1、關(guān)于快速傅立葉變換及其應(yīng)用第1頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三一、實驗?zāi)康?了解計算DFT算法存在的問題及改進(jìn)途徑。 掌握幾種DFT算法（時間抽取算法DIT算法，頻率抽取算法DIF算法，線性調(diào)頻Z變換即CZT法）。學(xué)習(xí)并掌握FFT的應(yīng)用。 第2頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三二、實驗原理有限長序列通過離散傅里葉變換(DFT)將其頻域離散化成有限長序列.但其計算量太大(與N的平方成正比）, 很難實時地處理問題, 因此引出了快速傅里葉變換(FFT)。FFT并不是一種新的變換形式,它只是DFT的一種快速算法.并且根據(jù)對序列分解與選取方法的不同而產(chǎn)生了F

2、FT的多種算法.第3頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三DFT的快速算法FFT是數(shù)字信號處理的基本方法和基本技術(shù)，是必須牢牢掌握的。 時間抽選FFT算法的理論推導(dǎo)和流圖詳見數(shù)字信號處理教材。該算法遵循兩條準(zhǔn)則： （1）對時間奇偶分；（2）對頻率前后分。 這種算法的流圖特點是： （1）基本運算單元都是蝶形 任何一個長度為N=2M的序列，總可通過M次分解最后成為2點的DFT計算。如圖所示： 第4頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三WNk稱為旋轉(zhuǎn)因子 計算方程如下： Xm+1(p)=Xm(p)+WNkXm(q) Xm+1(q)=Xm(p)-WNkXm(q)第5

3、頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三 （2）同址（原位）計算 這是由蝶形運算帶來的好處，每一級蝶形運算的結(jié)果Xm+1(p)無須另外存儲，只要再存入Xm(p)中即可，Xm+1(q)亦然。這樣將大大節(jié)省存儲單元。 （3）變址計算 輸入為“混序”（碼位倒置）排列，輸出按自然序排列，因而對輸入要進(jìn)行“變址”計算（即碼位倒置計算）?！白冎贰睂嶋H上是一種“整序”的行為，目的是保證“同址”。 第6頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三FFT的應(yīng)用凡是利用付里葉變換來進(jìn)行分析、綜合、變換的地方，都可以利用FFT算法來減少其計算量。FFT主要應(yīng)用在 1、快速卷積 2、快速相

4、關(guān) 3、頻譜分析第7頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三快速傅立葉變換的MATLAB實現(xiàn)提供fft函數(shù)計算DFT格式 X=fft(x) X=fft(x,N) 如果x的長度小于N，則在其后填零使其成為N點序列，若省略變量N，則DFT的長度即為x的長度。如果N為2的冪，則得到高速的基-2FFT算法；若N不是2的乘方，則為較慢的混合算法。如果x是矩陣，則X是對矩陣的每一列向量作FFT。第8頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三由題目可得x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)fs=100N=128/1024例：已知信號由15Hz

5、幅值0.5的正弦信號和40Hz幅值2的正弦信號組成，數(shù)據(jù)采樣頻率為100Hz,試?yán)L制N=128點DFT的幅頻圖。第9頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三fs=100;N=128;n=0:N-1;t=n/fs;x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y=fft(x,N);f=(0:length(y)-1)*fs/length(y);mag=abs(y);stem(f,mag);title(N=128點)第10頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三第11頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三利用FFT進(jìn)行功

6、率譜的噪聲分析已知帶有測量噪聲信號 其中f1=50Hz,f2=120Hz, 為均值為零、方差為1的隨機(jī)信號，采樣頻率為1000Hz，數(shù)據(jù)點數(shù)N=512。試?yán)L制信號的頻譜圖和功率譜圖。第12頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三t=0:0.001:0.6;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);y=x+2*randn(1,length(t);Y=fft(y,512);P=Y.*conj(Y)/512; %求功率f=1000*(0:255)/512;subplot(2,1,1);plot(y);subplot(2,1,2);plot(f,P(1:256)

7、;第13頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三第14頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三序列長度和FFT的長度對信號頻譜的影響。已知信號 其中f1=15Hz,f2=40Hz,采樣頻率為100Hz. 在下列情況下繪制其幅頻譜。 Ndata=32,Nfft=32; Ndata=32,Nfft=128;第15頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三fs=100;Ndata=32; Nfft=32;n=0:Ndata-1;t=n/fs;x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y=fft(x,Nfft);mag=a

8、bs(y);f=(0:length(y)-1)*fs/length(y);subplot(2,1,1)plot(f(1:Nfft/2),mag(1:Nfft/2)title(Ndata=32,Nfft=32)第16頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三Nfft=128;n=0:Ndata-1;t=n/fs;x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y=fft(x,Nfft);mag=abs(y);f=(0:length(y)-1)*fs/length(y);subplot(2,1,2)plot(f(1:Nfft/2),mag(1:Nfft/2

9、)title(Ndata=32,Nfft=128)第17頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三第18頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三快速傅立葉逆變換（IFFT）函數(shù)調(diào)用格式 y=ifft(x) y=ifft(x,N)當(dāng)N小于x長度時，對x進(jìn)行截斷，當(dāng)N大于x長度時，對x進(jìn)行補零。第19頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三對信號 進(jìn)行DFT，對其結(jié)果進(jìn)行IDFT，并將IDFT的結(jié)果和原信號進(jìn)行比較。f1=40Hz f2=15HzFs=100Hz 第20頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三fs=100; N=128;

10、 n=0:N-1; t=n/fs;x=sin(2*pi*40*t)+sin(2*pi*15*t);subplot(2,2,1)plot(t,x)title(original signal)y=fft(x,N);mag=abs(y);f=(0:length(y)-1)*fs/length(y);subplot(2,2,2)plot(f,mag)title(FFT to original signal)第21頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三xifft=ifft(y);magx=real(xifft);ti=0:length(xifft)-1/fs;subplot(2,2,3

11、)plot(ti,magx);title(signal from IFFT)yif=fft(xifft,N);mag=abs(yif);subplot(2,2,4)plot(f,mag)title(FFT to signal from IFFT)第22頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三第23頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三線性卷積的FFT算法在MATLAB實現(xiàn)卷積的函數(shù)為CONV，對于N值較小的向量，這是十分有效的。對于N值較大的向量卷積可用FFT加快計算速度。由DFT性質(zhì)可知，若DFTx1(n)=X1(k),DFTx2(n)=X2(n)則 若DF

12、T和IDFT均采用FFT和IFFT算法，可提高卷積速度。第24頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三計算x1(n)和x2(n)的線性卷積的FFT算法可由下面步驟實現(xiàn)計算X1(k)=FFTx1(n);計算X2(k)=FFTx2(n);計算Y(k)=X1(k) X2(k);計算x1(n)*x2(n)=IFFTY(k).第25頁，共28頁，2022年，5月20日，16點1分，星期三用函數(shù)conv和FFT計算同一序列的卷積，比較其計算時間。L=5000; N=L*2-1; n=1:L;x1=0.5*n; x2=2*n;t0=clock; yc=conv(x1,x2);conv_time=etime(clock,t0)t0=clock;yf=ifft(fft(x1,N).*fft(x2,N);fft_time=etime(clock,t0)clock函數(shù)讀取