN能否為定值?假如，懇求出此定值；若不是，請說明原因BEAD（3）在(2)的條件下，若點S是線段EP上一點，過點S作FGEP，F(xiàn)G分別與邊AE、BE訂交于點F、G(F與A、E不重合，G與E、B不重合)，請判斷PAEF能否成PBEG立若建立，請給出證明；

4、若不可以立，請說明原因2-讓每一個人相同地提高自我【思路點撥】（2）證APMABE，PMAP同理:PNPBBEAB（3）證PH=BH且APMPBHADAB再證MEPEGF可得。yEMAOPBx解：(1)設拋物線的分析式為ya(x1)23DN將A(1，0)代入:0a(11)23a3C4拋物線的分析式為y3(x1)23，即：y3x23x944242）是定值，PMPN1BEADAB為直徑，AEB=90，PMAE，PMBEAPMABE，PMAPBEAB同理:PNPB+:PMPNAPPB1ADABBEADABAB（3）直線EC為拋物線對稱軸，EC垂直均分ABEA=EBAEB=90AEB為等腰直角三角形E

5、AB=EBA=45.7分如圖，過點P作PHBE于H，由已知及作法可知，四邊形PHEM是矩形，PH=ME且PHME在APM和PBH中AMP=PHB=90，EAB=BPH=45PH=BH且APMPBHPAPMPBBHPAPMPMPBPHME在MEP和EGF中，PEFG，F(xiàn)GE+SEG=90MEP+SEG=90FGE=MEPPME=FEG=90MEPEGFPMEFMEEG3-讓每一個人相同地提高自我由、知：PAEFPBEG3、(浙江杭州)在直角坐標系xOy中，設點A（0，t），點Q（t，b）。平移二次函數ytx2的圖象，獲得的拋物線F知足兩個條件：極點為Q；與x軸訂交于B，C兩點（OBOC），連結A

6、，B。（1）能否存在這樣的拋物線F，2OBOC？請你作出判斷，并說明原因；OA（2）假如AQBC，且tanABO=3，求拋物線F2對應的二次函數的分析式。【思路點撥】（1）由關系式OA2OBOC來建立對于t、b的方程；(2)討論t的取值范圍，來求拋物線F對應的二次函數的分析式。解：（1）平移ytx2的圖象獲得的拋物線F的極點為Q,拋物線F對應的分析式為:yt(xt)2b.拋物線與x軸有兩個交點，tb0.令y0,得OBtb，OCtb,ttb|OB|OC|(t)(ttb)|t2b|t2OA2,tt即t2bt2所以當b2t3時,存在拋物線2|OB|OC|.-2分t,F使得|OA|(2)AQ/BC,t

7、b,得F:yt(xt)2t,解得x1t1,x2t1.在RtAOB中,1)當t0時,由|OB|OC|,得B(t1,0),4-讓每一個人相同地提高自我當t10時,由tanABO3|OA|t,解得t3,2|OB|t1此時,二次函數分析式為y3x218x24;當t10時,由tanABO3|OA|t,解得t32|OB|t,15此時，二次函數分析式為y3x2+18x+48.5251252)當t0時,由|OB|OC|,將t代t,可得t3,t3,5（也可由x代x，y代y獲得）所以二次函數分析式為y3x2+18x48或y3x218x24.5251254、(江蘇常州)如圖,拋物線yx24x與x軸分別訂交于點B、O

8、,它的極點為A,連接AB,把AB所的直線沿y軸向上平移,使它經過原點O,獲得直線l,設P是直線l上一動點.1）求點A的坐標;2）以點A、B、O、P為極點的四邊形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,請分別直接寫出這些特別四邊形的極點P的坐標;（3）設以點A、B、O、P為極點的四邊形的面積為S,點P的橫坐標為x,當462S682時,求x的取值范圍.【思路點撥】（3）可求得直線l的函數關系式是y=-2x，所以應討論當點P在第二象限時，x0這二種狀況。解：（1）yx24x(x2)24A(-2,-4)2）四邊形ABP1O為菱形時，P1(-2,4)四邊形ABOP2為等腰梯形時，P1(2，4)5548四邊形AB

9、P3O為直角梯形時，P1(，)555-讓每一個人相同地提高自我四邊形ABOP4為直角梯形時，P1(6，12)553）由已知條件可求得AB所在直線的函數關系式是y=-2x-8,所以直線l的函數關系式是y=-2x當點P在第二象限時，x0,過點A、P分別作x軸的垂線，垂足為則四邊形POAA的面積SPOAAS梯形PPAA42xSPPO2A、P(x2)1(2x)x4x426-讓每一個人相同地提高自我AAB的面積SAAB14242SSPOAASAAB4x8(x0)462S682，322S4624x8462x2即S6824x8682421S2x的取值范圍是322x421225、（浙江麗水）如圖，在平面直角坐

10、標系中，已知點A坐標為（2，4），直線x2與x軸訂交于點B，連結OA，拋物線yx2從點O沿OA方向平移，與直線x2交于點P，極點M到A點時停止挪動y（1）求線段OA所在直線的函數分析式；（2）設拋物線極點M的橫坐標為m,用m的代數式表示點P的坐標；當m為什么值時，線段PB最短；（3）當線段PB最短時，相應的拋物線上能否存在點Q，使QMA的面積與PMA的面積相等，若存在，懇求出點Q的坐標；若不存在，請說明原因APMBOxx2解：（1）設OA所在直線的函數分析式為ykx，A（2，4），2k4,k2,OA所在直線的函數分析式為y2x2）極點M的橫坐標為m，且在線段OA上挪動，y2m（0m2）.極點M

11、的坐標為(m,2m).拋物線函數分析式為y(xm)22m.7-讓每一個人相同地提高自我當x2時，y(2m)22mm22m4（0m2）.點P的坐標是（2，m22m4）.PB=m22m4=(m1)23，又0m2，當m1時，PB最短（3）當線段PB最短時，此時拋物線的分析式為yx122.假定在拋物線上存在點Q，使SQMASPMA.設點Q的坐標為（x，x22x3）.當點Q落在直線OA的下方時，過yDP作直線AOyPB3AB4AP1OC1123APCCCP的坐標是（），直線PC點，的函數分析式為y2x1.PMESQMASPMA，點Q落在直線y2x1上.Bx22x3=2x1.OxCx2解得x12,x222

12、3.，即點Q（，）點Q與點P重合.此時拋物線上不存在點Q，使QMA與APM的面積相等.當點Q落在直線OA的上方時，作點P對于點A的對稱稱點D，過D作直線DEAOyEAP1EODA1EDDEy2x1SQMASPMA，點Q落在直線y2x1上.x22x3=2x1.8-讓每一個人相同地提高自我解得：x122，x222.代入y2x1，得y1522，y2522.此時拋物線上存在點Q122,522，Q222,522使QMA與PMA的面積相等.綜上所述，拋物線上存在點Q122,522，Q222,522使QMA與PMA的面積相等.6、（廣東省深圳市）如圖9，在平面直角坐標系中，二次函數yax2bxc(a0)的圖

13、象的極點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左邊，B點的坐標為（3，0），OBOC，tanACO13（1）求這個二次函數的表達式（2）經過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上能否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為極點的四邊形為平行四邊形？若存在，懇求出點F的坐標；若不存在，請說明原因（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度（4）如圖10，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么地點時，APG的面積最大？求出此時P點的坐標和APG的最大面積.yyEAOBxAO

14、BxCG點的坐CD（3）討論當直線DMN標，再代入拋物線的表達式查驗。MN在x軸上方時、當直線圖9圖10在x軸下方時二種狀況。（4）建立S對于x的二次函數，求它的最大值。解：（1）由已知得：C（0，3），A（1，0）9-讓每一個人相同地提高自我abc0將A、B、C三點的坐標代入得9a3bc0c3a1解得：b2c3所以這個二次函數的表達式為：yx22x3（2）存在，F(xiàn)點的坐標為（2，3）易得D（1，4），所以直線CD的分析式為：yx3E點的坐標為（3，0）以A、C、E、F為極點的四邊形為平行四邊形F點的坐標為（2，3）或（2，3）或（4，3）代入拋物線的表達式查驗，只有（2，3）符合存在點F，坐

15、標為（2，3）（3）如圖，當直線MN在x軸上方時，設圓的半徑為R（R0），則N（R+1，R），代入拋物線的表達式，解得R1172y1R當直線MN在x軸下方時，設圓的半徑為r（r0），則N（r+1，r），代入拋物線的表達式，解得r1172圓的半徑為117或11722（4）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，易得G（2，3），直線AG為yx1MNRAOBx1rrMND設P（x，x22x3），則Q（x，x1），PQx2x210-讓每一個人相同地提高自我SAPGSAPQSGPQ1(x2x2)312當x時，APG的面積最大2此時P點的坐標為1,15，SAPG的最大值為272487、（廣東梅州）以以下圖，

16、在梯形ABCD中，已知ABCD，ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB所在直線為x軸，過D且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標系1）求DAB的度數及A、D、C三點的坐標；2）求過A、D、C三點的拋物線的分析式及其對稱軸L（3）若P是拋物線的對稱軸L上的點，那么使PDB為等腰三角形的點P有幾個?（不用求點P的坐標，只要說明原因）解：（1）DCAB，AD=DC=CB，CDB=CBD=DBA，DAB=CBA，DAB=2DBA，DAB+DBA=90，DAB=60，DBA=30，AB=4，DC=AD=2，RtAOD，OA=1，OD=3，A（-1，0），D（0，3），C（2，3）（2）依據拋物線和

17、等腰梯形的對稱性知，知足條件的拋物線必過點A（1，0），B（3，0），故可設所求為y=a（x+1）（x-3）將點D（0，3）的坐標代入上式得，3a=3所求拋物線的分析式為y=3(x1)(x3).其對稱軸L為直線x=13（3）PDB為等腰三角形，有以下三種狀況：11-讓每一個人相同地提高自我因直線L與DB不平行，DB的垂直均分線與L僅有一個交點P1，P1D=P1B，P1DB為等腰三角形；因為以D為圓心，DB為半徑的圓與直線L有兩個交點P2323，、P，DB=DP，DB=DPPDB，PDB為等腰三角形；23與同理，L上也有兩個點P4、P5，使得BD=BP4，BD=BP5因為以上各點互不重合，所以在

18、直線L上，使PDB為等腰三角形的點P有5個8、（廣東肇慶）已知點A（a，y1）、B（2a，y2）、C（3a，y3）都在拋物線y5x212x上.1）求拋物線與x軸的交點坐標；2）當a=1時，求ABC的面積；3）能否存在含有y1、y2、y3，且與a沒關的等式？假如存在，試給出一個，并加以證明；假如不存在，說明原因.解：（1）由5x212x=0，（1分）得x10，x212拋物線與x軸的交點坐標為（12，0）（3分）50，0）、（5（2）當a=1時，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），分別過點A、B、C作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，則有SABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯

19、形BEFC(1781)2(1744)1(4481)1=2-22=5（個單位面積）（3）如：y33(y2y1)事實上，y35(3a)212(3a)=45a2+36a3（y2y1）=35（2a）2+122a-（5a2+12a）=45a2+36ay33(y2y1)9、（青海西寧）如圖，已知半徑為1的O1與x軸交于A，B兩點，OM為O1的切線，切點為M，圓心2BO1的坐標為，二次函數yxbxc的圖象經過，兩(20)A點y（1）求二次函數的分析式；M（2）求切線OM的函數分析式；12OAO1Bx-讓每一個人相同地提高自我（3）線段OM上能否存在一點P，使得以P，O，A為極點的三角形與OO1M相似若存在，

20、懇求出全部符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明原因解：（1）圓心O1的坐標為(2，0)，O1半徑為1，A(10)，B(3，0)1分二次函數yx2bxc的圖象經過點A，B，可得方程組1bc093bc0解得：b4二次函數分析式為yx24x3c3（2）過點M作MFx軸，垂足為FOM是O1的切線，M為切點，O1MOM（圓的切線垂直于經過切點的半徑）在RtOO1M中，sinO1OMO1M1OO12yO1OM為銳角，O1OM30P1MP23OHAFO1xOMOO1cos3023，B2在RtMOF中，OFOMcos3033322MFOMsin3031322點M坐標為3，322設切線OM的函數分析式為ykx

21、(k0)，由題意可知33k，k3切223線OM的函數分析式為y3x313-讓每一個人相同地提高自我（3）存在過點A作APx軸，與OM交于點P可得RtAPORtMOO（兩角對1111應相等兩三角形相像）P1AOAtanAOP1tan303，P1，3313過點A作AP2OM，垂足為P2，過P2點作P2HOA，垂足為H可得RtAP2ORtO1MO（兩角對應相等兩三角開相像）在RtOP2A中，OA1，OP2OAcos303，2在RtOP2H中，OHOP2cosAOP233322，4P2HOP2sinAOP2313，P23，322444符合條件的P點坐標有1，3，3，334410、（四川資陽）如圖，已知

22、點A的坐標是（1，0），點B的坐標是（9，0），以AB為直徑作O，交y軸的負半軸于點C，連結AC、BC，過A、B、C三點作拋物線1）求拋物線的分析式；2）點E是AC延伸線上一點，BCE的均分線CD交O于點D，連結BD，求直線BD的分析式；3）在（2）的條件下，拋物線上能否存在點P，使得PDBCBD?假如存在，懇求出點P的坐標；假如不存在，請說明原因解：(1)以AB為直徑作O，交y軸的負半軸于點C，OCA+OCB=90，又OCB+OBC=90，OCA=OBC，14-讓每一個人相同地提高自我又AOC=COB=90，AOCCOB，OAOCOCOB又A(1，0)，B(9，0)，1OC，解得OC=3(負

23、值舍去)OC9C(0，3)，設拋物線分析式為y=a(x+1)(x9)，3=a(0+1)(09)，解得a=1，3二次函數的分析式為y=118(x+1)(x9)，即y=x2x3333AB為O的直徑，且A(1，0)，B(9，0)，OO=4，O(4，0)，點E是AC延伸線上一點，BCE的均分線CD交O于點D，BCD=1BCE=190=45，22連結OD交BC于點M，則BOD=2BCD=245=90，OO=4，OD=1AB=52D(4，5)設直線BD的分析式為y=kx+b（k0）9kb0,k1,解得4kb5.b9.直線BD的分析式為y=x9.假定在拋物線上存在點P，使得PDB=CBD，設射線DP交O于點

24、Q，則BQCD分兩種狀況(如答案圖1所示)：O(4，0)，D(4，5)，B(9，0)，C(0，3)把點C、D繞點O逆時針旋轉90，使點D與點B重合，則點所以，點Q1(7，4)符合BQCD，D(4，5)，Q1(7，4)，用待定系數法可求出直線DQ1分析式為y=119解方程組3x3x1941，x2941，22C與點Q1重合，y1x19，33得18yx2x3.33y12941；y22941.66點P坐標為(941，2941941，29412266舍去Q1(7，4)，15-讓每一個人相同地提高自我點Q1對于x軸對稱的點的坐標為Q2(7，4)也符合BQCDD(4，5)，Q2(7，4)用待定系數法可求出直

25、線DQ2分析式為y=3x17y3x17，x1，x2，解方程組18得3142y1；y225.yxx3.833點P2坐標為(14，25)，坐標為(3，8)不符合題意，舍去符合條件的點P有兩個：P1941，294122611、（遼寧沈陽）以以下圖，在平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊BO在x軸的負半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，且AB1，OB3，矩形ABOC繞點O按順時針方向旋轉60后獲得矩形EFOD點A的對應點為點E，點B的對應點為點F，點C的對應點為點Dyax2bxc過點A，E，D1）判斷點E能否在y軸上，并說明原因；2）求拋物線的函數表達式；3）在x軸的上方能否存在點P，點Q，拋物線yEFAC

26、DxBO，使以點O，B，P，Q為極點的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍，且點P在拋物線上，若存在，懇求出點P，點Q的坐標；若不存在，請說明原因（1）點E在y軸上原因以下：連結AO，以以下圖，在RtABO中，AB1，BO3，AO21sinAOB，AOB302由題意可知：AOE60BOEAOBAOE306090點B在x軸上，點E在y軸上16-讓每一個人相同地提高自我（2）過點D作DMx軸于點MOD1，DOM3013在RtDOM中，DM，OM22點D在第一象限，點D的坐標為312，2由（1）知EOAO2，點E在y軸的正半軸上點E的坐標為(0，2)點A的坐標為(31)，拋物線yax2bxc經過

27、點E，c2由題意，將A(31)，31代入yax2bx2中得，D，223a3b21a893a3b1解得253b4229所求拋物線表達式為：y8x253x2（3）存在符合條件的點P，點Q10分99原因以下：矩形ABOC的面積ABBO3以O，B，P，Q為極點的平行四邊形面積為23由題意可知OB為此平行四邊形一邊，又OB3OB邊上的高為2依題意設點P的坐標為(m，2)17-讓每一個人相同地提高自我點P在拋物線y8x253x2上998m253m2299解得，m10，m2538P1(0，2)53，P282以O，B，P，Q為極點的四邊形是平行四邊形，PQOB，PQOB3，y當點P1的坐標為(0，2)時，EAF點Q的坐標分別為Q1(3，2)，Q2(3，2)；CDBOMx53當點P2的坐標為，時，82點Q的坐標分別為Q3133，33，82Q42812、（蘇州市）如圖，拋物線ya(x1)(x5)與x軸的交點為M、N直線ykxb與x軸交于P(2，0)，與y軸交于C若A、B兩點在直線ykxb上，且AOBOD為線段MN的中點，OH為RtOPC斜邊上的高