1、高等數(shù)學(xué)b學(xué)習(xí)26微分中值定理課件高等數(shù)學(xué)b學(xué)習(xí)26微分中值定理課件一、羅爾(Rolle)定理1.引理（費馬(Fermat)定理） 牛牛文庫文檔分享一、羅爾(Rolle)定理1.引理（費馬(Fermat)定理2. 羅爾（Rolle）定理 則在 (a,b) 內(nèi)至少存在一點 ，使 f() =0 .設(shè)函數(shù) f (x) 滿足條件：1) 在閉區(qū)間 a,b上連續(xù).2) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).3) f (a) = f (b) 牛牛文庫文檔分享2. 羅爾（Rolle）定理 則在 (a,b) 內(nèi)至少存在一物理解釋:變速直線運動在折返點處,瞬時速度等于零.幾何解釋: 牛牛文庫文檔分享物理解釋:變速直線運動在折

2、返點處,瞬時速度等于零.幾何解釋:3、羅爾定理還指出了這樣的一個事實：若 f (x) 可導(dǎo)，則 f(x)=0 的任何兩個實根之間，至少有 f(x) =0 的一個實根.例2 不求導(dǎo)數(shù), 判斷函數(shù) f(x) = (x 1) (x 2) (x 3)的導(dǎo)數(shù)f(x)有幾個零點及這些零點所在的范圍. 牛牛文庫文檔分享3、羅爾定理還指出了這樣的一個事實：若 f (x) 可導(dǎo)，則4. 注意 1)若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如 牛牛文庫文檔分享4. 注意 1)若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其2) 羅爾定理的三個條件是充分不必要的,即若有一個不滿足,其結(jié)論也可能成立.例如, 牛牛

3、文庫文檔分享2) 羅爾定理的三個條件是充分不必要的,即若有一個不滿足例3例4說明:證明 在 內(nèi)有根用零點定理.證明 在 內(nèi)有根用羅爾定理. 牛牛文庫文檔分享例3例4說明:證明 在 內(nèi)有根用零點定理關(guān)鍵技巧: 根據(jù)題意會知道如何構(gòu)造輔助函數(shù).若希望用Rolle定理證明方程 f(x)=0 根的存在性，則構(gòu)造的輔助函數(shù)F(x) 應(yīng)滿足關(guān)系式F(x) = f(x) 及Rolle定理條件.例5 牛牛文庫文檔分享關(guān)鍵技巧: 根據(jù)題意會知道如何構(gòu)造輔助函數(shù).若希望用Roll例6 牛牛文庫文檔分享例6 牛牛文庫文檔分享二、拉格朗日(Lagrange)中值定理則在 (a,b) 內(nèi)至少存在一點 ，使 f (b)

4、f (a) = f ()(ba) (a,b) .Lagrange 中值定理： 設(shè)函數(shù) f (x) 滿足條件：1) 在閉區(qū)間 a,b上連續(xù).2) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo). 牛牛文庫文檔分享二、拉格朗日(Lagrange)中值定理則在 (a,b) 內(nèi)作輔助函數(shù)證明：拉格朗日中值公式 牛牛文庫文檔分享作輔助函數(shù)證明：拉格朗日中值公式 幾何解釋:例1 牛牛文庫文檔分享幾何解釋:例1 牛牛文庫文檔分享增量 y 的精確表達式拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值定理也稱為微分中值定理 牛牛文庫文檔分享增量 y 的精確表達式拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.拉兩個

5、推論:(1) 設(shè) f (x) 在 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)且 f (x)=0，則 f(x)=C.(2) 設(shè) f (x) ,g(x) 在 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)且 f (x) =g(x) ， 則 f(x)=g(x) C. 牛牛文庫文檔分享兩個推論:(1) 設(shè) f (x) 在 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)且拉格朗日中值定理的應(yīng)用: 1、用 Lagrange 中值定理證明等式：例2說明欲證 時, 只需證在 I 上練習(xí)： 牛牛文庫文檔分享拉格朗日中值定理的應(yīng)用: 例2說明欲證 時, 2、用 Lagrange 中值定理證明不等式：Step1 找出適當?shù)暮瘮?shù) f (x) 及區(qū)間,Step2 驗證 f (x) 滿足Lagran

6、ge 中值定理條件,Step3 對 f () 作適當放大或縮小，推出所要證的結(jié)果.例4例3 牛牛文庫文檔分享2、用 Lagrange 中值定理證明不等式：Step1 三、柯西(Cauchy)中值定理則在 (a,b) 內(nèi)至少存在一點 ，使 Cauchy 中值定理 設(shè)函數(shù) f (x)、 g (x) 滿足條件：1) 在閉區(qū)間 a,b上連續(xù).2) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且 g(x) 0 . 牛牛文庫文檔分享三、柯西(Cauchy)中值定理則在 (a,b) 內(nèi)至少存在證作輔助函數(shù) 牛牛文庫文檔分享證作輔助函數(shù) 牛牛文庫文檔分享幾何解釋:注意:弦的斜率切線斜率 牛牛文庫文檔分享幾何解釋:注意:弦的斜率切

7、線斜率 Lagrange 中值定理是Cauchy 中值定理 的特例. 牛牛文庫文檔分享Lagrange 中值定理是Cauchy 中值定理 的特例.思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?兩個 不一定相同錯!上面兩式相比即得結(jié)論. 牛牛文庫文檔分享思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?兩個 不錯!上面兩式相例分析:結(jié)論可變形為 牛牛文庫文檔分享例分析:結(jié)論可變形為 牛牛文庫文檔例證 牛牛文庫文檔分享例證 牛牛文庫文檔分享四、小結(jié)1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理費馬引理中值定理的數(shù)學(xué)符號簡潔表述: P125 牛牛文庫文檔分享四、小結(jié)1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系

8、羅爾定理拉格朗日2. 微分中值定理的應(yīng)用(1) 證明恒等式(2) 證明不等式(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵: 利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù) 牛牛文庫文檔分享2. 微分中值定理的應(yīng)用(1) 證明恒等式(2) 證明不等式中值定理的數(shù)學(xué)符號簡潔表述: P125 牛牛文庫文檔分享中值定理的數(shù)學(xué)符號簡潔表述: P125www.n1. 填空題思考與練習(xí) 函數(shù)在區(qū)間 1, 2 上滿足拉格朗日定理條件, 則中值 牛牛文庫文檔分享1. 填空題思考與練習(xí) 函數(shù)在區(qū)間 1, 2 上滿足練 習(xí) 題 牛牛文庫文檔分享練 習(xí) 題 牛牛文庫文檔分享 牛牛文庫文檔分享 牛牛文庫文檔分享 牛牛文庫文檔分享 牛牛文庫文檔分享練習(xí)題

9、答案 牛牛文庫文檔分享練習(xí)題答案 牛牛文庫文檔分享費馬(1601 1665)法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好. 他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻. 他特別愛好數(shù)論, 他提出的費馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū) ,費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中 提煉出來的. 牛牛文庫文檔分享費馬(1601 1665)法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)拉格朗日 (1736 1813)法國數(shù)學(xué)家.他在方程論, 解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來, 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學(xué) 產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之

10、一. 牛牛文庫文檔分享拉格朗日 (1736 1813)法國數(shù)學(xué)家.他在方程論,柯西(1789 1857)法國數(shù)學(xué)家, 他對數(shù)學(xué)的貢獻主要集中在微積分學(xué),柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫的分析教程, 無窮小分析概論, 微積分在幾何上的應(yīng)用 等,有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠 .對數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠基人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 , 牛牛文庫文檔分享柯西(1789 1857)法國數(shù)學(xué)家, 他對數(shù)學(xué)的貢獻主 牛牛文庫文檔分享 牛牛文庫文檔分享例3證由零點定理矛盾,即 為方程小于1

11、的正實根. 牛牛文庫文檔分享例3證由零點定理矛盾,即 為方程小于1的正實根.www例4證由Rolle定理知說明:證明 在 內(nèi)有根用零點定理.證明 在 內(nèi)有根用羅爾定理. 牛牛文庫文檔分享例4證由Rolle定理知說明:證明 在 推廣:例6 牛牛文庫文檔分享推廣:例6 牛牛文庫文檔分享（即例5）設(shè)欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗證在上滿足羅爾定理條件.提示: 牛牛文庫文檔分享（即例5）設(shè)欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗證在上滿足羅爾定理證：不妨設(shè)有例 設(shè) , 證明對任意 牛牛文庫文檔分享證：不妨設(shè)有例 設(shè) 有例 設(shè) , 證明對任意題設(shè)條件可減弱為 牛牛文庫文檔分享有例 設(shè) 例4證由上式得 牛牛文庫文檔分享例4證由上式得 牛牛文庫文檔分享練習(xí)：試證至少存在一點 ，使解 令則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在 牛牛文庫文檔分享練習(xí)：試證至少存在一點 ，使提示:由結(jié)論可知, 只需證即驗證在上滿足羅爾定理條件.設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點使2. 設(shè) 牛牛文庫文檔分享提示:由結(jié)論可知, 只需證即驗證在上滿足羅爾定理條件.設(shè)且在證：設(shè)輔助函數(shù)顯然在 0,1 上滿足羅爾定理條件,因此至少存在使得求證存在使3. 設(shè) f (x) 在 0,1 連續(xù), 在 (0,1) 可導(dǎo), 且即