1、12-2 在半徑為 R 的長直金屬圓柱體內(nèi)部挖去一個半徑為 r 的長直圓柱體，兩柱體軸線平行，其間距為 a ，今在此導(dǎo)體上通以電流 I ，電流在截面上均勻分布，則空心部分軸線上 O點的磁感應(yīng)強度的大小為 。 oORarIIORor解：根據(jù)迭加原理可知，此系統(tǒng)可看作是半徑為R，電流密度為=I/（R2-r2）的實心導(dǎo)體和半徑為r電流密度為的實心導(dǎo)體組成。 空心部分軸線上任一點O的磁感應(yīng)強度B，等于半徑為R的載流圓柱在O點所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度與通反向電流半徑為r的圓柱在O點所產(chǎn)生的B的矢量和，即 B=BR+Br 由于無限長載流金屬圓柱的磁場具有對稱性，可用安培環(huán)路定律來求B求BR：取環(huán)路為半徑等于a的

2、圓 BR 2a= 0 I a2/（R2-r2）求Br：以r為半徑的小圓柱體以相同電流密度反向通過其上時，由于對稱性可知其在O產(chǎn)生的 Br=0BO = BR(a) - Br(0) =o a I /2 ( R2- r2 ) 解：可視為通電大實心圓柱體與反向通電小圓柱體產(chǎn)生磁場的迭加。大實心圓柱體通電電流： I = I R2/ ( R2- r2 ) 大實心圓柱體產(chǎn)生磁場： BR(a) = o a I/2R2通電小圓柱體產(chǎn)生磁場為： Br(0) = 0BO = BR(a) - Br(0) = o a I/2R2 = o a I /2( R2- r2 )IORora(A) B1 = 0 , B2 = 0

3、 .(B) B1 = 0 , B2 = 2. 828 oI /L .(C) B1 = 2. 828 oI /L , B2 = 0 .(D) B1 = 2. 828 oI /L , B2 = 2. 828 oI /L . LIB1B2LIIB=oI sin /4-sin(-/4)/4(L/2) = 0.707oI /L B1=4B=2. 828 oI /L , B2=0. 45o45o 12-1 邊長為 L 的正方形線圈，分別用圖示兩種方式通以電流 I，在這兩種情況下，線圈在其中心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的大小分別為：12-4 將通有電流 I 的無限長導(dǎo)線折成如圖形狀，已知半圓環(huán)的半徑為 R ，求圓心

4、O 點的磁感應(yīng)強度。解：半無限長導(dǎo)線 1 在 O點的磁場：B1 = o I /4R半圓環(huán)圓心 O 的磁場： B2 = o I /4R = o I /4R 半無限長導(dǎo)線 3 在延長線上的磁場：B3 = 0故總磁感應(yīng)強度：B = o I /4R + o I /4R IoR13212-7 如圖所示，在寬度為 d 的導(dǎo)體簿片上有電流 I 沿此導(dǎo)體長度方向流過，電流在導(dǎo)體寬度方向均勻分布，則導(dǎo)體外在簿片中線附近處的磁感應(yīng)強度 B 的大小為 B =o I / 2d 。解：安培環(huán)路定律 B L+ B L = o LI /d B = o I / 2dLBIP12-8 一無限長通電流的扁平銅片，寬度為 a ，厚

5、度不計，電流 I 在銅片上均勻分布。在銅片外與銅片共面，離銅片右邊緣為 b 處的 P 點的磁感應(yīng)強度 B 的大小為 。 解：在 x 處 , dx 寬無限長通電流: dI =Idx /a在 P 點的磁感應(yīng)強度:dB =o dI /2 (a+b-x) =oIdx /2a(a+b-x)B =o aoIdx /2a(a+b-x) =oI ln(a+b)/b / 2a baxdxIP xO13-1 有一無限長載流導(dǎo)線通有電流 I1 ，在其旁有一長為 a ，通電為 I2 的導(dǎo)體細(xì)棒，兩者相互垂直，但不共面，棒的一端到長直導(dǎo)線的距離也為 a ，求導(dǎo)體細(xì)棒所受磁力。解：長載流導(dǎo)線 I1 的磁場： B = o

6、I1 / 2 r電流元 I dl 所受磁力： df = I2 dl B sin = I2 dl sin o I1 / 2 r = o I1 I2 dr / 2 raaoyI1I2dlBrdr 磁力：df = o I1 I2 dr / 2 r磁力 df 方向為垂直紙面向外： f = df = a1.414 a o I1 I2 dr / 2 r = o I1 I2 ln 1.414 / 2 磁力 f 方向為垂直紙面向外： aaoyI1I2Brdr f13-2 均勻磁場 B 沿水平方向，有一豎直平面內(nèi)的圓形線圈可繞通過其圓心的軸 OO 以角速度 轉(zhuǎn)動。已知線圈內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電流為 i =Io sin

7、t ( 忽略自感，且 t = 0 時，線圈平面法向沿著 B )，若線圈半徑為 R ，試求 ( 不計軸上摩擦 ):(1) 在轉(zhuǎn)動過程中，該 線圈所受的磁力矩 (2) 為維持勻速轉(zhuǎn)動， 外界需供給的平均 功率 ooBi 解:(1)t 時刻，線圈繞軸 OO 轉(zhuǎn)動角度 t 。 磁矩：Pm(t) = i S =IoR2 sin t 磁力矩：M(t) = Pm(t) B sin t = Io B R2 sin2 t M 方向：垂直畫面向里 ooBiBPmto,oM(2) 解一: (t) = B . dS = B .S = BR2 cos t d = - BR2 sin t dt磁力矩作功：A(t)=12

8、i(t)d =-0t Iosint BR2sin tdt =-0t IoBR2sin2 t dt平均功率：P磁 = A(T) /T = - 0T IoBR2sin2 t dt /T = - IoBR2 / 2 P外 = - P磁 = IoBR2 / 2 M(t) = Io B R2 sin2 t 解法(二): dA = - M d ( 負(fù)號表示 M 順時針方向與逆時針相反 )功率： P磁 (t) =dA /dt =- M d /dt = - M = - IoB R2 sin2 t 平均功率： P磁 = 0T P磁 (t) dt /T = - 0T IoB R2sin2 t dt / T = -

9、 IoB R2 / 2 P外 = - P磁 = IoB R2 / 2 =a2oIBa2+x2()232.+ldlR12n單位長度上的匝數(shù)=R2oIBddR2+l2()223Id=ndlIdl=cscR2dl=RctgPR=R2oR2+l2()223ndlI3. 有限長載流螺線管軸線上P點的磁場Rdl=csc2dl=RctgoIndcsc2=oIn2dsin212oIn2cos2cos1()=R2IR2+2(2)23nRctg2o=cscR2d()，.=R2oR2+l2()223ndlIBdR2IR332ncscocscR2d().=oIndcsc2=B21BoIn2cos2cos1()=.+R

10、12P當(dāng)螺線管為無限長時：120，oInB=當(dāng)螺線管為半無限長時：1/220，oI/2nB=xmldI.BdS=B=2odxxI2o=I2ollnaab+=dS=ldxm.BdS=abxdxlI,+B 例1 在真空中有一無限長載流直導(dǎo)線，試求：通過其右側(cè)矩形線框的磁通量。aab+ 例2 半徑為R 的圓環(huán)上均勻帶電荷Q 以勻角速度 繞通過環(huán)心并與環(huán)面垂直的軸線旋轉(zhuǎn)，試求：軸線上P點距環(huán)心為x 處的磁場。解：在截面 s 處看，圓環(huán)旋轉(zhuǎn)一周所需時間: t = 2/通過的電荷量: q = Q 運流電流: I = q/ t = Q/2x 處磁場：x2+R2()23R2oI2B =x2+R2()23R2o

11、4QRxsPBldl.=Bdl.abBdl.bcBdl.cdBdl.da+=Bdl.ab+000=Bdlabcos 00Bdlab=nabI=BabnB=I.+Babcd1. 直長通電螺線管(n：單位長度上的匝數(shù))二、環(huán)路定律的應(yīng)用00vv0qB=m02RRmv0qB=T=R2v0=2mqBv0BqFm 二、帶電粒子在電場、磁場中的運動+F=eFFm=Eq+qvB(1)vB0mdvdt=Eq+qvB 2、帶電粒子在磁場中的運動 1、動力學(xué)方程sincosvv=v0=v0sinv0R=mvqBmqB=T=R2v=2mqBhcosv0qBT=v=2m螺距 h ：vvvqBRvB0與成角(2)dF=

12、2I1 dlI2l 例2 求一無限長直載流導(dǎo)線的磁場對另一直載流導(dǎo)線CD的作用力及其對O點的力矩。I1I2ba,已知： dlII2 dllabCDdF1O力矩是否就是 Fa ？dM = dF l=2I1 dlI2IIab+= dla212M=2I1I2brdrAARB 例： 如圖所示，一平面塑料圓盤，半徑為R，表面帶有面密度為的剩余電荷。假定圓盤繞其軸線AA以角速度轉(zhuǎn)動，磁場B的方向垂直于轉(zhuǎn)軸AA，試求磁場作用于圓盤的力矩大小和方向。解：將圓盤分成許多同心圓環(huán)，取一半徑為r寬度為dr的圓環(huán)，環(huán)上電荷： dq=2rdr環(huán)以角速度轉(zhuǎn)動的電流： dI=dq/2=rdr相應(yīng)磁矩大?。篸Pm=r2 dI

13、=r3 drdPm方向垂直圓盤向上(0)，相應(yīng)環(huán)上受的磁力矩為：dM=BdPm=r3 Bdr ( dPmB ) 由于所有環(huán)的磁力矩dM方向垂直B 向里(0)，所以圓盤所受的磁力矩大小為： M = dM = 0Rr3 Bdr =1 /4R4 BrdrAARBdPmdM例：有一流過強度 I = 10 A 電流的圓線圈，放在磁感應(yīng)強度等于 0.015 T 的勻強磁場中，處于平衡位置。線圈直徑 d = 12 cm 。使線圈以它的直徑為軸轉(zhuǎn)過角 = /2 時，外力所必需作的功為多少。如果轉(zhuǎn)過角 = 2 ，外力必需作的功又為多少。解：初態(tài)：平衡位置 M = Pm B = 0所以 Pm B S B 1 =

14、0 1 = B dS = B S1 = B S末態(tài)：(1) = /2 , 2 = 1 + = /2 2 = B S2 = 0 ( B S2 ) 1 = 0 , 1 = B S , 2 = 0 磁力作功：Am = I ( 2 - 1 ) = - I B S外力作功：A = - Am = I B S = I B d2 /4 = 10 0.015 3.14 0.122 / 4 = 1.7 10 -3 J末態(tài)：(2) = 2 , 2 = 1 + = 2 2 = B S2 = B S ( B S2 )磁力作功：Am = I ( 2 - 1 ) = 0外力作功：A = - Am = 0指南 P125：7

15、兩根長直導(dǎo)線沿半徑方向引到鐵環(huán)上A、B 兩點，并與很遠(yuǎn)的電源相連，如圖所示。求：環(huán)中心的磁感應(yīng)強度。ABIIO目錄結(jié)束解：BI10dlm40r2=1l1=I1I2R2R1l2l10=B=B1B2BI20dlm40r2=2l2ABIOIl21l21Il=I21l21目錄結(jié)束指南 P125：5 一根很長的銅導(dǎo)線，載有電流10A,在導(dǎo)線內(nèi)部通過中心線作一平面 S 如圖所示。試計算通過導(dǎo)線1m長的 S平面內(nèi)的磁感應(yīng)通量。IS目錄結(jié)束0Bld=Rx=2RIx2m0l0dRx=4Im0l=410-71014解：2RIx2=m0B1.010-6Wb=目錄結(jié)束 指南 P125：8 有一根很長的同軸電纜，由一圓

16、柱形導(dǎo)體和一同軸圓筒狀導(dǎo)體組成，圓柱的半徑為R1，圓筒的內(nèi)外半徑分別為R1和 R2，如圖所示。在這兩導(dǎo)體中，載有大小相等而方向相反的電流 I ，電流均勻分布在各導(dǎo)體的截面上。 R1R3R2II(1)求圓柱導(dǎo)體內(nèi)各點(r R1 )的磁感應(yīng)強度; (2)求兩導(dǎo)體之間(R2r R3 )各點的B。目錄結(jié)束2=1R2Im0Br1rR1R22=rIm0B2rR2R3解：rB4=0R3R2R1目錄結(jié)束指南 P126：4 一個塑料圓盤，半徑為 R，電荷q 均勻分布在表面 ，圓盤繞通過圓心垂直盤面的軸轉(zhuǎn)動，角速度為 。求：圓盤中心處的磁感應(yīng)強度。Rq目錄結(jié)束2rqd=rdm0Bd=2rIdnId=qdBrdnm0=0R=nm0R=rdnm02r=rdn2=Rq解：n=2=m0R2qRdrr目錄結(jié)束小結(jié)畢奧 薩伐爾定律： ( 電流元 Idl ) ( 運動電荷 q,v )磁場中的高斯定理： 穩(wěn)恒電流的磁場是無源場 磁感應(yīng)線是無頭無尾安培環(huán)路定律：表明磁場是非勢場、渦旋場