1、 .5空間直線、平面的平行【學(xué)習(xí)目標】1.掌握直線與平面平行的判定定理；2.掌握兩平面平行的判定定理；3能熟練應(yīng)用直線與平面、平面與平面平行的判定定理解決相關(guān)問題【要點梳理】要點一、直線與直線平行基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：a/b,b/cnac.基本事實4說明平行具有傳遞性，在平面、空間都適用.等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.要點二、直線和平面平行的判定判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡記為：線線平行，則線面平行.符號語言：aaa、bua,a/bnaa.要點詮釋：(1)用該定

2、理判斷直線a與平面a平行時，必須具備三個條件：直線a在平面a外，即aaa；直線b在平面a內(nèi)，即bua；直線a,b平行，即ab.這三個條件缺一不可，缺少其中任何一個，結(jié)論就不一定成立(2)定理的作用將直線和平面平行的判定轉(zhuǎn)化為直線與直線平行的判定,也就是說,要證明一條直線和一個平面平行,只要在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行即可要點三、直線和平面平行的性質(zhì)定理定理：一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡記為：線面平行則線線平行.直線和平面平行的性質(zhì)定理可簡述為“若線面平行，則線線平行”.可以用符號表示：若aa,aup,二-F二二，則ab.這個性質(zhì)定理可以看作直

3、線與直線平行的判定定理，用該定理判斷直線a與b平行時，必須具備三個條件：（1）直線a和平面（1）直線a和平面a平行，即aa；平面a和P相交，即aP=b；直線a在平面p內(nèi)，即a三個條件缺一不可，在應(yīng)用這內(nèi)一切直線”的錯誤.、定理時，要防止出現(xiàn)“一條直線平行于一個平面，就平行于這個平面三個條件缺一不可，在應(yīng)用這內(nèi)一切直線”的錯誤.、定理時，要防止出現(xiàn)“一條直線平行于一個平面，就平行于這個平面要點四、兩平面平行的判定符號語言：若aua要點四、兩平面平行的判定符號語言：若aua、Z?ua,anb=A,a/P、b/P，則a/P.要點詮釋：（1）定理中平行于同一個平面的兩條直線必須是相交的（2）定理充分體

4、現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，可概述為：線面平行=面面平行要點五、平面和平面平行的性質(zhì)定理定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行.符號語言：若。3,ay=a,Py=Z?,貝ij”圖形語言:（1（1）面面平行的性質(zhì)定理也是線線平行的判定定理.（2（2）已知兩個平面平行直線并不一定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線（否則將導(dǎo)致這兩個平面有公共點）要點六、平行關(guān)系的綜合轉(zhuǎn)化空間中的平行關(guān)系有線線平行、線面平行、面面平行這三種關(guān)系不是孤立的，而是互相聯(lián)系的它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：騾而平行的刊定定霆提線平行一世面平行聯(lián)闔平行的性質(zhì)

5、定理痊事證明平行關(guān)系的綜合問題需靈活運用三種平行關(guān)系的定義、判定定理、性質(zhì)定理有關(guān)線面、面面平行的判定與性質(zhì)，可按下面的口訣去記憶：空間之中兩直線，平行相交和異面線線平行同方向，等角定理進空間判斷線和面平行，面中找條平行線；已知線和面平行，過線作面找交線要證面和面平行，面中找出兩交線線面平行若成立，面面平行不用看已知面與面平行，線面平行是必然若與三面都相交，則得兩條平行線【典型例題】類型一、直線與直線平行例1如右圖所示，在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中，E,F,G,H分別為AB,BC,CD，DA的中點.(1)求證：四邊形EFGH(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；3果

6、AC=BD,求形EFCIH是*W.例2.如右圖所示，AABC和ABC的對應(yīng)頂點的連線AA，BBZAOBOCO2一點D，且蘇=蘇=中=(1)求證：AB4B,AC4。OAOBOC3S(2)求AABC的值.SAABC，co交于同C,BC/BC；4段段【總結(jié)升華】“等角定理”是平面幾何中等角定理的類比推廣,但平面幾何中的“如果一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊,則這兩個角相等或互補”推廣到空間中就不成立因此,我們必須慎重地類比推廣平面幾何中的相關(guān)結(jié)論在運用“等角定理”判定兩個角是相等還是互補的途徑有二：一是判定兩個角的方向是否相同,若相同則必相等,若相反則必互補；二是判定這兩個角是否均為銳角或均為鈍

7、角,若均是則相等,若不均是則互補.舉一反三：【變式1】已知E、E1分別是正方體ABCD-AF1c1D1的棱AD、A1D1的中點.求證：NBEC=NB1E1cl.類型二、直線與平面平行的判定例3.已知AB,BC,CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，E,F,G分別是AB,BC,CD的中點，求證:AC平面EFG,BD平面EFG.【總結(jié)升華】由線面平行的判定定理判定直線與平面平行的順序是：（1）在平面內(nèi)尋找直線的平行線；（2）證明這兩條直線平行；（3）由判定定理得出結(jié)論.例4.已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不在同一個平面內(nèi)，P、Q分別為對角線AE、【總結(jié)升華】證線面平行,需證線線平行舉

8、一反三：尋找平行線是解決此類問題的關(guān)鍵.BD上的點，且AP=DQ,如右圖.求證：PQ平面CBE.F【總結(jié)升華】證線面平行,需證線線平行舉一反三：尋找平行線是解決此類問題的關(guān)鍵.【變式1】在正方體ABCDABCD中，O是正方形ABCD的中心，求證：AO/面BCD.【變式2】已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，E、F分別為AB、PD的中點，求證：AF平面PEC.【總結(jié)升華】要證明直線和平面平行,只須在平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了.注意適當(dāng)添加輔助線,重視中位線在解題中的應(yīng)用.【變式3】如右圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA，平面ABCD,AP=AB,BP=BC

9、=2,E,F分別是PB,PC的中點.（1）證明：EF平面PAD；類型三：直線與平面平行的性質(zhì)定理（2）求三棱錐EABC的體積V.類型三：直線與平面平行的性質(zhì)定理【總結(jié)升華】利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟：（1）確定（或?qū)ふ遥┮粭l直線平行于一個平面；（2）確定（或?qū)ふ遥┻^這條直線且與這個平面相交的平面；（3）確定交線；（4）由定理得出結(jié)論.例6.如圖所示，已知異面直線AB、CD都平行于平面a，且AB、CD在a的兩側(cè)，若AC、BD與a分別交于【總結(jié)升華】利用線面平行的性質(zhì)定理，可以把有的立體問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的平行問題，利用平行線截割定理，可以解決有關(guān)線段成比例或三角形的面積比等問題在應(yīng)用線面平行

10、的性質(zhì)定理時，應(yīng)著力尋找過已知直線的平面與已知平面的交線，有時為了得到交線還需作出輔助平面，本例通過連接AD作出平面ACD與平面ABD，得到交線MQ和NQ.舉一反三：【變式1】已知直線a平面a，直線a平面P，平面平面P=b，求證ab.類型四、平面與平面平行的判定例7.如右圖，已知正方體ABCDABCiD,求證：平面ABR平面BDC1.【總結(jié)升華】利用面面平行的判定定理判定兩個平面平行的程序是：（1）在第一個平面內(nèi)找出（或作出）兩條平行于第二個平面的直線；（2）說明這兩條直線是相交直線；（3）由判定定理得出結(jié)論例8.如右圖，正方體ABCDABCD中，M、N、E、F分別是棱AR、CD的中點.求證：

11、平面AMN平面EFDB.【總結(jié)升華】應(yīng)用判定定理時，一定要注意“兩條相交直線”這一關(guān)鍵性條件，問題最終轉(zhuǎn)化為證明直線和直線的平行舉一反三：【變式1】點P是ABC所在平面外一點，G,G,G分別是PBC,APC,ABP的重心，求證：面123GGG/面ABC.123【變式2】如右圖所示，在三棱柱ABCABC中，點D,E分別是BC與鳥孰的中點.求證：平面AEB平面ADC1.AB的中點，在該正方體中作【變式3】已知在正方體ABCD-ABCD中,M,N分別是AD,出過頂點且與平面AB的中點，在該正方體中作類型五：平面與平面平行的性質(zhì)定理AB_DE13CEF例9.已知：平面a平面P平面Y,兩條直線/,m分別

12、與平面a,P,YAB_DE13CEF于點A,B,C和點D,E,F（如圖）.求證:【總結(jié)升華】利用面面平行的性質(zhì)定理判定兩線平行的程序是：（1）先找兩個平面，使這兩個平面分別經(jīng)過這兩線中的一條；（2）判定這兩個平面平行；（3）再找一個平面，使這兩條直線都在這個平面內(nèi)；（4）由定理得出結(jié)論舉一反三：【變式1】已知面a平面P，點A,CGa，點B,DEp，直線AB,CD交于點S,且SA=8,SB=9,CD=34.（1）若點S在平面a,P之間，貝Usc=；（2）若點S不在平面a,P之間，則|SC=例10.如圖所示，平面a平面P例10.如圖所示，平面a平面P,A,CGa,DGP,點E,F分別在線段AB,C

13、D上，且AEEBCFFD求證：EFP.【總結(jié)升華】（1）面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用問題，往往涉及面面平行的判定、線面平行的判定與性質(zhì)的綜合運用解題時，要準確地找到解題的切入點，靈活地運用相關(guān)定理來解決問題如在本例的第二種情況：面面平行一線線平行一平行四邊形一線面平行一面面平行一線面平行.（2）由面面平行的定義可知，一個面內(nèi)任意一條直線與另一個平行平面都沒有交點，因而有面面平行的一個重要性質(zhì)：兩個平行平面中的一個平面內(nèi)任意一條直線必平行另一個平面，如本例（2）中由平面EFGP得出EFP,便是這一性質(zhì)的靈活運用.舉一反三：【變式1】四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，點E在PD上，且PE：ED=

14、2：1,問在棱PC上能否找到一點F,使BF平面AEC?試說明你的看法.類型六：線面平行的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例11.如圖所示，已知平面a平面P,AB與CD是兩條異面直線，且ABua,CDu0.如果E,F,G分別是AC,CB,BD的中點，求證：平面EFGaP.【總結(jié)升華】（1）要善于對線線、線面平行的概念、判定和性質(zhì)進行類比、探索、總結(jié),特別要注意相互轉(zhuǎn)化,使之統(tǒng)一（2）要能夠靈活地作出輔助線和輔助平面來解題,在作輔助線和輔助平面時,必須有理論依據(jù),也就是要以某一定理為依據(jù),切忌主觀臆斷,隨意地作輔助線、輔助平面舉一反三：【變式1】如圖所示，已知點P是,ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、

15、PC的中點，平面PBCH平面APD.（1）求證：/BC；（2）MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論.判定【鞏固練習(xí)】1.下列說法中正確的是（）A.如果一個平面內(nèi)有一條直線和另一個平面平行，那么這兩個平面平行B.如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線和另一個平面平行，那么這兩個平面平行C.如果一個平面內(nèi)的任何一條直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面平行D.如果兩個平面平行于同一直線，則這兩個平面平行.已知m,n是兩條不重合的直線，a、P是兩個不重合的平面，給出下列三個命題:m/pm與n異面m/ninm/n:1nn與p相交；nm/a。nuPm/pn/a其中正確命題的個數(shù)是（）A0B1C2D3.在下列條件

16、中，可判斷平面a與P平行的是（）A.a、P都平行于直線lB.a內(nèi)存在不共線的三點到P的距離相等C.l、m是a內(nèi)兩條直線，且lP,mPD.l、m是兩條異面直線，且la,ma,lP,mP5.下列四個正方體圖形中，A,B為正方體的兩個頂點，M、N、P5.A.B.C.D.A.B.C.D.（）.已知平面a,P和直線a,b,c，給出下列條件:a/c,b/c；a/a,b/P,a/P；aua,buP,a/P。其中可以使結(jié)論a/b成立的條件有（）A.B.C.D.過已知直線外一點與已知直線平行的直線有條；過平面外一點與已知平面平行的直線有條，與已知平面平行的平面有個。.當(dāng)a/P,y/P，則a與y的關(guān)系是。.若平面

17、a內(nèi)有一條直線平行于另一個平面P，則a/P:若平面a內(nèi)有兩條直線平行于另一個平面P，則a/P:若平面a內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面P，則aP;若平面a內(nèi)任意一條直線平行于另一個平面P，則aP;若平面a內(nèi)兩條相交直線平行于另一個平面P，則aP。TOC o 1-5 h z以上命題正確的是.AB、BC、CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，經(jīng)過它們中點的平面和AC的位置關(guān)系是，和BD的位置關(guān)系是。三、解答題.如右圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，Q是PA的中點.求證：PC平面BDQ.如右圖，P為梯形ABCD所在平面外一點，CD2AB,E為PC的中點。求證：BE平面PAD。.在正方體ABCDABC

18、D中，P為AC上任意一點。TOC o 1-5 h z111111(1)求證：DP/平面ABC；(2)求證：平面ABD平面CBD.1111.兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,MeAC,NwFB,且AM=FN,過M作MHLAB于H.求證：MN平面BCE.性質(zhì)【鞏固練習(xí)】.如果直線a平面a，則()A.平面a內(nèi)有且只有一條直線與a平行B.平面a內(nèi)有無數(shù)條直線與a平行C.平面a內(nèi)不存在與a平行的直線D.平面a內(nèi)的任意直線與a都平行TOC o 1-5 h z.由下列條件不一定得到平面a平面P的是（）A.a內(nèi)有兩條相交直線分別平行于PB.a內(nèi)任何一條直線都平行于PC.a內(nèi)有無數(shù)條直線平行

19、于PD.a內(nèi)的兩條相交直線分別平行于P內(nèi)的兩條相交直線.若AB、BC、CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，則過它們中點的平面和直線AC的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.AC在此平面內(nèi)D.平行或相交.以下命題（其中a,b表示直線，a表示平面）若a/b,bua，則a/a；若a/a,b/a，則a/b；若a/b,b/a，則a/a；若a/a,bua,則a/b。其中正確命題的個數(shù)是（）A.0個B.1個C.2個D.3個.如果點M是兩條異面直線外的一點，則過點M且與a、b都平行的平面（）A.只有一個B.恰有兩個C.或沒有，或只有一個D.有無數(shù)個.已知m、n表示兩條直線，a、p、Y表示平面，對此有下列命題：若aP=m，且mn,則丫P；若m、n相交且都在a、P外，m/a,m/P,n/a,n/P,則a/P；若a其中真命題有（A）A.0個B.1個C.7.以下命題中正確的是（2個）D.3個P=l,m/a,m/P則a/P；若a其中真命題有（A）A.0個B.1個C.7.以下命題中正確的是（2個）D.3個A.在一個平面內(nèi)有兩個點，到另一個平面的距離都是d（d0），則這兩個平