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1、近世代數(shù)第二章 群論 7陪集、指數(shù)和Lagrange定理 10/12/2022一、集合的積設(shè) 為群,是群 子集, 定義若，則 的兩個(gè)非空 10/12/2022二、陪集的引入引例 整數(shù)加群，模4的剩余類(lèi)：構(gòu)成的一個(gè)分類(lèi)：現(xiàn)利用群的觀點(diǎn)，分析此分類(lèi)的特點(diǎn)： 分類(lèi)中存在一個(gè)特殊的類(lèi)0是子群, 而其余的類(lèi)都不是子群. 每個(gè)類(lèi)正好是這個(gè)子群乘上這個(gè)類(lèi)中任取定的一個(gè)元素.i=i+0. 10/12/2022三、子群陪集的定義 定義1 設(shè),. 稱群的子集和分別為在中的左陪集與右陪集.思考題1 若, 又設(shè),那么“”成立嗎?為什么?不一定是交換群,所以未必成立.答：由于 10/12/2022例1在中的全部不同的左

2、陪集有: 10/12/2022例1在中的全部不同的右陪集有: 10/12/2022四、陪集的性質(zhì)及陪集分解 左陪集的性質(zhì)及左陪集分解 2） 3） 4）1）群中每個(gè)元素屬于且只屬于一個(gè)左陪集，可以按照其子群的左陪集分類(lèi).的按照其子群的左陪集分類(lèi)中除去外，再無(wú)子群因此群群存在. 10/12/2022定義2設(shè)是子群在群中的所有不同的左陪集，稱等式為群關(guān)于子群的左陪集分解，而稱為群的一個(gè)左陪集代表系.關(guān)于子群 10/12/2022右陪集的性質(zhì)及右陪集分解1） 2） 3） 4） 10/12/2022五、右陪集與左陪集的對(duì)應(yīng)關(guān)系 定理 1設(shè)，則群陪集含有相同個(gè)數(shù)的元素；且在中是到的一一映射;是,則是到映射

3、.的任何兩個(gè)證明 集的個(gè)數(shù)與右陪集的個(gè)數(shù)相同.左陪到的一一映射;,的一一 10/12/2022由定理1知，即是群關(guān)于子群的一是群的一個(gè)右陪集代表系.個(gè)左陪集代表系，則關(guān)于子群 10/12/2022思考題2？（）（）？ 10/12/2022六、指數(shù)和Lagrange定理 定義 3稱群的子群的不同左(右)在中的指數(shù).陪集的個(gè)數(shù)(有限或無(wú)限)為記作定理 2 (Lagrange定理)有限群，則.例1中 10/12/2022Lagrange定理證明證明 因?yàn)? 所以也是有限群，且由定理1, 且所以, 在中左陪集的個(gè)數(shù)也有限. 設(shè)從而 10/12/2022推論推論1有限群子群的階整除群的階.的任一元素的階

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