1、線性系統(tǒng)的能控性判據(jù)分析摘要：能控性是線性系統(tǒng)的一個(gè)基本結(jié)構(gòu)特征，它的出現(xiàn)對(duì)于系統(tǒng)控制和系統(tǒng)估計(jì)問(wèn)題的研 究具有重要意義。本文主要討論線性系統(tǒng)的能控性判據(jù)。其中，能控性的判據(jù)分析有很多種 方法，最常用的及時(shí)約旦標(biāo)準(zhǔn)型方法。一：?jiǎn)栴}的提出設(shè)計(jì)一個(gè)線性系統(tǒng)，我們總是希望所施加的控制u(t)能完全控制系統(tǒng)的運(yùn) 動(dòng)狀態(tài)，而不希望出現(xiàn)失控現(xiàn)象。因此，判斷一個(gè)系統(tǒng)能控性問(wèn)題就顯得尤為重 要。能控性是從狀態(tài)的控制能力方面來(lái)揭示了控制系統(tǒng)的一個(gè)基本屬性。現(xiàn)代控 制理論的許多基本問(wèn)題，如最優(yōu)控制和最優(yōu)估計(jì)，都是以能控性為存在條件的。能控性定義能控性的直觀討論從狀態(tài)空間的角度進(jìn)行討論：輸入和輸出構(gòu)成系統(tǒng)外部變量，

2、狀態(tài)為系統(tǒng)內(nèi)部 變量。能控性主要看其狀態(tài)是否可由輸入影響。每一個(gè)狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)都可由輸 入來(lái)影響和控制，由任意的始點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)，為能控，反之為不完全能控。具體來(lái)說(shuō) 就是指外加控制作用u(t)對(duì)受控系統(tǒng)的狀態(tài)變量x(t)和輸出變量y(t)的支配 能力，它回答了 u(t)能否使x(t)和y(t)作任意轉(zhuǎn)移的問(wèn)題。二：?jiǎn)栴}的解決我們利用線性系統(tǒng)的能控性判據(jù)來(lái)判斷其能控性。設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為：X = Ax + Bu,x(0) 二 %,t 0(1)x為展隹狀態(tài)向量,u為 維輸入向量,A, B為n x n, n x p常陣.能控性判據(jù)：格拉姆矩陣判據(jù)線性定常系統(tǒng)(1)為完全能控的充分必要條件是，存在時(shí)

3、刻 0，使如下定義的格拉姆(Gram)矩陣W0, t = j W - AtBBre - ATdt為非奇異其中，該判據(jù)的證明用到了范數(shù)理論中的矩陣范數(shù)，在此不再贅述。秩判據(jù)線性定常系統(tǒng)(1)為完全控的充分必要條件是rank B: AB : An-1B = n其中n為矩陣A的維數(shù),Q = B:AB:An-1B稱為系統(tǒng)的能控性判別陣.C3.PBH秩判據(jù)線性定常系統(tǒng)（1）為完全能控的充分必要條件是，對(duì)矩陣A的所有特征值X (i = 1,2,n)均成立rankX I A,B = n i = 1,2,nii或等價(jià)地表為rank sI A, B = nVs e N也即(sI A)和B是左互質(zhì)的.4- PBH

4、特征向量判據(jù)線性定常系統(tǒng)（1）為完全能控的充分必要條件是A不能有與B的所有列 相正交的非零左特征向量。也即對(duì)A的任一特征值，使同時(shí)滿足atB = 0的特征向量a三0.5.約當(dāng)規(guī)范形判據(jù)線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：有系統(tǒng)的對(duì)角規(guī)范形（1）當(dāng)矩陣A的特征值入1,入2,An為兩兩相異時(shí)有系統(tǒng)的對(duì)角規(guī)范形x + Bu其中b不包含元素全為零的行。當(dāng)矩陣A的特征值為入1（。1重）, 其中b不包含元素全為零的行。當(dāng)矩陣A的特征值為入1（。1重）, 有約當(dāng)規(guī)范形入 2（。2 重），.入 n（ o n 重）,且（。1 +。2+. + 。l) = n 時(shí)，1J2b =3 11B 2Jl(nx p)b1-

5、 lG x0其中： 八A = nxnJi1Jia*bi9 x p)bJ1bi 2J ikr xrbik(k = bik(k = 1,2，,a,)的最后一行所組成的矩陣b1bi 2對(duì)i=1,2,.,l均為線性無(wú)關(guān)bia -Ii-11-1-11-1-100-1111000000-1-1(21 - A)=00001100001-1_ 0000-11 _試判斷其能控性。解：(1)計(jì)算特征值。Det(sI-A)=(s-2)5s可以求得其特征值X1 =2, X2 =0(2)計(jì)算重特征值X1 =2，的幾何重?cái)?shù).由Rank(2I-A)=43-11100 一10_11-1-100-1100201121Ux =x

6、 +0002-1-10-100001102_000011 _10 _(3)對(duì)重特征值X1 =2計(jì)算Rank(2I-A)m =6-vm中的vm，其中取m=0,1.對(duì) 此，由(2I-A)0=I，Rank(2I-A) 0=6,可知 V0=0，由此可以求得 V=2，v?=4, v3=5(4)確定矩陣A的屬于特征值X1 =2的廣義特征向量組，首先列出下表：v3-v2=1v2-v1=2v1-v0=1VOL V11V%= V(1) 12=- (2I-A) V12V(2)“= - (2I-A) V”Vd), =(2I-A)2 V12由滿足(2I-A)3V11=0, (2I-A)2V110 定出一個(gè)獨(dú)立型列向量

7、 V11=0 0 1 0 0 0t .由 此，可導(dǎo)出各個(gè)導(dǎo)出型列向量為：V(1) 11=(2I-A)2 V11=2 2 0 0 0 0t，V(2) 11= - (2I-A) V11=1 -1 0 0 0 0tV( 3)11= V11=0 0 1 0 0 0t,再之，由滿足V12, V12(2)線性無(wú)關(guān)，(2I-A) 2V12=0，(2I-A) V疽0可以定出一個(gè)獨(dú)立型列向量V12=0 0 1 -1 1 1 t.。由此，可導(dǎo)出各個(gè)導(dǎo)出型列向量為 V(1) 12=(2I-A) V12=0 0 2 -2 0 0t , V(2)12= V12=0 0 1 -1 1 1t確定矩陣A的屬于特征值灼=0的特

8、征向量。由(灼I-A)V2=AV2=0 求得其一個(gè)特征向量為V2= V12=0 0 0 0 1 -1t組成變換陣Q并計(jì)算Q-1 .對(duì)此有210000 一1/41/40000 一2-100001/2-1/20000001210逆矩陣p=001100000-2-10000-1/2-1/4-1/400001100001/21/2_ 00001-1_ 00001/2-1/2_Q =(7)導(dǎo)出其狀態(tài)方程的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)此有，210000 -01/4 -0210001-1/2002000X + =20000210-1/400000201/21_00000。_-1/21 _X = PAQX + PBU = Q =U組成如下矩陣對(duì)應(yīng)于扃=2和X2=0的各約當(dāng)小塊的末行，找出B矩陣的相應(yīng)行，組成如下矩陣1/2線