1、2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷)數(shù)學(理工類)本試題卷共6頁,22題,其中第15、16題為選考題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上,并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.用統(tǒng)一提供的2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑.2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用統(tǒng)一提供的2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號.答在試題卷、草稿紙上無效.3.填空題和解答題的作答:用統(tǒng)一提供的簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.答在試題卷、草稿紙上無效.4.選考

2、題的作答:先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用統(tǒng)一提供的2B鉛筆涂黑.考生應根據(jù)自己選做的題目準確填涂題號,不得多選.答題答在答題卡上對應的答題區(qū)域內,答在試題卷、草稿紙上無效.5.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后,請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2013湖北,理1)在復平面內,復數(shù)z=2i1+i(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)對應的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(復數(shù)z=2i1+i的共軛復數(shù)z=1-i,

3、其在復平面內對應的點(1,-1)位于第四象限2.(2013湖北,理2)已知全集為R,集合A=x12x1,B=x|x2-6x+80,則ARA.x|x0B.x|2x4C.x|0 x4D.x|0 x2或x4答案:C解析:由題意知集合A=x12x1=集合B=x|x2-6x+80=x|2x4,RB=x|x4.因此A(RB)=x|0 x4.3.(2013湖北,理3)在一次跳傘訓練中,甲、乙兩位學員各跳一次.設命題p是“甲降落在指定范圍”,q是“乙降落在指定范圍”,則命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”可表示為().A.(p)(q)B.p(q)C.(p)(q)D.pq答案:A解析:“至少有一位學員沒有降

4、落在指定范圍”包括甲或乙沒有落在指定范圍或者兩人均沒有落在指定范圍,因此應為(p)(q).4.(2013湖北,理4)將函數(shù)y=3cos x+sin x(xR)的圖象向左平移m(m0)個單位長度后,所得到的圖象關于y軸對稱,則m的最小值是().A.12B.6C.答案:B解析:y=3cos x+sin x=2sinx+3,函數(shù)y=3cos x+sin x(xR)的圖象向左平移m(m0)個單位長度后,變?yōu)楹瘮?shù)y=2sinx+又所得到的圖象關于y軸對稱,則有3+m=k+2,km=k+6,kZm0,當k=0時,m的最小值為65.(2013湖北,理5)已知04,則雙曲線C1:x2cos2-y2sin2=A

5、.實軸長相等B.虛軸長相等C.焦距相等D.離心率相等答案:D解析:對于雙曲線C1:x2cos2-y2sin2=1,a1對于雙曲線C2:y2sin2-x2sin2tan2=1,a22=sin2,b22=sin2tan2,c22=sin2+sin2只有當=k+4(kZ)時,a而04,排除A,B,C設雙曲線C1,C2的離心率分別為e1,e2,則e1故e1=e2,即兩雙曲線的離心率相等.6.(2013湖北,理6)已知點A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量AB在CD方向上的投影為(A.322B.3152C.-3答案:A解析:由題意可知AB=(2,1),CD=(5,5),故

6、AB在CD方向上的投影為7.(2013湖北,理7)一輛汽車在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度v(t)=7-3t+251+t(t的單位:s,v的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位:m)是()A.1+25ln 5B.8+25ln 11C.4+25ln 5D.4+50ln 2答案:C解析:由于v(t)=7-3t+251+t,且汽車停止時速度為0因此由v(t)=0可解得t=4,即汽車從剎車到停止共用4 s.該汽車在此期間所行駛的距離s=04 =7t=4+25ln 5(m).8.(2013湖北,理8)一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成,

7、其體積分別記為V1,V2,V3,V4,上面兩個簡單幾何體均為旋轉體,下面兩個簡單幾何體均為多面體,則有().A.V1V2V4V3B.V1V3V2V4C.V2V1V3V4D.V2V3V1V4答案:C解析:由三視圖可知,四個幾何體自上而下分別為圓臺,圓柱,四棱柱,四棱臺.結合題中所給數(shù)據(jù)可得:V1=13(4+2)=73,V2=V3=23=8,V4=13(16+4+8)=28故V2V1V3V4.9.(2013湖北,理9)如圖,將一個各面都涂了油漆的正方體,切割為125個同樣大小的小正方體.經(jīng)過攪拌后,從中隨機取一個小正方體,記它的涂漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)=().A.126125B.65C.1

8、68125答案:B解析:由題意可知涂漆面數(shù)X的可能取值為0,1,2,3.由于P(X=0)=27125,P(X=1)=54125,P(X=2)=36125,P(X=3)故E(X)=027125+154125+23612510.(2013湖北,理10)已知a為常數(shù),函數(shù)f(x)=x(ln x-ax)有兩個極值點x1,x2(x10,f(x2)-1B.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)-1D.f(x1)-1答案:D解析:由題意知,函數(shù)f(x)=x(ln x-ax)=xln x-ax2有兩個極值點,即f(x)=ln x+1-2ax=0在區(qū)間(0,+)上有兩個根.令h(x)=ln x+1-2ax,則h

9、(x)=1x-2a=-2ax+1x,當a0時h(x)0,f(x)在區(qū)間(0,+)上遞增,f(x)a0.由h(x)=0,可得x=12a,從而可知h(x)在區(qū)間0,12a上遞增,在區(qū)間12a,+上遞減.因此需h12a=ln 12a+1-1=ln 12a0,即12a1時滿足條件,故當0a12時,h(x)=0有兩個根x1,x2,且xx1112ax2,從而可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,x1)上遞減,在區(qū)間(x1,x2)上遞增,在區(qū)間(x2,+)上遞減f(x1)f(1)=-af(1)=-a-12.故選D二、填空題:本大題共6小題,考生共需作答5小題,每小題5分,共25分.請將答案填在答題卡對應題號的位置上,

10、答錯位置,書寫不清,模棱兩可均不得分.11.(2013湖北,理11)從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間,頻率分布直方圖如圖所示.(1)直方圖中x的值為;(2)在這些用戶中,用電量落在區(qū)間100,250)內的戶數(shù)為.答案:(1)0.004 4(2)70解析:(1)由頻率分布直方圖知200,250)小組的頻率為1-(0.002 4+0.003 6+0.006 0+0.002 4+0.001 2)50=0.22,于是x=0.(2)數(shù)據(jù)落在100,250)內的頻率為(0.003 6+0.006 0+0.004 4)50=0.7,所求戶數(shù)為0.7100=70.1

11、2.(2013湖北,理12)閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應的程序,輸出的結果i=.答案:5解析:第一次執(zhí)行循環(huán)體后:a=5,i=2;第二次執(zhí)行循環(huán)體后:a=16,i=3;第三次執(zhí)行循環(huán)體后:a=8,i=4;第四次執(zhí)行循環(huán)體后:a=4,i=5,滿足條件,循環(huán)結束.輸出i=5.13.(2013湖北,理13)設x,y,zR,且滿足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,則x+y+z=.答案:3解析:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+22+32)(x+2y+3z)2當且僅當x1=y2=zx2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,x=1414,y=21414,x+y+z=61414.(

12、2013湖北,理14)古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,第n個三角形數(shù)為n(n+1)2=12n2+12n.記第n個k邊形數(shù)為N(n,k)(k三角形數(shù)N(n,3)=12n2+12正方形數(shù)N(n,4)=n2,五邊形數(shù)N(n,5)=32n2-12六邊形數(shù)N(n,6)=2n2-n,可以推測N(n,k)的表達式,由此計算N(10,24)=.答案:1 000解析:由題中數(shù)據(jù)可猜想:含n2項的系數(shù)為首項是12,公差是12的等差數(shù)列,含n項的系數(shù)為首項是12,公差是-12的等差數(shù)列,因此N(n,k)=12+(k-3)12n2+12+(k-3(二)選考題(請考生在第15

13、、16兩題中任選一題作答,請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用2B鉛筆涂黑.如果全選,則按第15題作答結果計分.)15.(2013湖北,理15)(選修41:幾何證明選講)如圖,圓O上一點C在直徑AB上的射影為D,點D在半徑OC上的射影為E.若AB=3AD,則CEEO的值為答案:8解析:設AD=2,則AB=6,于是BD=4,OD=1.如圖,由射影定理得CD2=ADBD=8,則CD=22.在RtOCD中,DE=OD則CE=DC2-D因此CEEO16.(2013湖北,理16)(選修44:坐標系與參數(shù)方程)在直角坐標系xOy中,橢圓C的參數(shù)方程為x=acos,y=bsin(為參數(shù),ab0)

14、.在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,直線l與圓O的極坐標方程分別為sin+4=22m(m為非零常數(shù))與=b.若直線l經(jīng)過橢圓答案:6解析:將橢圓C的參數(shù)方程x=acos,y=bsin(為參數(shù),ab0)化為標準方程為x2a2+y2b2=1(ab0).又直線l的極坐標方程為sin+4=22m(m為非零常數(shù)),即sin22+cos22=22m,則該直線的一般式為y+x-m=0.圓的極坐標方程為=b,其標準方程為x2+y2=b2.直線與圓O相切,|m|2=b,|m|=2b.又直線l經(jīng)過橢圓C的焦點,三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應寫出

15、文字說明、證明過程或演算步驟.17.(2013湖北,理17)(本小題滿分12分)在ABC中,角A,B,C對應的邊分別是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面積S=53,b=5,求sin Bsin C的值.解:(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=12或cos A=-2(舍去)因為0A,所以A=3(2)由S=12bcsin A=12bc32=34bc=53,得由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故a=

16、21.又由正弦定理得sin Bsin C=basin Acasin A=bca2sin18.(2013湖北,理18)(本小題滿分12分)已知等比數(shù)列an滿足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)是否存在正整數(shù)m,使得1a1+1a2+1am1?若存在,解:(1)設等比數(shù)列an的公比為q,則由已知可得a解得a故an=533n-1,或an=-5(-1)n-1(2)若an=533n-1,則1an=3513n-1從而=9101若an=(-5)(-1)n-1,則1an=-15(-1)n-1,故1an是首項為-15,公比為-1的等比數(shù)列綜上,對任何正整數(shù)m,總有n=

17、1故不存在正整數(shù)m,使得1a1+1a219.(2013湖北,理19)(本小題滿分12分)如圖,AB是圓O的直徑,點C是圓O上異于A,B的點,直線PC平面ABC,E,F分別是PA,PC的中點.(1)記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關系,并加以證明;(2)設(1)中的直線l與圓O的另一個交點為D,且點Q滿足DQ=12CP,記直線PQ與平面ABC所成的角為,異面直線PQ與EF所成的角為,二面角E-l-C的大小為,求證:sin =sin (1)解:直線l平面PAC,證明如下:連接EF,因為E,F分別是PA,PC的中點,所以EFAC.又EF平面ABC,且AC平面ABC,

18、所以EF平面ABC.而EF平面BEF,且平面BEF平面ABC=l,所以EFl.因為l平面PAC,EF平面PAC,所以直線l平面PAC.圖1(2)證明:(綜合法)如圖1,連接BD,由(1)可知交線l即為直線BD,且lAC.因為AB是O的直徑,所以ACBC,于是lBC.已知PC平面ABC,而l平面ABC,所以PCl.而PCBC=C,所以l平面PBC.連接BE,BF,因為BF平面PBC,所以lBF.故CBF就是二面角E-l-C的平面角,即CBF=.由DQ=12CP,作DQCP,連接PQ,DF,因為F是CP的中點,CP=2PF,所以DQ=PF,從而四邊形DQPF是平行四邊形,PQFD.連接CD,因為P

19、C平面ABC,所以CD是FD在平面ABC內的射影,故CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角,即CDF=.又BD平面PBC,有BDBF,知BDF為銳角,故BDF為異面直線PQ與EF所成的角,即BDF=,于是在RtDCF,RtFBD,RtBCF中,分別可得sin =CFDF,sin =BFDF,sin =從而sin sin =CFBFBFDF=CFDF即sin =sin sin .圖2(向量法)如圖2,由DQ=12CP,作DQCP,連接PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交線l即為直線BD.以點C為原點,向量CA,CB,CP所在直線分別為x、y、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,設CA=a

20、,CB=b,CP=2c,則有C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),E12a,0,c于是FE=12a,0,0,QP=(-a,-b,c所以cos =|FEQP|FE|又取平面ABC的一個法向量為m=(0,0,1),可得sin =|m設平面BEF的一個法向量為n=(x,y,z),所以由nFE=0,nBF=0,可得12ax=0于是|cos |=|m從而sin =1-故sin sin =b2+c2a2+b2+c2cb2+c220.(2013湖北,理20)(本小題滿分12分)假設每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的橢機變量.

21、記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0.(1)求p0的值;(參考數(shù)據(jù):若XN(,2),有P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4,P(-3X+3)=0.997 4.)(2)某客運公司用A,B兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務,每車每天往返一次.A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,從甲地去乙地的營運成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛.公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊,并要求B型車不多于A型車7輛.若每天要以不小于p0的概率運完從甲地去乙地的旅客,且使公司從甲地去乙地的營運成本最小,那么應配備A型車、B型車各多少輛?解:(1)

22、由于隨機變量X服從正態(tài)分布N(800,502),故有=800,=50,P(700X900)=0.954 4.由正態(tài)分布的對稱性,可得p0=P(X900)=P(X800)+P(800X900)=12+12P(700n),過原點且不與x軸重合的直線l與C1,C2的四個交點按縱坐標從大到小依次為A,B,C,D.記=mn,BDM和ABN的面積分別為S1和S2(1)當直線l與y軸重合時,若S1=S2,求的值;(2)當變化時,是否存在與坐標軸不重合的直線l,使得S1=S2?并說明理由.解:依題意可設橢圓C1和C2的方程分別為C1:x2a2+y2m其中amn0,=mn圖1(1)解法1:如圖1,若直線l與y軸

23、重合,即直線l的方程為x=0,則S1=12|BD|OM|=12a|BD|,S2=12|AB|ON|=所以S1在C1和C2的方程中分別令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,于是|BD若S1S2=,則+1-1=由1,可解得=2+1.故當直線l與y軸重合時,若S1=S2,則=2+1.解法2:如圖1,若直線l與y軸重合,則|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;S1=12|BD|OM|=12S2=12|AB|ON|=1所以S1若S1S2=,則+1-1=由1,可解得=2+1.故當直線l與y軸重合時,若S1=S2,則=2+1.圖2(2)解法1:如圖2,若存在與坐

24、標軸不重合的直線l,使得S1=S2.根據(jù)對稱性,不妨設直線l:y=kx(k0),點M(-a,0),N(a,0)到直線l的距離分別為d1,d2,則d1=|-ak-0|1+k2=ak1+k2又S1=12|BD|d1,S2=12|AB|d2,所以S1S2=|由對稱性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(-1)|AB|,|AD|=|BD|+|AB|=(+1)|AB|,于是|AD|將l的方程分別與C1,C2的方程聯(lián)立,可求得xA=ama2k2+m根據(jù)對稱性可知xC=-xB,xD=-xA,于是|=mna從而由和式可得a2k令t=+1(-1),則由mn,可得t1因為k0,所以k20.于是式關于k有解,當且僅當n2(等價于(t2-1)t2-121即1+1(-1)1,當11+2時,存在與坐標軸不重合的直線l使得S1=S2.解法2:如圖2,若存在與坐標軸不重合的直線l,使得S1=S2.根據(jù)對稱性,不妨設直線l:y=kx(k0),點M(-a,0),N(a,0)到直線l的距離分別為d1,d2,則d1=|-ak-0|1+k2=ak1+k2又S1=12|BD|d1,S2