1、第十三節(jié)定積分與微積分基本定理積分的運(yùn)算及應(yīng)用(1)了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念(2)了解微積分基本定理的含義知識(shí)點(diǎn)一定積分1定積分的性質(zhì)(1)eq avs4al(iin(a,b,)kf(x)dxeq avs4al(kiin(a,b,)f(x)dx(k為常數(shù))(2)eq avs4al(iin(a,b,)f(x)g(x)dxeq avs4al(iin(a,b,)f(x)dxeq avs4al(iin(a,b,)g(x)dx.(3)eq avs4al(iin(a,b,)f(x)dxeq avs4al(iin(a,c,)f(x)dxeq avs4al(iin(c,b,

2、)f(x)dx(其中acb)2定積分的幾何意義(1)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上恒為正時(shí)，定積分eq avs4al(iin(a,b,)f(x)dx的幾何意義是由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積(圖(1)中陰影部分)(2)一般情況下，定積分eq avs4al(iin(a,b,)f(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線f(x)以及直線xa、xb之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(圖(2)中陰影所示)，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù)易誤提醒(1)若積分式子中有幾個(gè)不同的參數(shù)，則必須先分清誰(shuí)是被積變量(2)定積分式子中隱含的

3、條件是積分上限大于積分下限(3)定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負(fù)，而定積分的結(jié)果可以為負(fù)自測(cè)練習(xí)1設(shè)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2x0，,2x xbc BbacCacb Dbca解析：aeq avs4al(iin(0,1,)xeq f(1,3)dxeq f(3,2)xeq f(2,3)eq blc|rc (avs4alco1(oal(1,0)eq f(3,2)，b1eq avs4al(iin(0,1,)xeq f(1,2)dx1eq f(2,3)xeq f(3,2)eq blc|rc (avs4alco1(oal(1,0)eq f(1,3)，ceq a

4、vs4al(iin(0,1,)x3dxeq f(1,4)x4eq blc|rc (avs4alco1(oal(1,0)eq f(1,4)，因此abc，故選A.答案：A4由曲線yx2，yx3圍成的封閉圖形的面積為()A.eq f(1,12) B.eq f(1,4)C.eq f(1,3) D.eq f(7,12)解析：由eq blcrc (avs4alco1(yx2，,yx3)得eq blcrc (avs4alco1(x0，,y0)或eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1.)結(jié)合圖形知(圖略)所求封閉圖形的面積為eq avs4al(iin(0,1,)(x2x3)dxeq blc(rc

5、)(avs4alco1(f(1,3)x3f(1,4)x4)eq blc|rc (avs4alco1(oal(1,0)eq f(1,12)，故選A.答案：A考點(diǎn)一定積分的計(jì)算|1定積分eq avs4al(iin(0,3,)eq r(9x2)dx的值為()A9 B3C.eq f(9,4) D.eq f(9,2)解析：由定積分的幾何意義知，eq avs4al(iin(0,3,)eq r(9x2)dx是由曲線yeq r(9x2)，直線x0，x3，y0圍成的封閉圖形的面積，故eq avs4al(iin(0,3,)eq r(9x2)dxeq f(32,4)eq f(9,4)，故選C.答案：C2(臨沂模擬)

6、若eq avs4al(f(,2)0)(sin xacos x)dx2，則實(shí)數(shù)a等于()A1 B1C.eq r(3) Deq r(3)解析：(asin xcos x)sin xacos x.eq avs4al(f(,2)0)(sin xacos x)dx(asin xcos x)eq blc|rc (avs4alco1(f(,2)0)eq blc(rc)(avs4alco1(asin f(,2)cos f(,2)(asin 0cos 0)a12.a1.答案：B3(西安模擬)已知Aeq avs4al(iin(0,3,)|x21|dx，則A_.解析：Aeq avs4al(iin(0,3,)|x21|

7、dxeq avs4al(iin(0,1,)(1x2)dxeq avs4al(iin(1,3,)(x21)dxeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,3)x3)eq blc|rc (avs4alco1(oal(1,0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x3x)eq blc|rc (avs4alco1(oal(3,1)eq f(22,3).答案：eq f(22,3)定積分計(jì)算的三種方法定義法、幾何意義法和微積分基本定理法，其中利用微積分基本定理是最常用的方法，若被積函數(shù)有明顯的幾何意義，則考慮用幾何意義法，定義法太麻煩，一般不用 考點(diǎn)二利用定積分求平面圖形的面積|設(shè)

8、拋物線C：yx2與直線l：y1圍成的封閉圖形為P，則圖形P的面積S等于()A1B.eq f(1,3)C.eq f(2,3) D.eq f(4,3)解析由eq blcrc (avs4alco1(yx2，,y1，)得x1.如圖，由對(duì)稱性可知，S2eq blc(rc)(avs4alco1(11avs4al(iin(0,1,)x2dx)2eq blc(rc)(avs4alco1(11f(1,3)x3blc|rc (avs4alco1(oal(1,0)eq f(4,3)，選D.答案D利用定積分求平面圖形面積的三個(gè)步驟(1)畫(huà)圖象：在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出大致圖象(2)確定積分上、下限：借助圖象的直觀性求出交點(diǎn)

9、坐標(biāo)，確定積分上限和下限(3)用牛頓萊布尼茨公式求面積：將曲邊多邊形的面積表示成若干定積分的和，計(jì)算定積分，寫(xiě)出結(jié)果1(衡中三模)由曲線y2x2，直線yx及x軸所圍成的封閉圖形(圖中的陰影部分)的面積是_解析：把陰影部分分成兩部分求面積SS1S2eq avs4al(iin(,0,)r(2)(2x2)dxeq avs4al(iin(0,1,)(2x2x)dxeq blc(rc)(avs4alco1(2xf(x3,3)eq blc|rc (avs4alco1(oal(0,r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(x3,3)f(x2,2)eq blc|rc (avs4alco1(oa

10、l(1,0)2eq r(2)eq f(r(2)3,3)2eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(4r(2),3)eq f(7,6).答案：eq f(4r(2),3)eq f(7,6)考點(diǎn)三定積分物理意義的應(yīng)用|一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其v t曲線如圖所示，則該物體在eq f(1,2) s6 s間的運(yùn)動(dòng)路程為_(kāi)解析由圖象可知，v(t)eq blcrc (avs4alco1(2t，0t1，,2，1t3，,f(1,3)t1，3t6，)所以eq f(1,2) s6 s間的運(yùn)動(dòng)路程seq avs4al(iin(eq f(1,2),6,) v ,6,)eq f(1,2),1,)eq f(1,2)(t)

11、= eq avs4al(iin(eq f(1,2),6,)2tdteq avs4al(iin(1,3,)2dteq avs4al(iin(3,6,)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)t1)dt SKIPIF 1 2，)(單位：N)的作用下沿與力F(x)相同的方向運(yùn)動(dòng)了4米，力F(x)做功為()A44 JB46 JC48 J D50 J解析：力F(x)做功為eq avs4al(iin(0,2,)10dxeq avs4al(iin(2,4,)(3x4)dx10 xeq blc|rc (avs4alco1(oal(2,0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)x2

12、4x)eq blc|rc (avs4alco1(oal(4,2)202646.答案：B5.混淆圖形面積與定積分關(guān)系致誤【典例】已知函數(shù)yf(x)的圖象是折線段ABC，其中A(0,0)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，5)，C(1,0)函數(shù)yxf(x)(0 x1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為_(kāi)解析由題意可得f(x)eq blcrc (avs4alco1(10 x，0 xf(1,2)，,1010 x，f(1,2)x1，)所以yxf(x)eq blcrc (avs4alco1(10 x2，0 xf(1,2)，,10 x10 x2，f(1,2)x1)與x軸圍成圖形的面積為

13、SKIPIF 1 0 10 x2dx SKIPIF 1 0 ,1,)eq f(1,2)(10 x10 x2)dxeq f(10,3)x3 SKIPIF 1 0 )eq f(1,2)eq f(5,4).答案eq f(5,4)易誤點(diǎn)評(píng)(1)本題易寫(xiě)錯(cuò)圖形面積與定積分間的關(guān)系而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤(2)本題易弄錯(cuò)積分上、下限而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，實(shí)質(zhì)是解析幾何的相關(guān)知識(shí)和運(yùn)算能力不夠致錯(cuò)防范措施解決利用定積分求平面圖形的面積問(wèn)題時(shí)，應(yīng)處理好以下兩個(gè)問(wèn)題：(1)熟悉常見(jiàn)曲線，能夠正確作出圖形，求出曲線交點(diǎn)，必要時(shí)能正確分割圖形(2)準(zhǔn)確確定被積函數(shù)和積分變量跟蹤練習(xí)(洛陽(yáng)期末)函數(shù)f(x)eq blcrc (avs

14、4alco1(x1，1x0，若eq avs4al(iin(0,t,)(2x2)dx8，則t()A1 B2C2或4 D4解析：由eq avs4al(iin(0,t,)(2x2)dx8得(x22x)eq blc|rc (avs4alco1(oal(t,0)t22t8，解得t4或t2(舍去)，故選D.答案：D2(青島模擬)設(shè)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，x0，1，,f(1,x)，x1，e)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則eq avs4al(iin(0,e,)f(x)dx的值為()A.eq f(4,3) B.eq f(5,4)C.eq f(6,5) D.eq f(7,6)解析：e

15、q avs4al(iin(0,e,)f(x)dxeq avs4al(iin(0,1,)f(x)dxeq avs4al(iin(1,e,)f(x)dxeq avs4al(iin(0,1,)x2dxeq avs4al(iin(1,e,)eq f(1,x)dxeq f(x3,3)eq blc|rc (avs4alco1(oal(1,0)ln xeq blc|rc (avs4alco1(oal(e,1)eq f(1,3)ln eeq f(4,3)，故選A.答案：A3(武漢模擬)設(shè)aeq avs4al(iin(1,2,)(3x22x)dx，則eq blc(rc)(avs4alco1(ax2f(1,x)6

16、的展開(kāi)式中的第4項(xiàng)為()A1 280 x3 B1 280C240 D240解析：本題考查定積分的計(jì)算與二項(xiàng)式定理依題意得a(x3x2)eq blc|rc (avs4alco1(oal(2,1)4，二項(xiàng)式eq blc(rc)(avs4alco1(4x2f(1,x)6的展開(kāi)式的第四項(xiàng)是T4Ceq oal(3,6)(4x2)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)31 280 x3，故選A.答案：A4如圖所示，設(shè)D是圖中邊長(zhǎng)分別為1和2的矩形區(qū)域，E是D內(nèi)位于函數(shù)yeq f(1,x)(x0)圖象下方的區(qū)域(陰影部分)，從D內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M取自E內(nèi)的概率為()A.eq f(ln

17、2,2) B.eq f(1ln 2,2)C.eq f(1ln 2,2) D.eq f(2ln 2,2)解析：本題考查定積分的計(jì)算與幾何概率的意義依題意，題中的矩形區(qū)域的面積是122，題中的陰影區(qū)域的面積等于2eq f(1,2)eq avs4al(iin(,1,)eq f(1,2)eq f(1,x)dx1ln xeq blc|rc (avs4alco1(oal(1,)eq f(1,2)1ln 2，因此所求的概率等于eq f(1ln 2,2)，故選C.答案：C5已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a2 013a2 015eq avs4al(iin(0,2,)eq r(4x2)dx，則a2 014(a2 01

18、22a2 014a2 016)的值為()A2 B2C D42解析：eq avs4al(iin(0,2,)eq r(4x2)dx表示圓x2y24在第一象限的面積，即eq avs4al(iin(0,2,)eq r(4x2)dx，又?jǐn)?shù)列an是等差數(shù)列，所以a2 013a2 015a2 012a2 0162a2 014，所以得a2 014(a2 0122a2 014a2 016)eq f(,2)22，故選A.答案：A6(南昌模擬)直線yeq f(1,3)x與拋物線yxx2所圍圖形的面積等于_解析：由eq blcrc (avs4alco1(yf(1,3)x，,yxx2，)解得x0或eq f(2,3)，所

19、以所求面積為eq avs4al(f(2,3)0)eq blc(rc)(avs4alco1(xx2f(1,3)x)dxeq avs4al(f(2,3)0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)xx2)dxeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x2f(1,3)x3)eq blc|rc (avs4alco1(f(2,3)0)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)30eq f(4,81).答案：eq f(4,81)7(長(zhǎng)春二模)已知a0且曲線yeq r(x)、xa

20、與y0所圍成的封閉區(qū)域的面積為a2，則a_.解析：由題意a2eq avs4al(iin(0,a,)eq r(x)dxeq f(2,3)xeq f(3,2)eq blc|rc (avs4alco1(oal(a,0)，所以aeq f(4,9).答案：eq f(4,9)8已知aeq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，則eq avs4al(iin(0,a,)(cos xsin x)dx取最大值時(shí)，a_.解析：eq avs4al(iin(0,a,)(cos xsin x)dx(sin xcos x)eq blc|rc (avs4alco1(oal(a,0)sin acos a1eq r(2

21、)sineq blc(rc)(avs4alco1(af(,4)1.aeq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，當(dāng)aeq f(,4)時(shí)，eq blcrc(avs4alco1(avs4al(iin(0,a,)cos xsin xdx)maxeq r(2)1.答案：eq f(,4)9求曲線yeq r(x)，y2x，yeq f(1,3)x所圍成圖形的面積解：如圖，由eq blcrc (avs4alco1(yr(x)，,y2x，)得交點(diǎn)A(1,1)；由eq blcrc (avs4alco1(y2x，,yf(1,3)x，)得交點(diǎn)B(3，1)故所求面積Seq avs4al(iin(0,1,)eq

22、 blc(rc)(avs4alco1(r(x)f(1,3)x)dxeq avs4al(iin(1,3,)eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,3)x)dxeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)xf(3,2)f(1,6)x2)eq blc|rc (avs4alco1(oal(1,0)eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,3)x2)eq blc|rc (avs4alco1(oal(3,1)eq f(2,3)eq f(1,6)eq f(4,3)eq f(13,6).10汽車以54 km/h的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以等加速度3 m/s2剎車

23、，問(wèn)從開(kāi)始剎車到停車，汽車走了多遠(yuǎn)？解：由題意，得v054 km/h15 m/s.所以v(t)v0at153t.令v(t)0，得153t0.解得t5.所以開(kāi)始剎車5 s后，汽車停車所以汽車由剎車到停車所行駛的路程為seq avs4al(iin(0,5,)v(t)dteq avs4al(iin(0,5,)(153t)dteq blc(rc)(avs4alco1(15tf(3,2)t2)eq blc|rc (avs4alco1(oal(5,0)37.5(m)故汽車走了37.5 m.B組高考題型專練1(2014高考陜西卷)定積分eq iin(0,1,)(2xex)dx的值為()Ae2Be1Ce De

24、1解析：eq iin(0,1,)(2xex)dx(x2ex)eq blc|rc (avs4alco1(oal(1,0)1e11e.答案：C2(2014高考江西卷)若f(x)x22eq avs4al(iin(0,1,)f(x)dx，則eq avs4al(iin(0,1,)f(x)dx()A1 Beq f(1,3)C.eq f(1,3) D1解析：令eq avs4al(iin(0,1,)f(x)dxm，則f(x)x22m，所以eq avs4al(iin(0,1,)f(x)dxeq avs4al(iin(0,1,)(x22m)dxeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x32mx)eq blc|rc (avs4alco1(oal(1,0)eq f(1,3)2mm，解得meq f(1,3)，故選B.答案：B3(2013高考湖北卷)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)73teq f(25,1t)(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是()A125ln 5 B825ln eq f(11,3)C425ln 5 D450ln 2解析：由v(t)0得t4.故剎車距離為seq avs4al(iin(0,4,)v(t)dteq