1、關(guān)于平面點(diǎn)集與多元函數(shù)第1頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)1 平面點(diǎn)集與多元函數(shù)第2頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三一、平面點(diǎn)集坐標(biāo)平面上滿足某種條件 的點(diǎn)的集合，稱為平面點(diǎn)集，并記作 常見平面點(diǎn)集全平面和半平面第3頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三1. 鄰域: 以點(diǎn) X0 = (x0, y0)為中心, 以 為半徑的圓內(nèi)部點(diǎn)的全體稱為 X0 的 鄰域.即記 (X0, ) = U (X0, ) X0 , 稱為 X0 的去心 鄰域.如圖特殊的平面點(diǎn)集第4頁，共47頁，2022年，5月20日，1

2、3點(diǎn)47分，星期三X0X0U (X0, ) (X0, ) 當(dāng)不關(guān)心鄰域半徑時(shí), 簡記為U (X0 )和 (X0).第5頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三空心方鄰域與集方鄰域圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域的區(qū)別第6頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三2. 內(nèi)點(diǎn):設(shè) E 是一平面點(diǎn)集, X0 = (x0, y0)E, 若存在鄰域 U(X0 , ) E , 則稱 X0 為 E 的內(nèi)點(diǎn).E 的全體內(nèi)點(diǎn)所成集合稱為 E 的內(nèi)部, 記為D = (x, y)| x2 + y2 1 如圖第7頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三xyox2

3、+ y2 = 111D易知, 圓內(nèi)部的每一點(diǎn)都是 D 的內(nèi)點(diǎn). 但圓周上的點(diǎn)不是 D 的內(nèi)點(diǎn).第8頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三x + y = 0 xy0如圖D又如 z = ln (x+y)的定義域 D = (x, y)| x+y 0易見, 直線上方每一點(diǎn)都是D的內(nèi)點(diǎn). 但直線上的點(diǎn)不是D的內(nèi)點(diǎn).第9頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三若存在點(diǎn)的某鄰域使得則稱是集合的外點(diǎn)第10頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三3. 邊界點(diǎn):設(shè) E 是一平面點(diǎn)集, X0 = (x0, y0)是平面上一個(gè)點(diǎn). 若 X0的任何鄰域 U(X0

4、, )內(nèi)既有屬于 E 的點(diǎn), 又有不屬于 E的點(diǎn), 則稱 X0 為 E 的邊界點(diǎn).E 的全體邊界點(diǎn)所成集合稱為 E 的邊界. 記作 E.如, 例1中定義域 D 的邊界是直線 x +y = 0 上點(diǎn)的全體. 例2中定義域 D 的邊界是單位圓周 x2 + y2 = 1上的點(diǎn)的全體. 如圖第11頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三xyo11x2 + y2 = 1Dx + y = 0 xyoDE 的邊界點(diǎn)可以是 E 中的點(diǎn),也可以不是 E 中的點(diǎn).第12頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三4. 開集 設(shè) E 是一平面點(diǎn)集, 若 E 中每一點(diǎn)都是 E 的內(nèi)點(diǎn).

5、即 E int E, 則稱 E 是一個(gè)開集. 由于總有 int E E, 因此, E int E E = int E故也可說, 比如, 例1中 D 是開集, (D = int D ), 而例2中 D 不是開集.規(guī)定, , R2為開集.若E = int E , 則稱 E 是一個(gè)開集.第13頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三xyoE又比如, E 如圖若 E 不包含邊界, 則 E 為開集.若 E 包含邊界, 則 E 不是開集.第14頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三結(jié)論: 非空平面點(diǎn)集 E 為開集的充要條件是 E 中每一點(diǎn)都不是 E 的邊界點(diǎn). 即 E

6、 不含有 E 的邊界點(diǎn).證:必要性. 設(shè) E 為開集, X E,由開集定義知 X 為 E 的內(nèi)點(diǎn). 故 X 不是 E 的邊界點(diǎn).第15頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三充分性. 若 E 中每一點(diǎn)都不是 E 的邊界點(diǎn). 要證 E 為開集.X E,由于 X 不是 E 的邊界點(diǎn). 故必存在X的一個(gè)鄰域U(X, ),在這個(gè)鄰域 U(X, )內(nèi)或者全是 E 中的點(diǎn). 或者全都不是 E 中的點(diǎn), 兩者必居其一.由于X E, 故后一情形不會(huì)發(fā)生.因此, U(X, )內(nèi)必全是 E 中的點(diǎn). 故 X int E, 即, E int E , 所以 E 是開集.第16頁，共47頁，2022年

7、，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三5. 連通集 設(shè) E 是一非空平面點(diǎn)集, 若X ,YE. 都可用完全含于 E 的折線將它們連接起來, 則稱 E 為連通集.如圖XYE 連通YXE 不連通第17頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三從幾何上看, 所謂 E 是連通集, 是指 E 是連成一片的. E 中的點(diǎn)都可用折線連接.例1, 2中的 D 都是連通集. 如圖x + y = 0 xyoxyo11x2 + y2 = 1第18頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三6. 開區(qū)域(開域)設(shè) E 是一平面點(diǎn)集. 比如, 例1中 D 是開區(qū)域. 如圖. E 從幾何上看,

8、開區(qū)域是連成一片的, 不包括邊界的平面點(diǎn)集.若 E 是連通的非空開集, 則稱 E 是開區(qū)域.第19頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三7. 閉區(qū)域 (閉域)若 E 是開域, 記稱為閉區(qū)域.如圖. E 易見, 例2中的 D 是閉區(qū)域. 從幾何上看, 閉區(qū)域是連成一片的. 包括邊界的平面點(diǎn)集.(本書把)開區(qū)域和閉區(qū)域都叫作區(qū)域.第20頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三易見, 例1中 D 是無界集, 它是無界開區(qū)域, 而例2中 D 是有界集, 它是有界閉區(qū)域.若存在 r 0, 使 E U(O, r), 則稱 E 為有界集. 否則稱 E 為無界集.8. 設(shè)

9、第21頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三9. 聚點(diǎn).設(shè) E 是平面點(diǎn)集, X0 是平面上一個(gè)點(diǎn). 若X0的任一鄰域內(nèi)總有無限多個(gè)點(diǎn)屬于 E . 則稱 X0 是E 的一個(gè)聚點(diǎn).從幾何上看, 所謂 X0 是 E 的聚點(diǎn)是指在 X0 的附近聚集了無限多個(gè) E 中的點(diǎn). 即, 在 X0 的任意近傍都有無限多個(gè) E 中的點(diǎn).第22頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三X0如圖第23頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三1. 聚點(diǎn)定義也可敘述為: 若 X0 的任一鄰域內(nèi)至少含有 E 中一個(gè)異于 X0 的點(diǎn). 則稱 X0 為 E 的 一個(gè)聚點(diǎn).

10、 (自證).2. E 的聚點(diǎn) X0可能屬于 E , 也可能不屬于E .3. E 的內(nèi)點(diǎn)一定是 E 的聚點(diǎn).第24頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三4. 若 E 是開區(qū)域. 則 E 中每一點(diǎn)都是 E 的聚點(diǎn).即, 區(qū)域中的任一點(diǎn)都是該區(qū)域的聚點(diǎn).一般, 集合 E 的邊界點(diǎn)不一定是 E 的聚點(diǎn). 但若 E 是開集, 則 E 的邊界點(diǎn)一定是 E 的聚點(diǎn), 自證.第25頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三定義若存在使得則稱點(diǎn)是的孤立點(diǎn).孤立點(diǎn)必為界點(diǎn).第26頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三鄰域, 內(nèi)點(diǎn), 邊界點(diǎn), 開集, 連通,

11、有界, 開區(qū)域, 閉區(qū)域, 聚點(diǎn)這些概念都可毫無困難地推廣到三維空間 R3 中去, 且有類似的幾何意義. 它們還可推廣到 4 維以上的空間中去, 但不再有幾何意義.第27頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三（3）點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E例如,(0, 0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合（1）內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明：（2）邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例如，(0, 0) 既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)第28頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三點(diǎn)集的直徑兩點(diǎn)的距離（或） 并有三角不等式 第29頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分

12、，星期三同時(shí)也有如下三角形不等式，即對(duì)上任何三點(diǎn)和都有例2 證明：對(duì)任何恒為閉集 證明 設(shè)為的任一聚點(diǎn)，要證.由聚點(diǎn)的定義，對(duì)任給，存在 第30頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三.又是的界點(diǎn)，所以對(duì)任意，由于上既有的點(diǎn)，又有非的點(diǎn)，于是上既有的點(diǎn)，又有非的點(diǎn)，由的任意性，推知是的界點(diǎn)，即，這就證明了為閉集. 第31頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三二 中的完備性定理 1 點(diǎn)列的極限 設(shè)為平面點(diǎn)列，為一固定，存在正整數(shù)，使時(shí)，有,則稱點(diǎn)列收斂于點(diǎn),記作或 點(diǎn).若對(duì)任給的正數(shù)得當(dāng)?shù)?2頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三設(shè)則同樣

13、的，當(dāng)以表示點(diǎn)與的距離時(shí)，也就等價(jià)于 第33頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三2 柯西收斂準(zhǔn)則 定理16.1 （柯西準(zhǔn)則）平面點(diǎn)列收斂的充要條件是：對(duì)任意，存在,當(dāng)時(shí)，對(duì)一切正整數(shù),都有 第34頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三定理16.2 (閉域套定理) 設(shè)是1) 2) 則存在唯一點(diǎn) 3 閉域套定理中的閉域列，滿足：第35頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三4 聚點(diǎn)原理 定理16.3（聚點(diǎn)原理）設(shè)為有界在中至少有一個(gè)聚點(diǎn). 無限點(diǎn)集，則推論： 有界無限點(diǎn)列必存在收斂子列 第36頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)4

14、7分，星期三5 有限覆蓋定理 定理16.4（有限覆蓋定理） 設(shè)為有界閉域，為一開域族，它們覆蓋（即），則在中必存在有限個(gè)開域，它們同樣覆蓋（即） 三 二元函數(shù)的定義第37頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三第38頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三類似地可定義三元及三元以上函數(shù)點(diǎn)集 D -定義域，- 值域.x、y -自變量，z -因變量.函數(shù)的兩個(gè)要素:定義域、對(duì)應(yīng)法則.第39頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三與一元函數(shù)相類似，對(duì)于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點(diǎn)集.例1 求 的定義域解所求定義域?yàn)榈?0頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三 二元函數(shù) 的圖形（如下頁圖）第41頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第42頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:第43頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三例6 是定義在上的函數(shù)，值域是全體非負(fù)整數(shù) 若二元函數(shù)的值域是有界集，則稱該函數(shù)為有界函數(shù)； 若值域是無界集，則稱該函數(shù)為無界函數(shù). 第44頁，共47頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)47分，星期三