1、第 三 章 信號與系統(tǒng)的頻域分析信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學1Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 本章提要：LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)與特征值周期信號的傅里葉級數(shù)表示及性質(zhì)非周期信號的傅里葉變換及性質(zhì)LTI系統(tǒng)的頻域分析采樣和采樣定理信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學2Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.5 連續(xù)時間傅里葉變換對于周期信號，可以利用成諧波關(guān)系的復指數(shù)信號作為基本構(gòu)造單元，以線性疊加的方式得到其傅里葉級數(shù)的表示：對于非周期信號

2、（包括全部能量有限的信號）， 可以看成周期無限大的周期信號，因此各個基本構(gòu)造單元可以看成是頻率上無限接近的，這樣的線性疊加表現(xiàn)為積分的形式；這樣的積分形式表示中得到的系數(shù)譜稱為傅里葉變換：信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學3Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.5 連續(xù)時間傅里葉變換傅里葉反變換：(1)和(2)式稱為傅里葉變換對; 亦稱為 的傅里葉積分； 亦稱為 的傅里葉綜合；信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學4Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 20

3、08 3.5 連續(xù)時間傅里葉變換從周期信號擴展至非周期信號：Fig. 3.7信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學5Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.5 連續(xù)時間傅里葉變換從周期信號擴展至非周期信號；從傅里葉級數(shù)演變成傅里葉變換：定義：信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學6Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.5 連續(xù)時間傅里葉變換隨著 ， ， ； Fig. 3.8信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學7Signals and Systems

4、All Rights Reserved by Stone, 2008 3.5 連續(xù)時間傅里葉變換 一個連續(xù)時間信號 的變換 通常稱為 的頻譜；周期信號 的傅里葉系數(shù)正比于一個周期內(nèi)的 信號傅里葉變換的樣本。信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學8Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學9Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 從傅立葉級數(shù)到傅立葉積分信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學10Signals and Syste

5、ms All Rights Reserved by Stone, 2008 3.51 連續(xù)時間周期信號傅里葉變換 周期信號的傅里葉變換同樣是存在的，這樣就可以在統(tǒng)一的框架內(nèi)利用傅里葉變換來研究周期和非周期信號。設 是一個連續(xù)信號的變換，根據(jù)反變換式 ，由此可以推算：若令 ，則 ；信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學11Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.51 連續(xù)時間周期信號傅里葉變換 因此一個傅里葉級數(shù)為 的周期信號的傅里葉變換，可以看成一串在頻率軸上成諧波關(guān)系的沖激函數(shù)，相應于 上的沖激函數(shù)的面積是第 個傅里葉級

6、數(shù)系數(shù) 的 倍。（P211 例4.6，4.7）信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學12Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.52 連續(xù)時間傅里葉變換的收斂性狄里赫利條件： 絕對可積；即在任何有限區(qū)間內(nèi)， 具有有限個最大值和最小值；在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個不連續(xù)的點，而且在這些不連續(xù)的點上， 取有限值；該條件保證除了那些不連續(xù)的點外， 等于它的傅里葉反變換的表示式；而在那些不連續(xù)的點上，反變換式收斂于不連續(xù)點兩邊值（極限）的平均值； 信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學13Signals and Systems A

7、ll Rights Reserved by Stone, 2008 3.53 連續(xù)時間傅里葉變換實例 P207:例題信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學14Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.54 連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì) 記為：線性若 ； ；則：信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學15Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.54 連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)時移若 ；則：共軛及共軛對稱性若 ；則： 顯然若 為實函數(shù)，則： ；所以：信號系統(tǒng)與信號處理

8、杭州電子科技大學16Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.54 連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)共軛及共軛對稱性因此若將 用極座標表示，則： 故在計算或者圖示一個實信號的傅里葉變換時，該變換的幅值和相位，或者實部和虛部只需給出正頻率的值即可，因為負頻率時的值可以利用對稱關(guān)系得到。信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學17Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.54 連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)微分與積分若 ；則：時間與頻率的尺度變換若 ；則： ；顯然： 。這種變換

9、關(guān)系再次表明了時間和頻率之間（或者信號的時域和頻域之間）的矛盾關(guān)系。信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學18Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.54 連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)對偶性由變換和反變換的對稱性導致了傅里葉變換的對偶性 P220.Figure信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學19Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.54 連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)Fig. 3.9信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學20Signals and System

10、s All Rights Reserved by Stone, 2008 3.54 連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)由對偶性可得： 信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學21Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.54 連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)帕斯瓦耳定理： 若 ，則：另外兩個重要性質(zhì)：卷積性質(zhì)相乘性質(zhì) 信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學22Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.55 卷積性質(zhì)及實例如果系統(tǒng)的單位沖激響應為 ，輸入信號 得到的輸出為 ，則 ，

11、那么對應的 ？信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學23Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.55 卷積性質(zhì)及實例系統(tǒng)的頻率響應 ，可以完全表征一個LTI系統(tǒng)，和單位沖激響應 一樣。如果一個LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的話，則 一定是絕對可積的。即： 在應用傅里葉分析來研究LTI系統(tǒng)時，通常認為系統(tǒng)的單位沖激響應的傅里葉變換是存在的。Fig. 3.10信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學24Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.55 卷積性質(zhì)及實例應用實例

12、P226，E 4.19信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學25Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.56 相乘性質(zhì)及實例由傅里葉變換的對偶性可得，因為時域的卷積對應頻域的相乘，那么時域的相乘也應該對應頻域的卷積，已經(jīng)證明。一個信號被另一個信號去乘，可以理解為用一個信號去調(diào)制另一個信號的振幅，因此兩個信號相乘也稱為幅度調(diào)制。如圖 所示：P229. Fig.4.23 4.24Fig. 3.11信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學26Signals and Systems All Rights Reserved by Sto

13、ne, 2008 基本傅里葉變換對 P233信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學27Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 基本傅里葉變換對 P233信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學28Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.57 LTI系統(tǒng)線性微分方程的頻域表示我們已經(jīng)知道連續(xù)時間LTI系統(tǒng)其輸入和輸出可以用以下的線性常系數(shù)微分方程表示：利用傅氏變換的微分性質(zhì)： ； 為有理式，且分子 分母的系數(shù)沒有變 化。信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學29

14、Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.57 LTI系統(tǒng)線性微分方程的頻域表示因此表征連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的頻率響應式可以根據(jù)其常微分方程直接求得。例如：已知一穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)可以用下面的常微分方程描述， ，由此可以直接寫出系統(tǒng)的頻率響應：為有理式，且分子分母的系數(shù)沒有變化。信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學30Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.57 LTI系統(tǒng)線性微分方程的頻域表示利用常用的變換表可得系統(tǒng)的單位沖激響應： 信號系統(tǒng)與信號處理 杭州電子科技大學31Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 3.58 小結(jié) 討論了連續(xù)時間信號的傅里葉變換，并引入諧波頻率上的沖激串使得周期和非周期信號可以在統(tǒng)一的變換框架中討論； 在此基礎(chǔ)上討論了連續(xù)時間信號的傅里葉變換性質(zhì)，尤其是卷積和相乘性質(zhì)