1、晉江二中高二年段研究性課題斐波那契數(shù)列數(shù)學組 林建彬斐波那契數(shù)列定義： 斐波那契數(shù)列指的是這樣一個 HYPERLINK /view/39749.htm t _blank 數(shù)列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368這個數(shù)列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。2. 斐波那契數(shù)列由來：斐波那契 HYPERLINK /view/39749.htm t _blank 數(shù)列，也叫兔子數(shù)列，黃金分割數(shù)列，它的發(fā)明者，是 HYPERLINK

2、/view/3784.htm t _blank 意大利數(shù)學家 HYPERLINK /view/1108082.htm t _blank 列昂納多斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍貫是 HYPERLINK /view/69954.htm t _blank 比薩。他被人稱作“ HYPERLINK /subview/69954/11000813.htm t _blank 比薩的 HYPERLINK /view/1837053.htm t _blank 列昂納多”。1202年，他 HYPERLINK /view/89726.htm t _blank

3、 撰寫了算盤全書（Liber Abacci）一書。他是第一個研究了 HYPERLINK /view/2174.htm t _blank 印度和 HYPERLINK /view/96268.htm t _blank 阿拉伯數(shù)學理論的 HYPERLINK /view/3622.htm t _blank 歐洲人。他的 HYPERLINK /view/17348.htm t _blank 父親被 HYPERLINK /view/69954.htm t _blank 比薩的一家商業(yè)團體聘任為外交領事，派駐地點相當于今日的 HYPERLINK /view/10991.htm t _blank 阿爾及利亞地

4、區(qū)，列昂納多因此得以在一個 HYPERLINK /view/96268.htm t _blank 阿拉伯老師的指導下研究數(shù)學。他還曾在 HYPERLINK /view/4387.htm t _blank 埃及、 HYPERLINK /view/7851.htm t _blank 敘利亞、 HYPERLINK /view/6744.htm t _blank 希臘、 HYPERLINK /view/58383.htm t _blank 西西里和 HYPERLINK /view/16831.htm t _blank 普羅旺斯等地研究 HYPERLINK /view/1284.htm t _blank

5、 數(shù)學。斐波那契數(shù)列又因數(shù)學家 HYPERLINK /view/1108082.htm t _blank 列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“ HYPERLINK /view/377065.htm t _blank 兔子數(shù)列”。一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對兩個月后，生下一對小兔對數(shù)共有兩對三個月以后，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對依次類推可以列出下表：經(jīng)過月數(shù)01234567

6、89101112幼仔對數(shù)101123581321345589成兔對數(shù)01123581321345589144總體對數(shù)1123581321345589144233幼仔對數(shù)=前月成兔對數(shù)成兔對數(shù)=前月成兔對數(shù)+前月幼仔對數(shù)總體對數(shù)=本月成兔對數(shù)+本月幼仔對數(shù)可以看出幼仔對數(shù)、成兔對數(shù)、總體對數(shù)都構成了一個數(shù)列。這個數(shù)列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了后一項。3.身邊的斐波那契數(shù)列（1）數(shù)學中的斐波那契數(shù)列【楊輝三角】將 HYPERLINK /view/7804.htm t _blank 楊輝三角左對齊，成如圖所示排列，將同一斜行的數(shù)加起來，即得一數(shù)列1、1、2、3、5、8、【臺階

7、】有一段樓梯有10級臺階，規(guī)定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級臺階有幾種不同的走法?這就是一個斐波那契數(shù)列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法1，2，3，5，8，13所以，登上十級，有89種走法?！緬佊矌拧恳幻毒鶆虻挠矌艛S10次，問不連續(xù)出現(xiàn)正面的可能情形有多少種？【質(zhì)數(shù)數(shù)量】斐波那契數(shù)列的整除性與素數(shù)生成性每3個連續(xù)的數(shù)中有且只有一個被2整除，每4個連續(xù)的數(shù)中有且只有一個被3整除，每5個連續(xù)的數(shù)中有且只有一個被5整除，每6個連續(xù)的數(shù)中有且只有一個被8整除，每7個連續(xù)的數(shù)中有且只有一個被13整除，每8個連續(xù)的數(shù)中有且只有

8、一個被21整除，每9個連續(xù)的數(shù)中有且只有一個被34整除，（2）自然界中斐波那契數(shù)列【樹枝的生長】斐波那契數(shù)列在自然科學的其他分支，有許多應用。例如，樹木的生長，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發(fā)，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數(shù)，便構成斐波那契數(shù)列。這個規(guī)律，就是生物學上著名的“魯?shù)戮S格定律”。 【花瓣數(shù)目】其中百合花花瓣數(shù)目為3，梅花5瓣，飛燕草8瓣，萬壽菊13瓣，向日葵21或34瓣，雛菊有34,55和8

9、9三個數(shù)目的花瓣。這些植物懂得斐波那契數(shù)列嗎？應該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對于許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用 HYPERLINK /view/31260.htm t _blank 空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現(xiàn)的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應該是222.5度，這個角度稱為“黃金角度”，因為它和整個圓周360度之比是 HYPERLIN

10、K /view/3468081.htm t _blank 黃金分割數(shù)0.618033989的 HYPERLINK /view/294349.htm t _blank 倒數(shù)，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產(chǎn)生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達到89，甚至144條。1992年，兩位法國科學家通過對花瓣形成過程的計算機仿真實驗，證實了在系統(tǒng)保持最低能量的狀態(tài)下，花朵會以斐波那契數(shù)列長出花瓣。4.斐波那契數(shù)列的奧秘【連續(xù)數(shù)之和】連續(xù) 10 個斐波那契數(shù)之和，必定等于第 7 個數(shù)的 11 倍！求證：證明: 【黃金分割】從第2項起，每一項與前一項的比值會越來越趨近于黃金分割比例0.61811=1，12=0.5，23=0.666.，35=0.6，58=0.625，5589=0.617977，144233=0.6180254636875025=0.6180339886.求證： 證明： 解得A= 【平方與前后項】從第二項開始，每個 HYPERLINK /view/20853.htm t _blank 奇數(shù)項的 HYPERLINK /view/33276.htm t _blank 平方都比前后兩項之積少1，每個 HYP