1、專題八立體幾何8.1空間幾何體的表面積和體積數(shù)學(xué) 北京專用考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形結(jié)構(gòu)特征(1)有兩個(gè)面互相平行,其余各個(gè)面都是四邊形;(2)每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行有一個(gè)面(即底面)是多邊形,其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面和截面之間的部分側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線平行、相等且垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn) 軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形大圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán) (1

2、)在已知圖形中,取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點(diǎn)O,畫直觀圖時(shí),把它們畫成對應(yīng)的x軸和y軸,兩軸相交于O,且使xOy=45(或135),用它們確定的平面表示水平面;(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中,分別畫成平行于x軸或y軸的線段;(3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持長度不變,平行于y軸的線段,在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?【知識拓展】1.特殊的四棱柱四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體3.水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法(1)球心和不過球心的截面圓的圓心的連線垂直于截面;(2)球心到不過球心的截面的距離d與球的半徑R以及截面圓的半徑r的關(guān)系為

3、r=.3.記住正方形的外接球,內(nèi)切球及與各條棱相切球的半徑(1)外接球:球心是正方體中心;半徑r=a(a為正方體的棱長).(2)內(nèi)切球:球心是正方體中心;半徑r=(a為正方體的棱長).(3)與各條棱都相切的球:球心是正方體中心;半徑r=a(a為正方體的棱長).4.記住正四面體的外接球,內(nèi)切球的球心和半徑(1)外接球:球心是正四面體的中心;半徑r=a(a為正四面體的棱長).2.球的截面性質(zhì)(2)內(nèi)切球:球心是正四面體的中心;半徑r=a(a為正四面體的棱長).考向球的切接問題考向突破例1(2016課標(biāo),10,5分)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若ABBC,AB=6,BC

4、=8,AA1=3,則V的最大值是()A.4B.C.6D. 解析易知AC=10.設(shè)底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則68=(6+8+10)r,所以r=2,因?yàn)?r=43,所以最大球的直徑2R=3,即R=.此時(shí)球的體積V=R3=.故選B.答案B評析本題考查了球的體積公式和空間想象能力.弄懂“當(dāng)球面與柱體的側(cè)面或底面相切時(shí)體積最大”是求解的關(guān)鍵.考點(diǎn)二空間幾何體的表面積和體積考向基礎(chǔ)1.多面體的表面積多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和,也就是展開圖的面積.2.旋轉(zhuǎn)體的表面積3.柱體、錐體、臺(tái)體、球體的體積公式名稱體積公式柱體V=Sh錐體V=Sh臺(tái)體V=(S+S+)h球體V=R34.柱體、錐體、臺(tái)體的體

5、積公式之間的關(guān)系 考向突破考向與表面積和體積有關(guān)的問題例2(2018課標(biāo),5,5分)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為()A.12B.12C.8D.10解析設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,由題意可知2r=h=2,圓柱的表面積S=2r2+2rh=4+8=12.故選B.答案B例3(2015安徽,19改編)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.求三棱錐P-ABC的體積. 解析由AB=1,AC=2,BAC=60,可得SABC=ABACsin 60=.由PA平面ABC,可

6、知PA是三棱錐P-ABC的高,又PA=1,所以三棱錐P-ABC的體積V=SABCPA=.方法1空間幾何體表面積與體積的求解方法1.表面積的求解方法(1)求多面體的表面積時(shí),把各個(gè)面的面積相加即可.(2)求旋轉(zhuǎn)體(球除外)的表面積時(shí),將旋轉(zhuǎn)體(球除外)展成平面圖形求其面積,注意弄清楚它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長(弧長)關(guān)系.(3)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí),通常將所給幾何體分割或補(bǔ)形成基本的柱、錐、臺(tái)體等.先求出這些基本的柱、錐、臺(tái)體等的表面積,再通過求和或作差獲得所求幾何體的表面積.方法技巧(1)公式法:當(dāng)所給幾何體是常見的柱、錐、臺(tái)等規(guī)則的幾何體時(shí),可以直接代入各自幾何體的體

7、積公式進(jìn)行計(jì)算.(2)割補(bǔ)法:求不規(guī)則幾何體的體積時(shí),可以將所給幾何體分割成若干個(gè)常見的幾何體,分別求出這些幾何體的體積,從而得出所求幾何體的體積.(3)等體積轉(zhuǎn)化法:利用三棱錐的特性,即任意一個(gè)面都可以作為底面,從而進(jìn)行換底換高計(jì)算.此種方法充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想,在運(yùn)用過程中要充分注意距離之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化.2.體積的求解方法例1九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈;上袤二丈,無廣;高一丈,問:積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊柱的楔體,下底面寬 3 丈,長 4 丈;上棱長 2 丈,高一丈,問它的體積是多少?”已知 1 丈為 10

8、尺,則該楔體的體積為 ( )A.5 000立方尺B.5 500立方尺C.6 000立方尺D.6 500立方尺解題導(dǎo)引 解析該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF.取AB的中點(diǎn)G,CD的中點(diǎn)H,連接FG,GH,HF,則該幾何體的體積為四棱錐F-GBCH與三棱柱ADE-GHF的體積之和.又可以將三棱柱ADE-GHF割補(bǔ)成高為EF,底面積為S=31=(平方丈)的一個(gè)直棱柱,故該楔體的體積V=2+231=5(立方丈)=5 000(立方尺). 答案A方法2與球有關(guān)的切、接問題的求解方法與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖.如球內(nèi)切于正方體,切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心,正方體的棱長等于球的直徑;球外接于正方體,正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在球面上,正方體的體對角線長等于球的直徑;球與旋轉(zhuǎn)體的組合,通常作它們的軸截面解題;球與多面體的組合,通常過多面體的一條側(cè)棱和球心、“切點(diǎn)”或