1、第五章 圓軸扭轉(zhuǎn)5-1 外加力偶矩與所傳遞功率的關(guān)系5-2 純剪切狀態(tài)與切應(yīng)力互等定理5-3 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析5-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的遷都與剛度計(jì)算5-5 結(jié)論與討論第五章 圓軸扭轉(zhuǎn)5-1 外加力偶矩與所傳遞功率的關(guān)系55.1 外加力偶矩與所傳遞功率的關(guān)系 求橫截面n-n上的內(nèi)力偶矩 截面法 作用于橫截面上的內(nèi)力偶矩稱(chēng)為扭矩 由作用與反作用原理可知，在部分橫截面n-n上也必然有大小相等、轉(zhuǎn)向相反的扭矩T 5.1 外加力偶矩與所傳遞功率的關(guān)系 求橫截面n-n上的內(nèi)發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的外力偶矩，稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)力偶矩 1. 已知外力2. 已知傳遞的功率P(kW)和轉(zhuǎn)速n(r/min) 得發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的外力偶矩

2、，稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)力偶矩 1. 已知外力2.5.2 純剪切狀態(tài)與切應(yīng)力互等定理 一、實(shí)驗(yàn)觀測(cè)現(xiàn)象 (1) 縱向線都傾斜了相同的角度，變?yōu)槠叫械穆菪€。 5.2.1薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力與純剪切狀態(tài) 在圓筒表面畫(huà)一系列縱向線和圓周線。 (2)圓周線繞桿軸線旋轉(zhuǎn)了不同的角度，但仍保持為圓形，且在原來(lái)的平面內(nèi)。 推斷： (a)變形后，橫截面仍保持為平面； (b)橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力，只有切應(yīng)力，切應(yīng)力的方向與半徑垂直。 5.2 純剪切狀態(tài)與切應(yīng)力互等定理 一、實(shí)驗(yàn)觀測(cè)現(xiàn)象 (1研究薄壁筒的任一橫截面 橫截面上的扭矩 微內(nèi)力dA對(duì)截面形心的力矩為dAR 微面積 dA = Rd 二、切應(yīng)力的計(jì)算即 積分得研究薄

3、壁筒的任一橫截面 橫截面上的扭矩 微內(nèi)力dA對(duì)截面形取一單元體 力dydz 左、右側(cè)面 上、下側(cè)面 5.2.2 切應(yīng)力互等定理 平衡條件Mz = 0得dydzdx-dxdzdy=0力偶矩 ( dydz)dx 切應(yīng)力 切應(yīng)力 力 dydz 力偶矩( dxdz)dy = 取一單元體 力dydz 左、右側(cè)面 上、下側(cè)面 5.2.2切應(yīng)力互等定理 在單元體相互垂直的截面上，切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且大小相等，方向都指向(或背離)兩平面的交線 純剪切應(yīng)力狀態(tài) 單元體側(cè)面上只有切應(yīng)力，沒(méi)有正應(yīng)力的狀態(tài)稱(chēng)為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。 切應(yīng)力互等定理 在單元體相互垂直的截面上，切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)直角的改變量即為切應(yīng)變 低碳

4、鋼的 曲線在彈性極限范圍內(nèi) 5.2.3 剪切胡克定理 上式稱(chēng)為剪切胡克定理。 G稱(chēng)為材料的切變模量,單位為帕(Pa) 切變模量G、彈性模量E和泊松比三者之間的關(guān)系是 直角的改變量即為切應(yīng)變 低碳鋼的 曲線在彈性極5.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析 圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè) 變形前為平面的橫截面，在變形后仍保持為平面，半徑仍保持為直線，各橫截面的形狀、大小及間距均不改變。 5.3.1 平面假定 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力可以從三個(gè)方面導(dǎo)出 1幾何方面 2物理方面3靜力學(xué)方面5.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析 圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè) 5.3.2變形協(xié)調(diào)方程取長(zhǎng)為dx的微段從該微段中切取一楔形體 由幾何關(guān)系及小變形假設(shè)

5、兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為 表示扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率，稱(chēng)為單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角 在同一半徑為的圓周上，各點(diǎn)處的切應(yīng)變均相同，且與成正比。 5.3.2變形協(xié)調(diào)方程取長(zhǎng)為dx的微段從該微段中切取一楔形5.3.3物理方面 根據(jù)剪切胡克定律，在線彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。 橫截面上半徑為 處的切應(yīng)力為 (1)橫截面的切應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離成正比。 (2) 縱向截面上的切應(yīng)力也沿半徑線性變化。5.3.3物理方面 根據(jù)剪切胡克定律，在線彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)5.3.4靜力學(xué)方面 微力矩 截面上的扭矩 為常量，得 引進(jìn)記號(hào) Ip稱(chēng)為橫截面對(duì)圓心的極慣性矩 圓軸單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式 5.3.4靜力學(xué)方面 微力矩

6、截面上的扭矩 為常量，得 引5.3.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力表達(dá)式圓軸橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力 切應(yīng)力達(dá)到最大值 引進(jìn)記號(hào) Wp稱(chēng)為抗扭截面系數(shù)。 (1)只適用于彈性范圍內(nèi)的等直圓軸 (2)對(duì)于小錐度圓軸，也可以用以上各式近似地計(jì)算。 說(shuō)明： 5.3.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力表達(dá)式圓軸橫截面例 圖3-13a所示階梯形圓軸直徑分別為d1 = 40 mm，d2 = 60 mm。由輪3輸入的功率P3 = 60 kW，輪1輸出的功率P1 =24 kW。軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速n = 300 r/min。材料的許用切應(yīng)力 = 70 MPa。試校核軸的強(qiáng)度。 解 (1)計(jì)算外力偶矩，畫(huà)扭矩圖 例 圖

7、3-13a所示階梯形圓軸直徑分別為d1 = 40 mm(2)校核扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度 盡管最大扭矩發(fā)生在DB段內(nèi)，但這一段截面的直徑也大，對(duì)AC和DB兩段軸都需要作強(qiáng)度校核。 AC段DB段軸滿足強(qiáng)度要求。 (2)校核扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度 盡管最大扭矩發(fā)生在DB段內(nèi)，但這一段截面5.4 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算5.4.1 圓軸扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)與破壞現(xiàn)象 1 觀察變形現(xiàn)象： 2 變形現(xiàn)象： （1）縱線在變形后近似為直線，但相對(duì)于原位置轉(zhuǎn)了一個(gè) 角。 （2）環(huán)線變形后仍相互平行，產(chǎn)生了剪應(yīng)變。 3 推論：（1）圓桿在扭轉(zhuǎn)后橫截面保持為垂直桿軸線的平面，且大小、形狀不變，半徑為直線。（2）用縱線和環(huán)線截取的單元體處于純剪切狀態(tài)。（

8、3）圓桿的橫截面上只有剪應(yīng)力作用，方向垂直于半徑。5.4 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算(1) 為材料的許用切應(yīng)力 (3) 對(duì)變截面軸,需要綜合考慮T和Wp來(lái)確定max。 (2) 對(duì)于等直軸，最大切應(yīng)力發(fā)生于扭矩最大截面上的外邊緣。 5.4.2 圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件 (1) 為材料的許用切應(yīng)力 (3) 對(duì)變截面軸,需(1) 實(shí)心圓截面 空心圓截面桿橫截面上的切應(yīng)力仍然呈線性分布，最大切應(yīng)力發(fā)生在截面外邊緣。(2) 空心圓截面極慣性矩與抗扭截面系數(shù) (1) 實(shí)心圓截面 空心圓截面桿橫截面上的切應(yīng)力仍例3-2 圖3-13a所示階梯形圓軸直徑分別為d1 = 40 mm，d2 = 60 mm。由輪3輸入的功率

9、P3 = 60 kW，輪1輸出的功率P1 =24 kW。軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速n = 300 r/min。材料的許用切應(yīng)力 = 70 MPa。試校核軸的強(qiáng)度。 解 (1)計(jì)算外力偶矩，畫(huà)扭矩圖 例3-2 圖3-13a所示階梯形圓軸直徑分別為d1 = 405.4.3 圓軸扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算 相距為dx的兩截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為 相距為l的兩橫截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為 當(dāng)T和GIp為常量時(shí) GIp反映了圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱(chēng)為抗扭剛度。 扭轉(zhuǎn)角的單位是rad。 一、扭轉(zhuǎn)角 5.4.3 圓軸扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算 相距為dx的兩截面間的相對(duì)扭二、剛度條件 取長(zhǎng)為dx的微段是最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，單位為rad /m 在設(shè)計(jì)規(guī)

10、范中，單位長(zhǎng)度許用扭轉(zhuǎn)角的單位通常是度/米(/m)。二、剛度條件 取長(zhǎng)為dx的微段是最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，單位為r例33 圖3-14a所示為一裝有四個(gè)皮帶輪的實(shí)心圓軸。已知Me1= Me2=3.5 kNm，Me3=11.5kNm，Me4=4.5 kNm；材料的切變模量G=80GPa，許用切應(yīng)力=80MPa，單位長(zhǎng)度許用扭轉(zhuǎn)角 =0.8/m。試設(shè)計(jì)軸的直徑，并計(jì)算全軸的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。 解 (1)計(jì)算外力偶矩，畫(huà)扭矩圖 例33 圖3-14a所示為一裝有四個(gè)皮帶輪的實(shí)心圓軸。已(2)設(shè)計(jì)軸的直徑 圓軸中最大扭矩發(fā)生在BC段，其絕對(duì)值為7.0 kNm。 根據(jù)強(qiáng)度條件 根據(jù)剛度條件 軸的直徑可選用D = 9

11、0 mm (2)設(shè)計(jì)軸的直徑 圓軸中最大扭矩發(fā)生在BC段，其絕對(duì)值為7(3) 計(jì)算全軸的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 極慣性矩 各段的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為 全軸的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為 (3) 計(jì)算全軸的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 極慣性矩 各段的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為 例3-4 圖3-15a示兩種材料制成的組合軸,外層空心圓軸的抗扭剛度為 ,內(nèi)層實(shí)心圓軸的抗扭剛度為 ，兩軸緊密地配合在一起，求此組合軸在扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用下的切應(yīng)力。 解 (1)平衡方程 空心圓軸承擔(dān)的扭矩為T(mén)1，實(shí)心圓軸承擔(dān)的扭矩為T(mén)2 (2)變形協(xié)調(diào)條件 例3-4 圖3-15a示兩種材料制成的組合軸,外層空心圓軸聯(lián)立求解 代入式 兩軸內(nèi)半徑為處的切應(yīng)力分別為 聯(lián)立求解 代入式 兩軸內(nèi)

12、半徑為處的切應(yīng)力分別為 (2)校核扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度 盡管最大扭矩發(fā)生在DB段內(nèi)，但這一段截面的直徑也大，對(duì)AC和DB兩段軸都需要作強(qiáng)度校核。 AC段DB段軸滿足強(qiáng)度要求。 (2)校核扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度 盡管最大扭矩發(fā)生在DB段內(nèi)，但這一段截面5.5. 結(jié)論與討論（一）扭轉(zhuǎn)是桿件四種基本變形之一，本章主要計(jì)論圓截面等 直 桿的扭轉(zhuǎn)。（二）扭轉(zhuǎn)時(shí)桿所受的外力是作用在垂直于桿軸線平面內(nèi)的外 力 偶。變形的特征是桿件的橫截面繞桿軸線作相對(duì)運(yùn) 動(dòng)。（三） 扭轉(zhuǎn)時(shí)桿件橫截面上的內(nèi)力，可用截面法求得。它是 作用 在橫截面所在平面的內(nèi)力偶，稱(chēng)為扭矩。5.5. 結(jié)論與討論（一）扭轉(zhuǎn)是桿件四種基本變形之一，本章主（四） 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，變形符合平面假設(shè)。由此可得變形的幾 何關(guān)系，再用剪切胡克