1、函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)梳理1函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI，如果x1，x2D當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增當(dāng)x1f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做yf(x)的單調(diào)區(qū)間常用結(jié)論1x1，x2D且x1x2，有eq f(fx1fx2,x1x2)0(0(0或f(x)0)在公共定義域內(nèi)與yf(x)，yeq

2、f(1,fx)的單調(diào)性相反4復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)yf(u)，u(x)在函數(shù)yf(x)的定義域上，如果yf(u)與u(x)的單調(diào)性相同，那么yf(x)單調(diào)遞增；如果yf(u)與u(x)的單調(diào)性相反，那么yf(x)單調(diào)遞減題型一確定函數(shù)的單調(diào)性例1 下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，綜合可得答案【詳解】解：對(duì)于，是二次函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于，是冪函數(shù)，在上單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)于，是冪函數(shù)，在上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于，在區(qū)間上為減函數(shù)，不符合題意故選：B例 2 已知.(1)求的解析式；(2)試用函數(shù)

3、單調(diào)性定義證明：在上單調(diào)遞增.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)可得解可得a、b的值，即可得解析式；（2）根據(jù)題意，設(shè)，利用作差法分析可得函數(shù)單調(diào)性.（1）由題意得，解得，.（2）證明：設(shè)，則，由，得，即，故在上單調(diào)遞增.訓(xùn)練鞏固1.在上是增函數(shù)的是（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可逐一求解.【詳解】對(duì)A，函數(shù)在上是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，不滿足題意；對(duì)于B，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，不滿足題意；對(duì)于C，函數(shù)在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，滿足題意；對(duì)于D，函數(shù)在上是減函數(shù)，不滿足題意故選：C2.若函數(shù)在上是增函數(shù)，則與的大小關(guān)

4、系是（）ABCD【答案】B【分析】由一次函數(shù)性質(zhì)得，再由單調(diào)性比較函數(shù)值大小.【詳解】依題意，即，由于在上單調(diào)遞增，所以.故選：B3.已知函數(shù)，判斷并證明在區(qū)間上的單調(diào)性【答案】單調(diào)遞增，證明見解析【分析】利用單調(diào)性的定義證明，先任取，且，然后作差，變形，判斷符號(hào)，即可得結(jié)論.【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，理由如下：任取，且，因?yàn)?，所以，所以所以，所以，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增題型二二次函數(shù)的單調(diào)性例3 “”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的（）A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可得，進(jìn)而可判斷為充分不必要條件.【詳解】對(duì)于函數(shù)，

5、當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若要使得在上單調(diào)遞減，需滿足且，解得.“故”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充分不必要條件，故選:B.例4 若函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（）ABCD【答案】B【分析】由于函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在每段上要為增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，從而可求得答案【詳解】由題意得，解得故選：B訓(xùn)練鞏固4.若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式，解得即可；【詳解】解：函數(shù)的對(duì)稱軸為，開口向上，依題意可得，解得，即；故選：D5.函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】B【分析】由分段函數(shù)單調(diào)性列不等式組求解【詳解

6、】，故在上單調(diào)遞減，由題意得解得，故選：B題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例5 已知函數(shù)，則不等式的解集為（）ABCD【答案】D【分析】由題可得函數(shù)在上是減函數(shù)，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)樗院瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，解得故選：D例6 已知函數(shù).若對(duì)于任意，都有，則a的取值范圍是（）ABCD【答案】A【分析】首先利用換元法求出的解析式，依題意等價(jià)于，令，則在上單調(diào)遞減，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得到不等式，解得即可；【詳解】解：令，則，所以，即，因?yàn)闀r(shí)等價(jià)于，即.令，則在上單調(diào)遞減，所以或，解得或，即.故選：A例7 已知是定義域?yàn)樯系膯握{(diào)增函數(shù)，且對(duì)任意，都有，則的值為（）A12B14CD18【答案】B【分析】

7、根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為為常數(shù)，設(shè)（k為常數(shù)）可求出，進(jìn)而可求出.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)樯系膯握{(diào)增函數(shù)，且對(duì)任意，都有，所以必是常數(shù)，設(shè)（k為常數(shù)），得，所以，解得，因此.故選：B鞏固訓(xùn)練6.已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且，則（）ABC2D3【答案】B【分析】令，根據(jù)給定條件可得t為常數(shù)，再由、列式計(jì)算作答.【詳解】令，即有，因函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則t為常數(shù)，因此，從而，解得，于是得，顯然函數(shù)在上遞增，所以.故選：B7.函數(shù)，對(duì)，且恒有，則的取值范圍為（）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)題意，判斷函數(shù)在條件給定區(qū)間內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式，求a的取值范圍【詳解】

8、根據(jù)題意，對(duì)，且恒有，則函數(shù)在單調(diào)遞減，1、當(dāng)，符合題意；2、當(dāng) ，二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為x，若在（,4）上為減函數(shù)，必有，解可得：綜上故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：二次型不等式恒成立問題注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0.題型四抽象函數(shù)的單調(diào)性例 7 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意正實(shí)數(shù)、都有，且當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)是上的增函數(shù)【答案】證明見解析【分析】任取、，且，可得出，結(jié)合已知條件可出、的大小關(guān)系，即可證得結(jié)論成立.【詳解】證明：任取、，且，則因?yàn)?，所以，所以，即，所以函?shù)是上的增函數(shù)鞏固訓(xùn)練8.已知定義在上的函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都有，(1)求的值.(2)求證：對(duì)任意(3)證明：在上是増函數(shù).【答案】(1

9、)4(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)即可得解；（2）令，求得，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，證明時(shí)，即可得證；（3）設(shè)，由，說明，即可得證.（1）解：因?yàn)?，所以；?）證明：令，則，所以，當(dāng)時(shí)，所以，則，所以，所以對(duì)任意；（3）證明：設(shè)，則，所以，由，所以在上是増函數(shù).課后練習(xí)1.已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且，則的取值范圍是（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性列出不等式組，解出答案即可.【詳解】由題意，.故選：A.2如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A或B或C或D【答案】A【分析】求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，討論在區(qū)間上單調(diào)遞減和單調(diào)遞增，列不等式即可求解.【詳解】函數(shù)

10、的對(duì)稱軸為，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，若在區(qū)間上是單調(diào)遞減，則，解得：，若在區(qū)間上是單調(diào)遞增，則，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍是：或，故選：A.3函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】B【分析】由利用函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】，依題意有，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B.4.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)項(xiàng)的系數(shù)分類討論，時(shí)由二次函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，符合要求；當(dāng)時(shí)，由題意可得且，解得.綜上所述，的取值范圍為.故選：C5.若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)的開口方向，確定分段函

11、數(shù)在在上的單調(diào)遞增，再根據(jù)分段函數(shù)在上的單調(diào)所要滿足的條件列出不等關(guān)系，求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)榉侄魏瘮?shù)在上的單調(diào)函數(shù)，由于開口向上，故在上單調(diào)遞增，故分段函數(shù)在在上的單調(diào)遞增，所以要滿足：，解得： 故選：B6.函數(shù)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，則（）A9B8C3D1【答案】C【分析】根據(jù)單調(diào)性可知為常數(shù)，根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性可解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且，所以為常數(shù)，記，則，所以，不妨設(shè)函數(shù)單調(diào)遞增，且，則，即（矛盾），故.所以，故.故選：C7.已知函數(shù)(1)求證：在上是增函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義與作差法即可證明；（2）將代入，然后求解不等式即可（1）任取，且，則，所以，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，由可得，解得，故不等式的解集為8定義在上的函數(shù)滿足下面三個(gè)條件： 對(duì)任意正數(shù)，都有； 當(dāng)時(shí)，； (1)求和的值；(2)試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；(3)求滿足的的取值集合【答案】(1),(2)證明見解析(3)【分析】（1）賦值計(jì)算得解；（2）根據(jù)定義法證明單調(diào)性；（3）根據(jù)及單調(diào)性計(jì)算得解.(1)得，則，而， 且，則；(2)取定義域中的任