1、第一章數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)篇第一章數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)篇 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是以概率論為理論基礎(chǔ)的具有廣泛應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)科。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究如何有效地收集數(shù)據(jù)，如何對(duì)所獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析，從而為隨機(jī)現(xiàn)象選擇合適的數(shù)學(xué)模型并提供檢驗(yàn)方法，在此基礎(chǔ)上對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的性質(zhì)、特點(diǎn)和統(tǒng)計(jì)規(guī)律做出推斷和預(yù)測(cè)，直至為決策提供依據(jù)和建議。1.1 數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)介 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是以概率論為理論基礎(chǔ)的具有廣泛應(yīng)用的 1.2 總體、樣本與統(tǒng)計(jì)量稱研究對(duì)象的全體為總體，總體中的每個(gè)單元為個(gè)體。從總體中隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體，稱這n個(gè)個(gè)體為容量為n的樣本。一、 總體與樣本例如: 研究某工廠生產(chǎn)的

2、某種產(chǎn)品的廢品率，則這種產(chǎn)品的全體就是總體，而每件產(chǎn)品都是一個(gè)個(gè)體。 1.2 總體、樣本與統(tǒng)計(jì)量稱研究對(duì)象的全體為總體，總體中 實(shí)際上，我們真正關(guān)心的是總體或個(gè)體的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)。 某電子產(chǎn)品的使用壽命某天的最高氣溫加工出來(lái)的某零件的長(zhǎng)度等數(shù)量指標(biāo)。因此，將總體理解為那些研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的全體。例如： 實(shí)際上，我們真正關(guān)心的是總體或個(gè)體的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)。 總體的三層含義： 研究對(duì)象的全體； 數(shù)據(jù)； 分布總體的三層含義： 研究對(duì)象的全體； 數(shù)據(jù)； 分布樣本具有兩重性 一方面，由于樣本是從總體中隨機(jī)抽取的，抽 取前無(wú)法預(yù)知它們的數(shù)值，因此，樣本是隨機(jī) 變量，用大寫字母 X1, X2, , Xn

3、表示； 另一方面，樣本在抽取以后經(jīng)觀測(cè)就有確定的 觀測(cè)值，因此，樣本又是一組數(shù)值。此時(shí)用小 寫字母 x1, x2, , xn 表示。樣本具有兩重性 一方面，由于樣本是從總體中隨機(jī)抽取的，抽 獨(dú)立性: 樣本中每一樣品的取值不影響其 它樣品的取值 - x1, x2, , xn 相互獨(dú)立。要使得推斷可靠，對(duì)樣本就有要求，使樣本能很好地代表總體。通常有如下兩個(gè)要求： 隨機(jī)性: 總體中每一個(gè)個(gè)體都有同等機(jī)會(huì) 被選入樣本 - xi 與總體X有相同的分布。樣本的要求：簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（iid樣本） 獨(dú)立性: 樣本中每一樣品的取值不影響其 要使得推斷可靠設(shè)總體X具有分布函數(shù)F(x), x1, x2, , xn 為

4、取自該總體的容量為n的樣本，則樣本聯(lián)合分布函數(shù)為于是，樣本 x1, x2, , xn 可以看成是獨(dú)立同分布( iid ) 的隨機(jī)變量，其共同分布即為總體分布。設(shè)總體X具有分布函數(shù)F(x), x1, x2, , xn 總體 X 服從正態(tài)分布N(,2), 概率密度為 現(xiàn)從總體 X 中隨機(jī)抽取樣本 X1,Xn ,因其獨(dú)立同分布于總體 X即： Xi N(,2), i1,2,n.于是，樣本X1,X2,Xn 的聯(lián)合概率密度為例1總體 X 服從正態(tài)分布N(,2), 概率密度為 定義1（ 統(tǒng)計(jì)量） X1, , Xn 是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，g(X1, , Xn)是X1, , Xn的函數(shù)，若g中不含未知參數(shù)，則

5、稱g( X1, , Xn）是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。二、統(tǒng)計(jì)量不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。它是完全由樣本所決定的量。定義1（ 統(tǒng)計(jì)量） X1, , Xn 是來(lái)自總體X的一個(gè)樣幾個(gè)常見統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本方差 反映總體均值的信息 反映總體方差的信息樣本標(biāo)準(zhǔn)差幾個(gè)常見統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本方差 反映總體 反映總體樣本標(biāo)樣本 k 階原點(diǎn)矩樣本 k 階中心矩 k=2,3, 反映總體k 階矩的信息反映總體k 階中心矩的信息樣本 k 階原點(diǎn)矩樣本 k 階中心矩 k=2,3, 反映總常用統(tǒng)計(jì)量的觀察值記為常用統(tǒng)計(jì)量的觀察值記為定理2數(shù)據(jù)觀測(cè)值與均值的偏差平方和 最小，即在形如 (xic)2 的函數(shù)中，樣本均值與樣

6、本方差的基本性質(zhì)：定理1若把樣本中的數(shù)據(jù)與樣本均值之差稱為偏差，則樣本所有偏差之和為0，即 最小，其中c為任意給定常數(shù)。定理2數(shù)據(jù)觀測(cè)值與均值的偏差平方和樣本均值與樣本方差的基本性樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差，以及樣本方差的數(shù)學(xué)期望都不依賴于總體的分布形式。定理3 設(shè)總體 X 具有二階矩，即 E(x)= , Var(x)=2 , x1, x2, , xn 為從該總體得到的樣本，x和s2 分別是樣本均值和樣本方差，則 E( x )=, Var( x )=2 /n, E(s2) =2 樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差，以及樣本方差的數(shù)學(xué)期望都不依賴于總 1.3 次序統(tǒng)計(jì)量及其分布 另一類常見的統(tǒng)計(jì)量是次序統(tǒng)計(jì)

7、量。定義2 設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體X的樣本, x(i) 稱為該樣本的第i 個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量，它的取值 是將樣本觀測(cè)值由小到大排列后得到的第 i 個(gè) 觀測(cè)值。其中 x(1)=minx1, x2, xn稱為該樣本的最小次序統(tǒng)計(jì)量， x(n)=maxx1,x2,xn稱為該樣本的最大次序統(tǒng)計(jì)量。 1.3 次序統(tǒng)計(jì)量及其分布 另一類常見的統(tǒng)計(jì)量是次序統(tǒng)小結(jié) 本講首先介紹了樣本與統(tǒng)計(jì)量的基本概念，包括：總體、個(gè)體、樣本、總體分布與樣本分布；然后介紹了統(tǒng)計(jì)量的概念和幾個(gè)常見的統(tǒng)計(jì)量：樣本均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、 k 階原點(diǎn)矩和k 階中心矩。小結(jié) 本講首先介紹了樣本與統(tǒng)計(jì)量的基本概念，包作業(yè)教材第1

8、9頁(yè)習(xí)題一： 第1題第9題作業(yè)教材第19頁(yè)習(xí)題一：謝謝！謝謝！ 統(tǒng)計(jì)量既然依賴于樣本，而后者又是隨機(jī)變量，故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量，有一定的分布，這個(gè)分布稱為統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布。 1.4 抽樣分布 統(tǒng)計(jì)量既然依賴于樣本，而后者又是隨機(jī)變量，故. 2 分布 定義1: 設(shè) X1, X2, , Xn 相互獨(dú)立，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0, 1), 則稱隨機(jī)變量服從自由度為 n 的卡方分布，記成 一、 三個(gè)重要的分布. 2 分布 定義1: 設(shè) X1, X2, , 分布的密度函數(shù)為 分布的密度函數(shù)為該密度函數(shù)的圖像是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布 分布密度函數(shù)曲線該密度函數(shù)的圖像是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布 分布密度函

9、數(shù)曲線由 分布的定義，不難得到其如下性質(zhì)：由 分布的定義，不難得到其如下性質(zhì)：2 分布上 分位數(shù)有表可查，見附表3。對(duì)于給定的 (0,1), 稱滿足條件的點(diǎn) 2(n)為 2分布的上 分位數(shù)。分布分位數(shù)2 分布上 分位數(shù)有表可查，見附表3。對(duì)于給定的 (t 分布的密度函數(shù)為為服從自由度 n 的 t 分布，記為 T t(n)。2 t 分布定義2: 設(shè) X N(0, 1) , Y 2(n) , 且 X與Y 相互獨(dú)立則稱隨機(jī)變量t 分布的密度函數(shù)為為服從自由度 n 的 t 分布，記為 T t 分布的密度函數(shù)的圖象是一個(gè)關(guān)于縱軸對(duì)稱的分布，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形狀類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些尾部

10、的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。t分布密度函數(shù)曲線 t 分布的密度函數(shù)的圖象是一個(gè)關(guān)于縱軸對(duì)稱的分布，與標(biāo)準(zhǔn)正若 T t(n) , 對(duì)給定的 (0,1)，稱滿足條件t 分布的分位數(shù)的點(diǎn) t(n)為 t(n) 分布上 分位數(shù)。t 分布的上 分位數(shù)有表可查，見附表2。 t(n) 分布上 分位點(diǎn)示意圖若 T t(n) , 對(duì)給定的 (0,1)，稱滿足條3 . F 分布 則稱 F =(X/m)/(Y/n)服從第一自由度為m，第二自由度為n 的 F 分布。記為 F F(m,n) 。定義3：3 . F 分布 F 分布的密度函數(shù)為F 分布的密度函數(shù)為該密度函數(shù)的圖象也是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布 該密度函數(shù)的圖象

11、也是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布 若 FF(m,n)，對(duì)給定的 (0,1), 稱滿足條件F 分布的分位數(shù)的點(diǎn) F(m,n)為F分布的上 分位數(shù)。.F 分布上 分位數(shù)有表可查，見附表5。 F 分布上 分位點(diǎn)示意圖 若 FF(m,n)，對(duì)給定的 (0,1), 稱滿足條分布分位數(shù)的性質(zhì)證明：若 X F(m,n)，則 Y = X -1 F(n,m)。依分位數(shù)定義，上式等價(jià)于分布分位數(shù)的性質(zhì)證明：若 X F(m,n)，則 Y =再根據(jù) F(n,m) 的上 分位點(diǎn)定義，有這就證明了性質(zhì)再根據(jù) F(n,m) 的上 分位點(diǎn)定義，有這就證明了性 例如：對(duì)m=12, n=9, =0.95, 我們?cè)?F 分布表中查不到

12、F0.95(12，9)，但由性質(zhì)知可從F 分布 表中查到在通常 F 分布表中，只對(duì) 比較小的值,如 = 0.01, 0.05, 0.025及0.1等列出了分位數(shù)。但有時(shí)我們也需要知道 比較大的分位數(shù)，它們?cè)?F 分布表中查不到。這時(shí)我們就可利用分位數(shù)的性質(zhì)把它們計(jì)算出來(lái)。 例如：對(duì)m=12, n=9, =0.95, 我們?cè)诙ɡ?2.1：二、抽樣分布定理定理 2.1：二、抽樣分布定理 定理2.：設(shè) X1, X2, , Xm是抽自正態(tài)總體X 的樣本，XN(1, 12)，樣本均值與樣本方差為Y1, Y2, , Yn 是抽自正態(tài)總體 Y 的樣本，Y N(2, 22)，樣本均值與樣本方差為 定理2.：設(shè)

13、 X1, X2, , Xm是抽自正態(tài)總當(dāng)兩樣本相互獨(dú)立時(shí)，有當(dāng)兩樣本相互獨(dú)立時(shí)，有證明:I.由定理2.1，知 故，式成立；證明:I.由定理2.1，知 故，式且二者相互獨(dú)立。且二者相互獨(dú)立。且(3)式與(4)式中的隨機(jī)變量相互獨(dú)立。由 t 分布的定義，得且(3)式與(4)式中的隨機(jī)變量相互獨(dú)立。N(0,1)換形式分母互換N(0,1)換形式分母互換 2(m+n-2) t( m+n -2). 2(m+n-2) t( m+n -2). 例1. 從正態(tài)總體N(4.2, 52)中抽取容量為n的樣本，若要求其樣本均值位于區(qū)間(2.2, 6.2)內(nèi)的概率不小于0.95，則樣本容量至少為多少？ 若要求其樣本均值位于區(qū)間內(nèi)的概率不小于0.95，則樣本容量至少為25。例1. 從正態(tài)總體N(4.2, 52)中抽取容量為n的樣本，例2 設(shè)隨機(jī)變量Xt(n) (n1)，Y1=X2，