1、第5章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 5.1 連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換5.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)5.3 拉普拉斯逆變換5.4 應(yīng)用拉普拉斯變換分析線性電路5.5 系 統(tǒng) 函 數(shù)5.6 系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定 性5.7 系 統(tǒng) 的 頻 率 響 應(yīng) 5.8 用MATLAB進(jìn)行連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析第5章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 5.1 連續(xù)時間信號 利用拉普拉斯變換可以將系統(tǒng)在時域內(nèi)的微分與積分的運算轉(zhuǎn)換為乘法與除法的運算，將微分積分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，從而使計算量大大減少。利用拉氏變換還可以將時域中兩個信號的卷積運算轉(zhuǎn)換為s域中的乘法運算。在此基礎(chǔ)上建立了線性時不變電路s域分析的

2、運算法，為線性系統(tǒng)的分析提供了便利。同時還引出了系統(tǒng)函數(shù)的概念。 利用拉普拉斯變換可以將系統(tǒng)在時域內(nèi)的微分與積5.1 連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換5.1.1拉普拉斯變換的定義1.雙邊拉普拉斯變換2.單邊拉普拉斯變換5.1 連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換5.1.1拉普拉斯變換的5.1.2常用信號的拉氏變換及收斂域1.常用信號的拉氏變換（1）階躍函數(shù)（2）單位沖激信號（3）指數(shù)函數(shù)5.1.2常用信號的拉氏變換及收斂域2.單邊拉氏變換的收斂域 如圖5.1所示的復(fù)平面稱為s平面，水平軸稱為軸，垂直軸稱為j軸，=0稱為收斂坐標(biāo)，通過=0的垂直線是收斂域的邊界稱為收斂軸。對于單邊拉氏變換，其收斂域位于收斂軸的右

3、邊。 2.單邊拉氏變換的收斂域圖5.1單邊拉普拉斯變換的收斂域 圖5.1單邊拉普拉斯變換的收斂域 5.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 在本節(jié)中，將看到，在掌握了拉氏變換的基本性質(zhì)和定理之后，可以方便求得信號的拉氏變換。5.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 在本節(jié)中，5.2.1 線性5.2.2 時移特性5.2.3 s域平移特性5.2.4 尺度變換5.2.5 時域微分5.2.6 時域積分5.2.7 時域卷積定理5.2.1 線性5.3 拉普拉斯逆變換 在用拉普拉斯變換的方法分析電路問題時，一般來講它包括三個步驟：首先對微分方程進(jìn)行拉氏變換成為代數(shù)方程，然后解此代數(shù)方程得到所求未知函數(shù)的拉氏變換F(s)，最后求

4、F(s)的逆變換。5.3.1直接計算法 逆拉普拉斯變換是從s域函數(shù)求出對應(yīng)的時域函數(shù)。 5.3 拉普拉斯逆變換 在用拉普拉斯變換的方5.3.2 部分分式展開法 如果能把X(s)展開為一些逆變換已知的函數(shù)的和，如X(s)=X1(s)+X2(s)+X3(s) 則根據(jù)線性性質(zhì)，X(s)的逆變換為x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)這種求解逆變換的方法稱為部分分式展開法。5.3.2 部分分式展開法1. 極點為實數(shù)，無重根2. 極點為共軛復(fù)數(shù)3. 具有多重極點1. 極點為實數(shù)，無重根5.4 應(yīng)用拉普拉斯變換分析線性電路 拉普拉斯變換在線性電路的分析與設(shè)計中占有相當(dāng)重要的地位，利用拉普拉斯變換方法

5、分析電路稱為電路的復(fù)頻域分析或s域分析。電路的某些特性在s域中分析較為方便。當(dāng)電路中含有沖激電壓或電流時，用拉普拉斯變換法分析要比時域分析方便。由于s域電路方程為代數(shù)方程，因而電路設(shè)計常常在s域中進(jìn)行。此外，電路的頻率響應(yīng)特性也常常借助于s域函數(shù)進(jìn)行分析。5.4 應(yīng)用拉普拉斯變換分析線性電路 拉普拉斯5.4.1 應(yīng)用拉普拉斯變換求解微分方程 當(dāng)電路或系統(tǒng)的輸入輸出微分方程已知時，可直接對微分方程應(yīng)用單邊拉普拉斯變換，利用時域微分性質(zhì)求出s域輸出Y(s)，對其取逆變換得到時域解y(t)。5.4.1 應(yīng)用拉普拉斯變換求解微分方程 從該例可看出，用拉普拉斯變換法求解微分方程不需要專門求解t=0+時刻

6、的輸出及其導(dǎo)數(shù)，并且可直接得到全響應(yīng)。通過上例可以看到，利用拉普拉斯變換可以避開煩瑣的求解微分方程的過程。特別是對于高階微分方程，拉氏變換法可以使計算量大大減小。 從該例可看出，用拉普拉斯變換法求解微分方程5.4.2 電路元件的復(fù)頻域模型 對于比較復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)（支路或結(jié)點較多），列寫微分方程本身也是一件煩瑣的事情。對于線性時不變電路，可不必列寫微分方程，直接把時域的電路模型轉(zhuǎn)換為s域電路模型，在s域內(nèi)寫出電路的代數(shù)方程形式，然后進(jìn)行求解。5.4.2 電路元件的復(fù)頻域模型1.電路元件的s域串聯(lián)模型圖5.3 元件s域模型（串聯(lián)形式） 1.電路元件的s域串聯(lián)模型圖5.3 元件s域模型（串聯(lián)形2.電路元

7、件的s域并聯(lián)模型圖5.4 元件的s域模型（并聯(lián)模式） 2.電路元件的s域并聯(lián)模型圖5.4 元件的s域模型（并聯(lián) 把電路中的每個元件都用它的s域模型來代替，將信號用其變換式代替，于是就得到該電路的s域模型圖。對此模型利用KVL和KCL分析可以得到所需求解的變換式，這樣就用代數(shù)運算代替了求解微分方程。 把電路中的每個元件都用它的s域模型來代替，將5.4.3 線性電路的復(fù)頻域分析 使用復(fù)頻域分析法分析線性電路的過程為：（1）求解電容的初始電壓和電感的初始電流；（2）給出電路的復(fù)頻域模型；（3）建立復(fù)頻域電路的代數(shù)方程并求解；（4）對輸出量的復(fù)頻域函數(shù)取逆變換。5.4.3 線性電路的復(fù)頻域分析5.5

8、系 統(tǒng) 函 數(shù)5.5.1 系統(tǒng)函數(shù)的定義1.定義 線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)可定義為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)的拉氏變換Y(s)與系統(tǒng)激勵x(t)的拉氏變換X(s)之比 。5.5 系 統(tǒng) 函 數(shù)5.5.1 系統(tǒng)函數(shù)的定義 系統(tǒng)函數(shù)也稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。在系統(tǒng)分析中，由于激勵與響應(yīng)信號可以是電壓，也可以是電流，因此系統(tǒng)函數(shù)可以是阻抗（電壓除以電流）或?qū)Ъ{（電流除以電壓），也可以是數(shù)值比（電壓除以電壓或電流除以電流）。此外，當(dāng)系統(tǒng)為一個二端網(wǎng)絡(luò)，激勵與響應(yīng)在同一端口，如圖5.7(a)中的Ui(s)與Ii(s)，則系統(tǒng)函數(shù)稱為策動點函數(shù)或驅(qū)動點函數(shù)。 系統(tǒng)函數(shù)也稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。在系統(tǒng)分析中，由于激 若系

9、統(tǒng)為一個四端網(wǎng)絡(luò)，激勵與響應(yīng)不在同一端口，如圖5.7(b)中的Ui(s)或Ii(s)與Uo(s)或Io(s)，則此系統(tǒng)函數(shù)稱為轉(zhuǎn)移函數(shù)或傳輸函數(shù)。由此可知，策動點函數(shù)可能是阻抗或?qū)Ъ{，而傳輸函數(shù)可能是阻抗、導(dǎo)納或傳輸比值。 若系統(tǒng)為一個四端網(wǎng)絡(luò)，激勵與響應(yīng)不在同一端圖5.7 系統(tǒng)函數(shù)（策動點函數(shù)與轉(zhuǎn)移函數(shù)） 圖5.7 系統(tǒng)函數(shù)（策動點函數(shù)與轉(zhuǎn)移函數(shù)） 5.5.2 連續(xù)時間系統(tǒng)的三種描述方式 系統(tǒng)函數(shù)在系統(tǒng)分析中扮演著非常重要的角色。當(dāng)系統(tǒng)的微分方程給定時，令輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0-時的值為零，對微分方程取拉普拉斯變換即可得系統(tǒng)函數(shù)。 5.5.2 連續(xù)時間系統(tǒng)的三種描述方式 LTI連續(xù)時間系

10、統(tǒng)可用以下三種方式描述：（1） 系統(tǒng)微分方程；（2） 系統(tǒng)函數(shù)；（3） 系統(tǒng)沖激響應(yīng)。 在這三種描述中，能夠根據(jù)任一種形式推導(dǎo)出另外兩種形式。 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)可用以下三種方式描述： 在實際中，通常用系統(tǒng)函數(shù)描述系統(tǒng)，其框圖表示如圖5.8所示。 圖5.8 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述 在實際中，通常用系統(tǒng)函數(shù)描述系統(tǒng)，其框圖表5.5.3 用系統(tǒng)函數(shù)計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 在求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)時，它等于系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)與激勵信號x(t)之卷積，即y(t)=h(t)*x(t) 若Y(s)、H(s)、X(s)分別表示y(t)、h(t)、x(t)的拉氏變換，根據(jù)拉氏變換的時域卷積定理，式（5-28）

11、可表示為Y(s)=H(s)X(s)5.5.3 用系統(tǒng)函數(shù)計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)因此，只要知道了系統(tǒng)函數(shù)H(s)，對任意激勵信號x(t)拉普拉斯變換為X(s)后，二者相乘即可得到任意信號下的零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換Y(s)，再求拉氏逆變換即可得y(t)。因此，只要知道了系統(tǒng)函數(shù)H(s)，對任意激勵信號x(t)拉普5.5.4 系統(tǒng)函數(shù)的零極點圖1.系統(tǒng)函數(shù)的零極點 極點pi與零點zj的數(shù)值可以是實數(shù)、純虛數(shù)或復(fù)數(shù)。由于A(s)與B(s)的系數(shù)都是實數(shù)，所以零極點中若有虛數(shù)或復(fù)數(shù)，則必然共軛成對，因此H(s)的極點或零點存在以下幾種類型：一階實極點或?qū)嵙泓c；一階共軛極點或共軛零點；二階或二階以上的實、共軛

12、極點或零點。 5.5.4 系統(tǒng)函數(shù)的零極點圖2.系統(tǒng)的零極點圖 把系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零點和極點在s平面上標(biāo)注出來，極點用表示，零點用表示，就稱為系統(tǒng)函數(shù)的零極點圖。從零極點圖可以看出系統(tǒng)函數(shù)的零極點在s平面的分布情況。利用系統(tǒng)函數(shù)在s平面的零極點分布可以分析系統(tǒng)的時域特性，求解系統(tǒng)的自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)、暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。利用H(s)的零極點分布還可以方便地求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，從而對系統(tǒng)的頻域特性進(jìn)行分析。 2.系統(tǒng)的零極點圖H(s)的零極點圖如圖5.9所示。用符號表示零點，表示極點，在同一位置畫出了兩個相同的符號表示二階極點或零點。 H(s)的零極點圖如圖5.9所示。用符號表示零點，表示

13、圖5.9H（s）的零極點圖 圖5.9H（s）的零極點圖 5.5.5 由系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布確定時域特性 系統(tǒng)函數(shù)H(s)與沖激響應(yīng)h(t)是一對拉氏變換，因此根據(jù)H(s)的零極點在s平面上的分布就可以確定系統(tǒng)的時域特性。5.5.5 由系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布確定時域特性1.系統(tǒng)函數(shù)的極點與時域特性的關(guān)系（1） 若一階極點位于s平面的坐標(biāo)原點 圖5.10 1.系統(tǒng)函數(shù)的極點與時域特性的關(guān)系圖5.10 （2） 若一階極點位于s平面的實軸上 ，且極點為負(fù)實數(shù)，p=-a0 圖5.12 （3） 若一階極點位于s平面的實軸，且極點為正實數(shù)，p1=a（4） 若有一對共軛極點位于虛軸，p1=j0及p2=-j0 圖

14、5.13 （4） 若有一對共軛極點位于虛軸，p1=j0及p2=-j（5） 若有一對共軛極點位于s左半平面，即p1=-a+j0，p2=-a-j0，-a0 圖5.15 （6） 若有一對共軛極點位于s 右半平面，即p1=a+j0（7） 若有二階極點位于s平面的坐標(biāo)原點，即p1，2=0 圖5.16 （7） 若有二階極點位于s平面的坐標(biāo)原點，即p1，2=0 圖（8） 若有二階極點位于負(fù)實軸，即p1，2=-a，a0 圖5.17（8） 若有二階極點位于負(fù)實軸，即p1，2=-a，a0 圖（9） 若二階共軛極點位于虛軸，即p1，2=j0，p3，4=-j0 圖5.18 （9） 若二階共軛極點位于虛軸，即p1，2=

15、j0，p3，4 綜上所述，若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點位于s左半平面，則沖激響應(yīng)h(t)的波形呈衰減變化，若H(s)的極點位于s右半平面，則h(t)呈增幅變化。當(dāng)一階極點位于虛軸時，對應(yīng)的h(t)成等幅振蕩或階躍變化。若二階極點位于虛軸，則相應(yīng)的h(t)呈增幅變化。 綜上所述，若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點位于s左半2.系統(tǒng)函數(shù)的零點與時域特性的關(guān)系 H(s)的極點位置與沖激函數(shù)的形狀有著重要關(guān)系，而H(s)的零點分布只影響到?jīng)_激函數(shù)的振幅與相位，而對于h(t)的波形形式不起作用。 2.系統(tǒng)函數(shù)的零點與時域特性的關(guān)系5.6 系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定 性 本節(jié)討論利用系統(tǒng)的s域特性來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。一般說

16、來，無源系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。然而，在電子系統(tǒng)中，廣泛應(yīng)用有源的反饋系統(tǒng)，這種系統(tǒng)可能是不穩(wěn)定的。判別一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定或者求解一個系統(tǒng)的穩(wěn)定條件或自激震蕩條件是電子設(shè)計中必須要考慮的問題。本節(jié)將討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別準(zhǔn)則，著重討論線性非時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。5.6 系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定 性 本節(jié)討論利5.6.1 時域判別法 如果輸入有界時（Bounded input）只能產(chǎn)生有界輸出（Bounded output），這樣的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)，這一穩(wěn)定性準(zhǔn)則稱為BIBO穩(wěn)定性準(zhǔn)則。它適用于一般系統(tǒng)，可以是線性系統(tǒng)也可以是非線性系統(tǒng)，可以是非時變系統(tǒng)也可以是時變系統(tǒng)。 5.6.1 時域判別法5.6.2 s域判

17、別法 以上討論的穩(wěn)定性條件都是在時域判定的。在s域中，對于線性非時變因果系統(tǒng)，可根據(jù)上述定義和系統(tǒng)的零極點分布與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的關(guān)系得出系統(tǒng)極點分布與穩(wěn)定性的關(guān)系如下。（1）穩(wěn)定因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點只能在s左半平面，不能在s右半平面有極點，否則不滿足式（5-36），系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.6.2 s域判別法 （2）如果H(s)的一階極點位于虛軸，則該系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。 （3）H(s)的極點位于s右半平面，對于因果系統(tǒng)來說，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。 （4）如果H(s)在虛軸上有二階以上的極點，則該系統(tǒng)不穩(wěn)定。 由于無源系統(tǒng)不能補(bǔ)充和供給能量，其響應(yīng)幅度總是有限的，故無源網(wǎng)絡(luò)都是穩(wěn)定系統(tǒng)或臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。

18、 （2）如果H(s)的一階極點位于虛軸，則該系統(tǒng)為5.7 系 統(tǒng) 的 頻 率 響 應(yīng) 在s平面，任一復(fù)數(shù)都可用一有方向的線段表示，這稱為矢量。例如，某一極點pi可以看成自坐標(biāo)原點指向該極點的矢量，如圖5.19（a）所示。矢量的長度表示模|pi|，其相角是自實軸反時針方向至該矢量的夾角，變量j也可以用矢量表示，如圖5.19（b）所示。于是j-pi就是矢量j與矢量pi的差矢量，當(dāng)變化時，差矢量也隨之變化。5.7 系 統(tǒng) 的 頻 率 響 應(yīng) 在s平面，任一復(fù)數(shù)都可圖5.19 零點與極點的矢量表示 圖5.19 零點與極點的矢量表示 5.8 用MATLAB進(jìn)行連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析5.8.1 用MATLAB求解信號的拉氏變換 MATLAB與拉氏變換定義式對應(yīng)的指令為xs=laplac