1、類微生物模型的動力學(xué)分析摘 要：艱難梭菌感染!clostridium difficile infection,CDI)是一個嚴(yán)重影響人類健康的疾病，而闌尾細(xì)菌可以 在一定程度上抑制CDI的發(fā)生和感染.考慮了一類艱難梭菌感染的三維系統(tǒng)，用微分方程定性理論的知識分析系 統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性和閉軌的不存在性.關(guān)鍵詞：非線性動力學(xué)；平衡點(diǎn)；閉軌;CDI(1(1)(2)成人的腸胃微生物種群是一個生態(tài)系統(tǒng)，一般 來說是相對穩(wěn)定的；但一些外部的干擾，如飲食的急 劇變化，或抗生素的使用，會讓微生物種群失調(diào)，從 而影響腸胃功能，或誘發(fā)疾病.例如，長期使用抗生 素，尤其是克林霉素，容易引起菌群失調(diào)，使耐藥的 艱難梭菌

2、被藥物選擇出后大量繁殖而致病，導(dǎo)致抗 生素相關(guān)性腹瀉，這就是艱難梭菌感染(CDI).而闌 尾可以保護(hù)結(jié)腸免受艱難梭菌的感染.一方面，闌尾 將細(xì)菌引入腸道，與艱難梭菌進(jìn)行競爭；另一方面， 闌尾可以激發(fā)身體免疫來抵抗CDI，但目前尚沒有 可靠的科學(xué)依據(jù)，需要進(jìn)一步的觀察研究.文獻(xiàn)1( 從微生物群落的角度來考慮這個問題，提出闌尾和 腸道微生物群的生態(tài)模型來描述闌尾細(xì)菌和CDI 之間的關(guān)系.它忽略炎癥動力學(xué)，并考慮闌尾僅通過 遷移作用于結(jié)腸微生物系統(tǒng).闌尾細(xì)菌(A)被視為 促進(jìn)結(jié)腸“好”細(xì)菌(G)生長的單一的類別.這些共 生細(xì)菌與艱難梭菌(C)競爭資源.這些變量的時間演 變由下面三個耦合微分方程組給出

3、：=+# (1 ) 4#， TOC o 1-5 h z dtkdGG + dC ,.,亍=$G (1,) + mA，dtIde % C + G)IdT = e(1L )v 其中，+描述闌尾細(xì)菌的最大增長率，$描述結(jié)腸細(xì) 菌的最大增長率，；描述艱難桿菌的最大增長率，m 描述細(xì)菌從闌尾到結(jié)場的遷移率，以上取值范圍均 為01; k描述闌尾容納量，取值范圍為010; 描述結(jié)腸容納量，取值范圍為10/107 ; d描述竟 爭效應(yīng)對結(jié)腸細(xì)菌的影響，/描述競爭效應(yīng)對闌尾 細(xì)菌的影響，取值范圍均為。10.文獻(xiàn)1(求出系 統(tǒng)(1)的極限方程，并求出了極限方程的平衡點(diǎn)和它 們的存在條件及穩(wěn)定性.本文將避開極限方程

4、，直接 考慮三維系統(tǒng)(1).本文首先分析出它的平衡點(diǎn)個 數(shù)，然后分析平衡點(diǎn)的存在性和閉軌的不存在性.平衡點(diǎn)的存在性用變量代換 A = 9$ + G = yl + C = zl + t = D、a =9( + m)、7 = 、s = 4、c = 4.并把 t 換成 t， +k $l$那么系統(tǒng)(1)就變?yōu)?dx-qbx (x )，dtdy, = y y2 dyz +cx， dtd = s *z z2 fyz).新的參數(shù)、b、f、c、s取值范圍分別為(一，)、(0,)、(0,)、(0,)、(0,).因?yàn)橄到y(tǒng)(2)是 二次的，所以最多有8個平衡點(diǎn)，分別記為E%、E、 E/ 62 67、Es、E&、E；

5、,其中 E, (10,08, 1N)如 證明中所定義.命題1系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)Ei、E、E7總是存 平衡點(diǎn)E/E都存在；當(dāng)V-2時，E/E 不存 在 當(dāng)2 V- V0 時,E/、E2 存在.E4、E&、E；的 存在性如表1所示. 當(dāng) ar/0時，E/E 只有一個存在；當(dāng)ar = 0時，表1 Ey、E,、Ez的存在性dfar平衡點(diǎn)的分布/ (d 1)2E4存在a，V4(fd 1)0f0E。存在E&E；只有一個存在,1arV0E4、E&、E8都不存在f dar0不存在，E&、E；只有一個存在f1arV0ar0不存在,E&、E；只有一個存在E。、E&、E；不存在0VfV1arV0ar0存在，E&、E

6、；不存在 存在，E&、E8只有一個存在d = 1f=1arV0ar0不存在E&E；只有一個存在 不存在,E& ,E；不存在f1arV0E。存在E&E；只有一個存在ar0存在E&、E；不存在10VfVdarV0ar0E。、E&、E；不存在 不存在，E&、E；只有一個存在f 1arV0不存在,E&、E；只有一個存在f dar0E4、E&、E8都不存在arV0不存在，E&、E8只有一個存在1VdV10fd0Var4(fd-1)存在在證明為了得到系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性，采用如下的方法化簡由系統(tǒng)(2)的第一個方程和第三個方程 解得:9 =0,N=0,或 9 =-,=0,或 9 =0, =1 Eh，或9 =-

7、 , =1 .fy將這四個解分別帶入系統(tǒng) (2)的第二個方程，得到四個二次函數(shù)：fi(y)= (y 1)y、E(y) = y2 Wy Warf/ (y) = y (Tfy y d + 1)、f4(y) = (d f 1) y2 W (1 T)y W ar.因?yàn)橄到y(tǒng)的平衡點(diǎn)與上述四個二次函數(shù)的非負(fù) 數(shù)根一一對應(yīng)，則f 1 (y)總是有兩個解，對應(yīng)著總 是存在兩個平衡點(diǎn)E1和E2.對于f 2 (y )，當(dāng) ar V。，那么它在(0 ,)上 只有一個實(shí)根，對應(yīng)著平衡點(diǎn)E/；另外，當(dāng)=0 時，0也是它的一個根，對應(yīng)著平衡點(diǎn)Er當(dāng)V2時系統(tǒng)沒有正根，對應(yīng)著E/E不存在；當(dāng)一2 VarV0時，系統(tǒng)有兩個正

8、根，對應(yīng)著E/、E4存在.f/ (y) 一定有一個根為。，對應(yīng)著平衡點(diǎn)E5,還有一個解為y =,對應(yīng)著平衡點(diǎn)E6，它的存在條df 1件是 & 0,既(d 1) (df 1)/0 或 d = 1.df 1當(dāng) df1=當(dāng) df1=0 時，如果-c(d 1) 。或d =1, f 4 (y)沒有 實(shí)根.當(dāng)df 1 4 0時，f4(y)化成標(biāo)準(zhǔn)形式為 (4 (y) = y+By+C，其中 B= fC = df14adfr 4ar d + d 140,B 4C = 4aC d 1 .則當(dāng)B 0,C0, A -4C0時，有兩個實(shí)根，對應(yīng)著 平衡點(diǎn) E& 和 ；當(dāng)10 或 B 0,或 B 0,B 4C=0 或

9、 B 0,B 4C0 時，沒有實(shí)根， 對應(yīng)平衡點(diǎn)E&和E；不存在.用 Maple 的包 SolveTools 中的函數(shù) Semi Algebraic 計算就可以得出表1.2閉軌的不存在性(3)(3)(4)當(dāng)/ = 0或/ = a時，=0,也就是在9 = 0平 面上的軌線不會跑到9=0平面外,9= a平面上的軌 線不會跑到9= a平面外.所以9=。和9= a是系統(tǒng) (3)的兩個不變平面.當(dāng)9= 0時，系統(tǒng)()退化為MyM =y y dyz =51 (y ),vz =s(z z fyzZ =Q(y ,z).當(dāng)9 =a時,系統(tǒng)()退化為My=y y 一 dyz + ra =5(y z), Dvz =

10、s(z z fyz) =Q(y ,z).引理1系統(tǒng)(3)在a40 , 1 。的情況下， 沒有閉軌.其中a 1 = (fs + )(Tfs + fs + TR4s )=s(dfs3 df s 1fs3d 8fs4 +Tf!s +4Tf!s +4Tfs +4fs3T! + ;fs3 +;fs4 R1dfs 56fs! 3fs3 + 8ds + 4dfs + 4s! +4 fs + 3 s 3 R8 T R3 sT+ 8 T+ 3 s ) .證明：首先，計算出向量場(51(y,z) , Q(y ,z) 的散度.g 51 (y ,z) +Q(y ,z)= TOC o 1-5 h z dydz33(y

11、H dyz) + (sz(1 z fy)= dy8zdz 2y+1+s (f y z + 1).fsy s + y1考慮直線5 : z= ,在5上,向T+ s量場的散度為0 ,并且這條直線將向量場分成三個 部分,在5兩邊,向量場都保持定號.根據(jù)Dulac判 據(jù)，如果系統(tǒng)有閉軌y，那么就有y9 5 = )A1,B1 4 ：成立，并且向量場(51, Q)在A1&B1 兩點(diǎn)分別指向直線5的兩側(cè)，根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性,線 段A1&B1上必存在一點(diǎn)E1,滿足Q(y ,z)51(y,z) E1dy E1也就是fy (fsy s + y 1)d +s(fsys + y 1) fsys + y 1)/(d + s

12、)d + sMy ( fsy s +y 1 )fs +(d+s_y +y) = d+s，化簡得a1y+D1y+c1=0.(5)其中a 1= (fs +)(Tfs +fs+T4s )71 = s (3dfs +fs + df fs +4d 8),C1 = (d +s 1) (s + 1)s.這是一個關(guān)于y的二次方程,計算出它的判別式為 1=s(dfs3dfs 1fs! 8fs4 + dfs + 4df s +4Hfs+4fs! +8 fs3 + 8fs41T!fs 56fs T! 3fs3+8T s +4Tfs + 4 s T! +4 fs +3 s 38 T3 sT+8 T+3 s ) 根據(jù)定

13、理的條件，可以知道a1 40 ,且1 0 ,故(5) 恒不為0 ,得出矛盾.引理2 系統(tǒng)(4)在a 40 , , 2 V0時，系統(tǒng)沒有閉軌.證明：把整個空間分成五個部分，9a、9=a、 0%9 Va 9 = 0、9 V0(不在定義域內(nèi)).不難發(fā)現(xiàn),系 統(tǒng)的所有平衡點(diǎn)都落在9=0和9 =a上,而在區(qū) dz域9 a , 0 V9 Va , 9 V0上,有40.假設(shè)在這些 dz區(qū)域上有閉軌，那么9=9(Z)就是一個周期函數(shù), 也就是存在9 (11 ) = 9 (l1 + T) = 9 (Z 2 ).根據(jù) Cauchy引理，在區(qū)間(A ,Z 2 )上存在一個點(diǎn)Z使得 d9 =0 ,矛盾.所以在區(qū)域9a,0V9Va,9V0 dZ Z3上，沒有閉軌.當(dāng)9=0時，系統(tǒng)退化為(2 )，當(dāng)9=a 時，系統(tǒng)退化為(3).則由引理1,可以知道系統(tǒng)(2 ) 沒有閉軌.由引理2,可以知道，系統(tǒng)(3)沒有閉軌.綜 上，系統(tǒng)在90上沒有閉軌.3結(jié)論本文分析了一類微生物模型，分析了平衡點(diǎn)的 存在性和閉軌的不存在性.一般來講，當(dāng)分析清楚了 一個系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和極限環(huán)的性質(zhì)之后，就可以把 這個系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)大致的勾勒出來.與已有文獻(xiàn) 相比較3,本文的分析是直接針對三維系統(tǒng)的，更加 合理和準(zhǔn)確.36ad2f 2rs2 12adf2rsi +d2f 2s2 2d2f 2s3 12df s2 8f 氣7