1、 28/286.2.2 平面向量的數(shù)量積（精練）【題組一 向量的數(shù)量積】1（2020天水市第一中學(xué)高一期末）已知等邊的邊長為2，若，則等于（ ）ABC2D【答案】D【解析】等邊ABC的邊長為2，故選：D2（2020陜西渭南市高一期末）在中，為線段的中點，則（ ）ABC3D4【答案】B【解析】在中，為線段的中點，可得，,.故選：B.3（2020湖南益陽市高一期末）在中，為的重心，則_【答案】6【解析】如圖，點是的中點，為的重心，所以 故答案為：64（2020黑龍江大慶市大慶一中高一期末）如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點，則的值是_.【答案】【解析】因為，因此，故答案為：.5（2020四川

2、內(nèi)江市）在等腰中，斜邊，那么_.【答案】【解析】由題可知在等腰中，斜邊，即，.故答案為：.6（2020北京101中學(xué)高一期末）如圖，在矩形中，點E為的中點，點F在邊上，若，則的值是_.【答案】【解析】，故答案為：.7（2020陜西咸陽市高一期末）已知兩個單位向量，的夾角為，.若，則實數(shù)_.【答案】1【解析】兩個單位向量，的夾角為，又，解得故答案為：18（2020長沙縣實驗中學(xué)高一期末）已知非零向量，滿足=，.若，則實數(shù)的值為_.【答案】【解析】非零向量，滿足=，,解得，故答案為：【題組二 向量的夾角】1（2020山東臨沂市高一期末）已知非零向量，若，且，則與的夾角為（ ）ABCD【答案】B【解

3、析】因為，所以，因為，所以， .故選:B.2（2020鎮(zhèn)原中學(xué)高一期末）已知為單位向量，且滿足，與的夾角為，則實數(shù)_.【答案】或【解析】由，可得，則.由為單位向量，得，則，即，解得或.3（2020浙江溫州市高一期末）已知平面向，滿足，且，與夾角余弦值的最小值等于_.【答案】【解析】平面向,滿足,則因為展開化簡可得,因為,代入化簡可得設(shè)與的夾角為則由上式可得而代入上式化簡可得令,設(shè)與的夾角為,則由平面向量數(shù)量積定義可得,而所以由余弦函數(shù)的值域可得,即將不等式化簡可得,解不等式可得 綜上可得,即而由平面向量數(shù)量積的運算可知,設(shè)與夾角為,則 當(dāng)分母越大時,的值越小;當(dāng)?shù)闹翟叫r,分母的值越大所以當(dāng)時

4、, 的值最小代入可得所以與夾角余弦值的最小值等于故答案為: 4（2020延安市第一中學(xué)高一月考）已知向量滿足.（1）求在上的投影；（2）求與夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），設(shè)和的夾角為，在上的投影為：；（2）設(shè)與夾角為，.5（2020北京順義區(qū)高一期末）已知平面向量，且與的夾角為（1）求；（2）求；（3）若與垂直，求的值【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）；（2），；（3），即，解得：.6（2020南昌市江西師大附中高一月考）已知向量滿足，（1）若，求實數(shù)的值；（2）求向量與夾角的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為，所以，則與同向.因為，所以，即

5、，整理得，解得，所以當(dāng)時，.（2）設(shè)的夾角為，則，當(dāng)，即時，取最小值， 又，所以，即向量與夾角的最大值為.7（2020全國高一專題練習(xí)）已知向量，且，與的夾角為.，.（1）求證：；（2）若，求的值；（3）若，求的值；（4）若與的夾角為，求的值.【答案】（1）見解析（2）或.（3）（4）【解析】（1）證明：因為，與的夾角為，所以，所以.（2）由得，即.因為，所以，所以，即.所以或.（3）由知，即，即.因為，所以，所以.所以.（4）由前面解答知，.而，所以.因為，由得，化簡得，所以或.經(jīng)檢驗知不成立，故.【題組三 向量的投影】1（2021江西上饒市）若向量與滿足，且，則向量在方向上的投影為（）AB

6、C-1D【答案】B【解析】利用向量垂直的充要條件有：，則向量在方向上的投影為,故選B.2（2020沈陽市第一七中學(xué)高一期末）已知向量，其中，則在方向上的投影為( )AB1CD2【答案】C【解析】由題意，向量，其中，可得(1)(2)聯(lián)立(1)(2)解得，所以在方向上的投影為.故選：C.3（2020長沙市湖南師大附中高一月考）已知向量，滿足，且在方向上的投影與在方向上的投影相等，則等于（ ）ABCD【答案】A【解析】設(shè)兩個向量的夾角為，則，從而，因為，故，所以故選：A4（2020眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)高一期中）已知，則在上的投影是（ ）A1BC2D【答案】C【解析】因為，所以所以在上的投影故選：C5

7、（2020陜西渭南市高一期末）已知，則向量在向量方向的投影（ ）A1BC3D【答案】A【解析】由題意，向量，可得，解得，所以向量在向量方向的投影.故選：A.6（2020四川綿陽市高一期末）在ABC中，0，點P為BC的中點，且|，則向量在向量上的投影為（ ）AB-CD【答案】D【解析】根據(jù)題意，又點為中點，故可得，如下所示：故三角形為等邊三角形，故可得，不妨設(shè)，故可得，則向量在向量上的投影為.故選：.7（2020營口市第二高級中學(xué)高一期末）已知向量滿足，則向量在向量上的投影為_.【答案】【解析】向量滿足，可得，即為，兩式相減可得，則向量在向量上的投影為故答案為：8（2020湖北武漢市高一期末）設(shè)

8、向量，滿足，且，則向量在向量上的投影的數(shù)量為_.【答案】【解析】，向量在向量上的投影的數(shù)量為.故答案為：.9（2021河南鄭州市）已知平面向量滿足，則在方向上的投影等于_【答案】【解析】由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算法則有：，據(jù)此可得，在方向上的投影等于.10（2020四川高一期末）已知邊長為2的等邊中，則向量在向量方向上的投影為_【答案】【解析】因為是等邊三角形，所以向量與向量的夾角為，因為邊長為2，所以向量在向量方向上的投影為，故答案為：.11（2020全國高一課時練習(xí)）已知為一個單位向量，與的夾角是.若在上的投影向量為，則_.【答案】4【解析】為一個單位向量,與的夾角是由平面向量數(shù)量積定

9、義可得,根據(jù)平面向量投影定義可得,.故答案為:412（2020福建省福州第一中學(xué)高一期末）已知非零向量、滿足，在方向上的投影為，則_.【答案】【解析】，在方向上的投影為，可得，因此，.故答案為：.【題組四 向量的模長】1（2020全國高一）已知平面向量，滿足，若，的夾角為120，則（ ）ABCD3【答案】A【解析】由題意得，故選：A.2（2020全國高一）若向量與的夾角為60，且 則等于（ ）A37B13CD【答案】C【解析】因為向量與的夾角為60，且 所以所以，故選：C3（2020全國高一開學(xué)考試）已知向量，滿足，則（ ）A0B2CD【答案】D【解析】因為向量,滿足,則故選:D4（2020銀

10、川市寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）已知向量、滿足：，則_.【答案】.【解析】，因此，故答案為.5（2020全國高一單元測試）若平面向量，滿足，則_，_【答案】-1 4 【解析】由，得，由，得，-得：，故故答案為：-1；4.6（2020全國高一）已知，則的最大值為_；若，且，則_.【答案】14 10 【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)同向時等號成立，所以，即的最大值為14，由兩邊平方可得：，所以，所以，即.故答案為：14；107（2020東北育才學(xué)校）已知向量，滿足，在上的投影（正射影的數(shù)量）為-2，則的最小值為 【答案】8【解析】因為在上的投影（正射影的數(shù)量）為，所以，即，而，所以，因為所以，即，故選D.9（20

11、20四川廣元市高一期末）設(shè)非零向量與的夾角是，且，則的最小值為（ ）ABCD1【答案】B【解析】對于，和的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形法則，如圖 ，,，化簡得當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為.故選：B.10（2020浙江杭州市高一期末）已知平面向量、滿足，則的最大值為_【答案】【解析】，則，設(shè)與的夾角為，則，可得，則，所以，則，所以，當(dāng)時，取最大值.故答案為：.11（2020沙坪壩區(qū)重慶南開中學(xué)高一期末）已知向量與向量的夾角為，且，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1），.（2），整理得：，解得：或.12（2020北京朝陽區(qū)人大附中朝陽學(xué)校高一月考）已知平面向量滿足:，|.（1）若，

12、求的值；（2）設(shè)向量的夾角為，若存在，使得，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）若，則，又因為，|，所以，所以；（2）若，則，又因為，所以即，所以，解得或，所以.13（2020全國高一單元測試）已知向量，且（1）求，；（2）求與的夾角及與的夾角【答案】（1），；（2），【解析】（1）因為向量，且，所以，所以，又，所以；（2）記與的夾角為，與的夾角為，則，所以，所以【題組五 平面向量的綜合運用】1（2020北京豐臺區(qū)高一期末），是兩個單位向量，則下列四個結(jié)論中正確的是（ ）ABCD【答案】D【解析】A可能方向不同，故錯誤；B，兩向量夾角未知，故錯誤；C，所以，故錯誤；D由C知，故

13、正確，故選：D.2（2020全國高一單元測試）若是非零向量，是單位向量，其中正確的有（ ）ABCD【答案】D【解析】，正確；為單位向量，故，正確；表示與方向相同的單位向量，不一定與方向相同，故錯誤；與不一定共線，故不成立，故錯誤，若與垂直，則有，故錯誤故選：D.3（2021重慶）設(shè)為向量，則“”是“” （ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解析】根據(jù)向量數(shù)量積運算， 若，即 = 所以 = 1，即所以若，則的夾角為0或180，所以“或即所以“”是“”的充分必要條件所以選C4（2020全國高一課時練習(xí)）若，均為單位向量，且，則的最大值是（ ）A2BC

14、D1【答案】A【解析】，均為單位向量，且，設(shè)，得：，方程有解，的最大值為2故選：A5（2020甘肅蘭州市蘭州一中高一期末）已知向量、滿足，且，則、中最小的值是（ ）ABCD不能確定【答案】C【解析】由，可得，平方可得同理可得、，則、中最小的值是故選：6（2020浙江湖州市高一期末）已知空間向量，和實數(shù)，則下列說法正確的是（ ）A若，則或B若，則或C若，則或D若，則【答案】B【解析】對于選項，若，則或或，故錯誤；對于選項，由，得，即可得其模相等，但方向不確定，故錯誤；對于選項，由，得，則或或，故錯誤；對于選項，由，可得或，故正確，故選：.7（多選）（2021江蘇高一）若、是空間的非零向量，則下列

15、命題中的假命題是（ ）AB若，則C若，則D若，則【答案】ACD【解析】是與共線的向量，是與共線的向量，與不一定共線，A錯，若，則與方向相反，B對，若，則，即，不能推出，C錯，若，則，與方向不一定相同，不能推出，D錯，故選：ACD.8（多選）（2020山東臨沂市高一期末）已知是同一平面內(nèi)的三個向量，下列命題中正確的是（ ）AB若且，則C兩個非零向量，若，則與共線且反向D已知，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是【答案】AC【解析】對于A，由平面向量數(shù)量積定義可知，則，所以A正確，對于B，當(dāng)與都和垂直時，與的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B錯誤，對于C，兩個非零向量，若，可得，即，則兩個向量

16、的夾角為，則與共線且反向，故C正確；對于D，已知，且與的夾角為銳角，可得即可得，解得，當(dāng)與的夾角為0時，所以所以與的夾角為銳角時且，故D錯誤；故選:AC.9（2020浙江高一期末）已知，則的最小值為_.【答案】【解析】，代入，原式，當(dāng)時，原式最小值為.故答案為：10（2020湖北高一開學(xué)考試）在中，已知，則在方向上的投影為_.【答案】【解析】因為，所以所以，即因為，所以即，即，所以解得或因為，所以，即，所以，因為，所以所以在方向上的投影為故答案為：【點睛】本題考查平面向量的幾何意義，屬于中檔題.11（2020浙江杭州市高一期末）已知平面向量，其中，的夾角是，則_；若為任意實數(shù)，則的最小值為_【

17、答案】 【解析】由題意，平面向量，其中，的夾角是，可得，則，所以，又由，所以當(dāng)時，的最小值為.故答案為：；.12（2020天津市濱海新區(qū)大港太平村中學(xué)高一期末）在中，是中點，在邊上，則_，的值為_.【答案】 【解析】因為，所以，由題意，所以，所以；由可得，解得.故答案為：；.13（2020湖北黃岡市高一期末）已知向量與向量的夾角為，且，.（1）求的值（2）記向量與向量的夾角為，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，所以.（2）因為所以所以.14（2020山東省五蓮縣第一中學(xué)高一月考）已知，向量與向量夾角為45，求使向量與的夾角是銳角時，的取值范圍.【答案】【解析】，與夾角為45，而，要使向量與的夾角是銳角，則，且向量與不共線，由得，得或.由向量與不共線得所以的取值范圍為：15（2020全國高一課時練習(xí)）在中，記，且為正實數(shù)），（1）求證：；（2）將與的數(shù)量積表示為關(guān)于的函數(shù)；（