1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(江西卷)數(shù)學(xué)(文科)第卷一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2014江西,文1)若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2i(i為虛數(shù)單位),則|z|=(). A.1B.2C.2D.3答案:C解析:z(1+i)=2i,|z|1+i|=|2i|.|z|2=2.|z|=2.2.(2014江西,文2)設(shè)全集為R,集合A=x|x2-90,B=x|-1x5,則A(RB)=().A.(-3,0)B.(-3,-1)C.(-3,-1D.(-3,3)答案:C解析:由已知可得A=x|-3x5,故ARB=x|-3x-

2、1=(-3,-1.3.(2014江西,文3)擲兩顆均勻的骰子,則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于().A.118B.19C.16答案:B解析:擲兩顆均勻的骰子,共有36個(gè)基本事件,其中和為5的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4個(gè).故所求概率為4364.(2014江西,文4)已知函數(shù)f(x)=a2x,x0,2-x,xcb2”的充要條件是“ac”C.命題“對(duì)任意xR,有x20”的否定是“存在xR,有x20”D.l是一條直線,是兩個(gè)不同的平面,若l,l,則答案:D解析:對(duì)于A項(xiàng),當(dāng)ac”推不出“ab2cb2”.對(duì)于C項(xiàng),否定應(yīng)為存在xR,x20還是a0時(shí),可判斷得A,C項(xiàng)中圖像都有

3、可能.第卷二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.11.(2014江西,文11)若曲線y=xln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.答案:(e,e)解析:設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由y=xln x,得y=ln x+1,則切線的斜率k=ln x0+1.由已知可得ln x0+1=2.x0=e.y0=x0ln x0=e.切點(diǎn)的坐標(biāo)為(e,e).12.(2014江西,文12)已知單位向量e1,e2的夾角為,且cos =13,若向量a=3e1-2e2,則|a|=答案:3解析:由題意知|a|2=a2=(3e1-2e2)2=9e12+4e22-12e1e2=9+4-

4、1213=9.故13.(2014江西,文13)在等差數(shù)列an中,a1=7,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)Sn取得最大值,則d的取值范圍為.答案:-解析:由題意知當(dāng)d0,數(shù)列an中所有非負(fù)項(xiàng)的和最大.又當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí),Sn取最大值,a80,a914.(2014江西,文14)設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦點(diǎn)為F1,F2,過F2作x軸的垂線與C相交于A,B兩點(diǎn),F1B與y軸相交于點(diǎn)D,若ADF答案:3解析:連接AF1,ODAB,O為F1F2的中點(diǎn),D為BF1的中點(diǎn).又ADBF1,|AF1|=|AB|.|AF1|=2|AF2|.設(shè)|AF2|=n,則|AF1|=2n,|

5、F1F2|=3n.e=ca15.(2014江西,文15)x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,則x+y的取值范圍為.答案:0,2解析:|x|+|x-1|x-(x-1)|=1,當(dāng)且僅當(dāng)0 x1時(shí)取等號(hào),|y|+|y-1|y-(y-1)|=1,當(dāng)且僅當(dāng)0y1時(shí)取等號(hào),|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2.又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,只有當(dāng)0 x1,0y1時(shí),兩式同時(shí)成立.0 x+y2.三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.(本小題滿分12分)(2014江西,文16)已知函數(shù)f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+

6、)為奇函數(shù),且f4=0,其中aR,(0,)(1)求a,的值.(2)若f4=-25,2,分析:(1)由函數(shù)f(x)為奇函數(shù),可知函數(shù)y=cos(2x+)為奇函數(shù),求出的值,再把x=4代入f(x)中求a的值(2)由(1)化簡(jiǎn)f(x),利用f4=-25,求出sin ,進(jìn)而利用平方關(guān)系求出cos ,解:(1)因?yàn)閒(x)=(a+2cos2x)cos(2x+)是奇函數(shù),而y1=a+2cos2x為偶函數(shù),所以y2=cos(2x+)為奇函數(shù).又(0,),得=2所以f(x)=-sin 2x(a+2cos2x),由f4=0得-(a+1)=0,即a=-1(2)由(1)得,f(x)=-12sin 4x因?yàn)閒4=-1

7、2sin =-即sin =45,又2,從而cos 所以有sin+3=sin cos 3+cos 17.(本小題滿分12分)(2014江西,文17)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n2-n2,(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)證明:對(duì)任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比數(shù)列.分析:(1)利用an=S1,(2)運(yùn)用分析法,尋求使a1,an,am成等比數(shù)列時(shí),m,n的關(guān)系,分析對(duì)n1時(shí),m的值是否為自然數(shù),且mn是否成立,進(jìn)行證明.(1)解:由Sn=3n2-n2,得a1=S1=1,當(dāng)n2時(shí),an=S所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為:an=3n-2.(2)證明:要使得a1,an,am成等比數(shù)列,

8、只需要an2=a1am,即(3n-2)2=1(3m-2),即m=3n2而此時(shí)mN*,且mn.所以對(duì)任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比數(shù)列.18.(本小題滿分12分)(2014江西,文18)已知函數(shù)f(x)=(4x2+4ax+a2)x,其中a0的解集得遞增區(qū)間;(2)第一步:計(jì)算f(x),并求f(x)=0的x值,得出f(x)的單調(diào)性;第二步:f(x)的解析式可化為f(x)=(2x+a)2x,分析出f(x)0且f-a2第三步:結(jié)合第一,二步的分析,只需討論x=-a2與區(qū)間1,4的關(guān)系,求出f(x)在1,4上的最小值,建立a的方程求解解:(1)當(dāng)a=-4時(shí),由f(x)=2(5x-2

9、)(x-由f(x)0得x0,25或x(2,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,25和(2,+(2)因?yàn)閒(x)=(10 x+a)(2x+a由f(x)=0得x=-a10或x=-a當(dāng)x0,-a10時(shí),f(x當(dāng)x-a10,-a2時(shí),f當(dāng)x-a2,+時(shí),f易知f(x)=(2x+a)2x0,且f-a當(dāng)-a21時(shí),即-2a0時(shí),f(x)在1,4上的最小值為f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=22-2,均不符合題意當(dāng)1-a24時(shí),即-8a4時(shí),即a-8時(shí),f(x)在1,4上的最小值可能在x=1或x=4上取得,而f(1)8由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去),當(dāng)a=

10、-10時(shí),f(x)在(1,4)單調(diào)遞減,f(x)在1,4上的最小值為f(4)=8,符合題意.綜上有,a=-10.19.(本小題滿分12分)(2014江西,文19)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1BC,A1BBB1.(1)求證:A1CCC1;(2)若AB=2,AC=3,BC=7,問AA1為何值時(shí),三棱柱ABC-A1B1C1體積最大,并求此最大值.分析:(1)證明線線垂直可用線面垂直證明,即用已知的線線垂直證明線面垂直,利用線面垂直的性質(zhì)得線線垂直.(2)設(shè)出變量,建立體積函數(shù)求最值.解法一:設(shè)A1A=x,求出A1B,A1C的長,利用余弦定理求cosBA1C,sinBA1C,進(jìn)而得出SA

11、1BC,解法二:過A1作BC的垂線A1D,利用線面垂直證明ADBC,設(shè)A1A=x,利用等面積法求出AD,再利用勾股定理求出A1D,表示出SA1BC,(1)證明:由AA1BC知BB1BC,又BB1A1B,故BB1平面BCA1,即BB1A1C,又BB1CC1,所以A1CCC1.(2)解法一:設(shè)AA1=x,在RtA1BB1中,A1B=A1同理,A1C=A1在A1BC中,cosBA1C=A=-x2sinBA1C=12-所以SA1BC=12A1BA1C從而三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S直l=SA1BCAA因x12=-7故當(dāng)x=67=427時(shí),即AA1=427時(shí),解法二:過A1作BC的垂線,垂足為

12、D,連接AD.由AA1BC,A1DBC,故BC平面AA1D,BCAD.又BAC=90,所以SABC=12ADBC=12ABAC得AD=設(shè)AA1=x,在RtAA1D中,A1D=ADSA1BC=12從而三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S直l=SA1BCAA因x12=-7故當(dāng)x=67=427時(shí),即AA1=427時(shí),20.(本小題滿分13分)(2014江西,文20)如圖,已知拋物線C:x2=4y,過點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)證明:動(dòng)點(diǎn)D在定直線上;(2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點(diǎn)N1,與

13、(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2,證明:|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值.分析:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),設(shè)出AB的直線方程,與拋物線方程x2=4y聯(lián)立求出x1x2,利用A,B坐標(biāo)寫出AO與BD的直線方程,解出點(diǎn)D的坐標(biāo),消去參數(shù)x1,x2,y1,y2即可.(2)設(shè)出切線l的方程,利用直線與拋物線相切,簡(jiǎn)化l的方程,進(jìn)而求出N1與N2的坐標(biāo),代入|MN2|2-|MN1|2中化簡(jiǎn)即可.(1)證明:依題意可設(shè)AB方程為y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x2=-8,直線AO的方程為y=

14、y1x1x;BD的方程為解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為x=注意到x1x2=-8及x12=4y1,則有y=因此D點(diǎn)在定直線y=-2上(x0).(2)解:依題設(shè),切線l的斜率存在且不等于0,設(shè)切線l的方程為y=ax+b(a0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由=0得(4a)2+16b=0,化簡(jiǎn)整理得b=-a2.故切線l的方程可寫為y=ax-a2.分別令y=2,y=-2得N1,N2的坐標(biāo)為N12a+a,2,則|MN2|2-|MN1|2=2a-a2+42即|MN2|2-|MN1|2為定值8.21.(本小題滿分14分)(2014江西,文21)將連續(xù)正整數(shù)1,2,n(nN*)從小到大

15、排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)123n,F(n)為這個(gè)數(shù)的位數(shù)(如n=12時(shí),此數(shù)為123456789101112,共有15個(gè)數(shù)字,F(12)=15),現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字,p(n)為恰好取到0(1)求p(100);(2)當(dāng)n2 014時(shí),求F(n)的表達(dá)式;(3)令g(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù),f(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù),h(n)=f(n)-g(n),S=n|h(n)=1,n100,nN*,求當(dāng)nS時(shí)p(n)的最大值.分析:(1)由題意先將1100按序排好,確定1位數(shù),2位數(shù)和3位數(shù)的個(gè)數(shù),即可求得F(100),再求出含有0的個(gè)數(shù)m,則p(100)=mF(100);(2)因?yàn)镕(n)由這些數(shù)的位數(shù)確定,故要依據(jù)n的位數(shù)進(jìn)行分類討論,將F(n)表示成分段函數(shù);(3)要根據(jù)n的位數(shù)不同分別確定這些數(shù)字中含0與9的個(gè)數(shù),然后求和即得g(n),f(n).再由h(n)=1,即f(n)-g(n)=1確定n的取值,從而得出p(n)的表達(dá)式,最后利用p(解:(1)當(dāng)n=100時(shí),這個(gè)數(shù)中總共有192個(gè)數(shù)字,其中數(shù)字0的個(gè)數(shù)為11,所以恰好取到0的概率為p(100)=11192(2)F(n)=n(3)當(dāng)n=b(1b9,bN*),g(n)=0;當(dāng)n=10k+b(1k9,0b9,kN*,bN)時(shí),g(n)=k;當(dāng)