1、 專題5-2 向量線性運算及四心綜合歸類目錄一、熱點題型歸納TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc5353 【題型一】基底就是坐標(biāo)軸1 HYPERLINK l _Toc15895 【題型二】基底拆分：繞三角形4 HYPERLINK l _Toc19175 【題型三】基底拆分：待定系數(shù)型 PAGEREF _Toc19175 6 HYPERLINK l _Toc793 【題型四】基底拆分：均值不等式求最值型 PAGEREF _Toc793 8 HYPERLINK l _Toc6031 【題型五】基底拆分：求最值型 PAGEREF _Toc6031 10 HYPERLINK l

2、 _Toc22586 【題型六】三角換元型 PAGEREF _Toc22586 13 HYPERLINK l _Toc15489 【題型七】等和線型 PAGEREF _Toc15489 16 HYPERLINK l _Toc31622 【題型八】極化恒等式 PAGEREF _Toc31622 19 HYPERLINK l _Toc7901 【題型九】奔馳定理 PAGEREF _Toc7901 21 HYPERLINK l _Toc14196 【題型十】四心與向量1：重心 PAGEREF _Toc14196 23 HYPERLINK l _Toc16059 【題型十一】四心與向量2：外心 PAG

3、EREF _Toc16059 25 HYPERLINK l _Toc9556 【題型十二】四心與向量3：內(nèi)心 PAGEREF _Toc9556 27 HYPERLINK l _Toc8044 【題型十三】四心與向量4：垂心 PAGEREF _Toc8044 29 HYPERLINK l _Toc32236 【題型十四】向量點落在區(qū)域內(nèi) PAGEREF _Toc32236 31 HYPERLINK l _Toc14534 【題型十五】向量超難壓軸小題 PAGEREF _Toc14534 34 HYPERLINK l _Toc3867 二、真題再現(xiàn) PAGEREF _Toc3867 37 HYPE

4、RLINK l _Toc6563 三、模擬檢測 PAGEREF _Toc6563 43【題型一】基底就是坐標(biāo)軸【典例分析】（2022廣東深圳高三階段練習(xí)）在中，為邊的延長線上一點，且，記，則（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用的向量的線性運算可得，即可得解.【詳解】方法一：基礎(chǔ)拆解法：，故選：A.方法二：坐標(biāo)軸法，由題意可得如圖,顯然再第二象限，所以系數(shù)是（-，+）且y方向分向量的模大于1，故選S【提分秘籍】基本規(guī)律在平面向量的線性運算中，如圖OP=xOA+yOB，x,y的范圍可仿照直角坐標(biāo)系得出，OA，OB類比于x,y軸，直角坐標(biāo)系中有四個象限，類比在（O,OA,OB）中也有四個象限

5、，如第象限有x0在平面內(nèi)，有公共原點且互相垂直的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，同樣地，在平面內(nèi)有公共原點且不垂直的兩條數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系，我們稱之為“斜坐標(biāo)系”.如圖，在斜坐標(biāo)系中，兩條坐標(biāo)軸的公共原點稱為斜坐標(biāo)系的原點，其坐標(biāo)記為，點是斜坐標(biāo)系中的任意一點，與直角坐標(biāo)系相類似，過點分別作兩坐標(biāo)軸的平行線，與軸、軸交于點、，若、在軸、軸上分別對應(yīng)實數(shù)、，則有序數(shù)對叫做點在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為.若點、是斜坐標(biāo)系（）中任意兩點.【變式演練】1.（2022廣東高三開學(xué)考試）在平行四邊形中，點、分別滿足，若，則（）ABCD【答案】A【分析】結(jié)合向量加法法則與減法法則運算求解即可.【詳解】解：基礎(chǔ) 解法因

6、為在平行四邊形中，點、分別滿足，所以，所以故選：A方法二：坐標(biāo)軸法.如圖，建立坐標(biāo)系。則,顯然處于第四象限，坐標(biāo)是（+，），分向量的模都小于1，并且x分向量的模小于1/2，故答案是A2.（2022廣東廣州市真光中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，在中，則（）ABCD2【答案】A【分析】根據(jù)平面向量基本定理，平面向量的線性運算即可求解【詳解】解：方法一：基礎(chǔ)解法在中，則，又，故選：A方法二：坐標(biāo)軸法如圖，作坐標(biāo)軸平行線，可得E為三等分點（近C），F(xiàn)為三等分點（近A），故m為1/3,n為2/3,所以答案為A【題型二】基底拆分：繞三角形【典例分析】（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線

7、AC與BD交于點O，且，則（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得；【詳解】方法一：因為，所以，所以.。故選：C.方法二：繞三角形法【提分秘籍】基本規(guī)律一部分基礎(chǔ)不太好的同學(xué)，對于利用基底基礎(chǔ)定理求解推導(dǎo)掌握的不是太順利，可以把這個簡化為“繞三角形”：標(biāo)記出基底（共起點），然后把要求的向量按照三角形法則來推導(dǎo)。三角形法則共線（拉長或者縮短）三角形法則共線（拉長或者縮短）。周期反復(fù)，一直到推導(dǎo)為基底?！咀兪窖菥殹?.（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，中，點E是的三等分點，則（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)向量的加法法則和減法法則進(jìn)行運算即可.【詳解】故選：B.2.（202

8、3全國高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，G為EF的中點，則（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)題意和平面向量的線性運算即可得出結(jié)果.【詳解】故選：B.3.在ABC中，G為ABC的重心，M為AC上一點，且滿足MC=3AGM=13CGM=13山東省濱州市2019屆高三第二次模擬（5月)考試數(shù)學(xué)（理)試題【答案】B【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合向量的加法和減法即可判斷結(jié)論。【詳解】由題意，畫出幾何圖形如下圖所示：根據(jù)向量加法運算可得GM=GA因為G為ABC的重心，M滿足MC=3AM所以AG所以GM=13AB+【題型三】基底拆分：待定系數(shù)型【典例分析】（2022全國高三專題練習(xí)）在梯形ABCD中

9、，且，點P在邊BC上，若，則實數(shù)（）ABCD【答案】A【分析】延長、交于點，根據(jù)三點共線的推論得到，再根據(jù)梯形上下底的比例關(guān)系，即可得到，代入即可得解；【詳解】解：延長、交于點，則、三點共線，于是可得，因為且，所以，所以，故；故選：A【提分秘籍】基本規(guī)律平面向量基本定理(平面內(nèi)三個向量之間關(guān)系)：若、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)、，使.（1）選定基底，則、，是唯一的（2）處理技巧：可“繞三角形”，可待定系數(shù)，可建系 ?！咀兪窖菥殹?.（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，在中，是上一點，若，則實數(shù)的值為（）A3B4C5D6【答案】B【分析】由，得，代入

10、中，再由三點共線，列方程可求出實數(shù)的值【詳解】因為，得，因為，所以，因為三點共線，所以，解得，故選：B2.（2020四川模擬預(yù)測（理）在中，是線段上一點，若，則實數(shù)的值為（）ABCD【答案】C【分析】利用平面向量線性運算法則得，再利用三點共線定理求解即可【詳解】在中，是線段上一點，則.故選：C3.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的中點，點F在線段CD上，且，AE與BF交于點P，若，則（ ）ABCD 【答案】A【分析】設(shè)出，求得，再利用向量相等求解即可.【詳解】連接AF，因為B，P，F(xiàn)三點共線，所以，因為，所以，所以.因為E是BC的中點，所以.因為，所以，則，解得.故選：A【題型四】基

11、底拆分：均值不等式求最值型【典例分析】（2023全國高三專題練習(xí)）如圖，在中，是線段上的一點，且，過點的直線分別交直線，于點，若，則的最小值是（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)平面向量基本定理，以及三點共線，可確定的關(guān)系，即 ，可得，再利用基本不等式求最值即可【詳解】由條件可得，因為三點共線，則；當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最小值是；故選：C【提分秘籍】基本規(guī)律利用向量基底理論，求出“和定”或者“積定”，再用均值不等式技巧求出最值和范圍【變式演練】1.（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，在中，M，N分別是線段，上的點，且，D，E是線段上的兩個動點，且，則的的最小值是（）A4BCD2【答案】B【分析

12、】根據(jù)平面向量共線定理可設(shè)，再結(jié)合得，最后運用基本不等式可求解.【詳解】設(shè)，則，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立.所以的的最小值是.故選：B2.（2022全國高三專題練習(xí)）在中，點F為線段BC上任一點（不含端點），若，則的最小值為（）A9B8C4D2【答案】A【分析】根據(jù)向量共線定理得推論得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【詳解】因為點F為線段BC上任一點（不含端點），所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選：A3.（2022河南許昌三模（文）在中，點D在BC上，且滿足，點E為AD上任意一點，若實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）ABCD【答案】D【分析】先根據(jù)共線向量定理的推論，三點共線的

13、結(jié)論可得，再根據(jù)“”的代換即可求出【詳解】因為，所以，即由三點共線可得，且所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號故選：D【題型五】基底拆分：求最值型【典例分析】在平行四邊形中，分別是上的點，且，（其中），且.若線段的中點為，則當(dāng)取最小值時，的值為（ ）ABCD 【答案】B【分析】利用，結(jié)合向量線性運算、數(shù)量積運算，以及，求得當(dāng)為何值時取得最小值，進(jìn)而求得的值.【詳解】依題意可知，所以.由于，所以可化為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，取得最小值，此時，所以.故選：B【提分秘籍】基本規(guī)律1.基底拆分，可得系數(shù)和定值（實質(zhì)是“等和線”）2.也建系設(shè)點三角換元等【變式演練】1如圖，在中，、分別是、的中點，若（，）

14、，且點落在四邊形內(nèi)（含邊界），則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】分析：利用平面向量的線性運算，得出滿足的不等關(guān)系，再利用線性規(guī)劃思想求解.詳解：由題意，當(dāng)在線段上時，當(dāng)點在線段上時，當(dāng)在四邊形內(nèi)（含邊界）時，（），又，作出不等式組（）表示的可行域，如圖，表示可行域內(nèi)點與連線的斜率，由圖形知，即，故選C.2.在中，點滿足，當(dāng)點在線段上移動時，若，則的最小值是（ ）A B C D【答案】C【解析】【分析】如圖，存在實數(shù)使得 ，所以，所以 ，原式 ，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，故選C.3.3.設(shè)向量，其中為實數(shù)，若，則的取值范圍為（ ）A B C D 【答案】A【解析】試題分析：由，得，整理得

15、，由得，又，則，解得，而，故，即選A.【題型六】三角換元型【典例分析】在直角梯形中， ， ， ， 分別為， 的中點，以為圓心， 為半徑的圓交于，點在弧上運動（如圖）.若，其中， ，則的取值范圍是（ ）ABCD 【答案】D【分析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F(xiàn)（1，1.5），P（cos，sin）（0），由得，（cos，sin）（2，1）+（1，），用參數(shù)進(jìn)行表示，利用輔助角公式化簡，即可得出結(jié)論【詳解】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F(xiàn)（1，1.5），P（cos，s

16、in）（0），由得，（cos，sin）（2，1）+（1，）cos2，sin，6+6（）2（sin+cos）2sin（），sin（）2sin（）2，2，即6+的取值范圍是2，2故選D【提分秘籍】基本規(guī)律利用向量幾何意義等知識轉(zhuǎn)化為圓的概念和方程，再用圓的參數(shù)方程進(jìn)行三角代換，可達(dá)到化繁為簡的目標(biāo)【變式演練】1.在矩形中，點P是以點C為圓心，2為半徑的圓上的動點，設(shè)，則的最小值為（ ）A1BC2D【答案】B【分析】以為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，寫出圓的方程，利用三角換元，結(jié)合向量的線性運算，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解，即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，故可得，故點P在圓上，設(shè)

17、，又，所以，從而，故選：B.2.若向量，是不共線的兩個向量，與共線，當(dāng)時，的最小值為（ ）A4B2CD 【答案】A【分析】利用平面向量共線定理求出的關(guān)系式，再利用基本不等式：積為定值，和有最小值即可求解.【詳解】因為與共線，由平面向量共線定理可知，所以，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故選：A3.已知，為外接圓上的一動點，且，則的最大值是（）ABCD 【答案】B【分析】以的中點為原點，以為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)的坐標(biāo)為，求出點的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)乘運算得到，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出答案.【詳解】解：以的中點為原點，以為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系

18、，則外接圓的方程為，設(shè)的坐標(biāo)為，過點作垂直軸， ，其中，當(dāng)時，有最大值，最大值為，故選B【題型七】等和線型【典例分析】（2023全國高三專題練習(xí)）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點，若，則的最大值為（）AB2CD1【答案】A【分析】等和線的問題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.【詳解】作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，設(shè)，則，BC/EF，設(shè)，則，故選：A.【提分秘籍】基本規(guī)律等和線原理：【變式演練】1.如圖，延長正方形ABCD的邊CD至點E，使得DE= CD，動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周后回到點A，若，則下列

19、判斷正確的是（ ）A滿足+=2的點P必為BC的中點B滿足+=1的點P有且只有一個C滿足+=3的點P有且只有一個D+=的的點P有且只有一個 【答案】C【分析】建立坐標(biāo)系，討論，四種情況，出的范圍，再判斷每個選項的正誤，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖建系，取， ，動點從點出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到點，當(dāng)時，有且，當(dāng)時，有且，則，當(dāng)時，有且，則，當(dāng)時，有且，則，綜上，選項A，取，滿足，此時，因此點不一定是的中點，故A錯誤；選項B，當(dāng)點取點或的中點時，均滿足，此時點不唯一，故B錯誤；選項C，當(dāng)點取點時，且，解得，為，故C正確；選項D，當(dāng)點取的中點或的中點時，均滿足，此時點不唯一，故D錯誤；

20、故選：C.2.如圖，中，與交于，設(shè)，則為ABCD 【答案】A【詳解】延長交于點；與交于，點是的重心，又 ，則為；故答案選A3.如圖，在邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段（含端點）上運動， 是圓上及內(nèi)部的動點，設(shè)向量（， 為實數(shù)），則的取值范圍是（ ）A B C D 【答案】C【解析】以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則 所以 ，即 選C.方法二：【解析】如圖所示,設(shè)點O為正六邊形的中心,則 當(dāng)動圓Q的圓心經(jīng)過點C時，與邊BC交于點P，點P為邊BC的中點。連接OP，則，與共線,存在實數(shù)t,使得此時m+n=1+t+1t=2，取得最小值當(dāng)動圓Q的圓心經(jīng)過點D時，取AD的

21、延長線與Q的交點P時, 此時m+n=5取得最大值。故選：C.【題型八】極化恒等式【典例分析】(2021鄭州密卷)如圖，已知點O為ABC的重心，OAOB，AB，則的值為 【解析】法1：連結(jié)CO并延長交AB于點M(如圖1)， 則 ， 因為，所以法2： 以AB的中點M為坐標(biāo)原點，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖2)，則， 設(shè)，則易得，因為OAOB，所以，從而， 化簡得， 所以法3：極化恒等式.【提分秘籍】基本規(guī)律基礎(chǔ)知識：在中，是邊的中點，則.【變式演練】1.如圖放置的邊長為1的正方形，頂點分別在軸，軸正半軸（含原點）滑動，則的最大值為_.【解析】如圖，中點，因為2.(2020南通三調(diào))如圖，已知

22、正方形的邊長為2，為的中點，以為圓心，為半徑，作圓交于點，若為劣弧上的動點，則的最小值是_.【解析】當(dāng)三點共線時最小，此時3.如圖，在平面四邊形中，則的最大值為 .解析：取的中點，連接，由,，由四點共圓，且直徑為.則 所以 .【題型九】奔馳定理【典例分析】在中，為其內(nèi)部一點，且滿足，則和的面積比是（ ）A3：4B3:2C1:1D1:3 【答案】D【解析】取 中點 ,則由 得 ,所以, 在線段上,因此 ，選D.【提分秘籍】基本規(guī)律奔馳定理【變式演練】1.設(shè)點在的內(nèi)部，且，若的面積是27，則的面積為（ ）A9B8CD7 【答案】A【詳解】延長OC到D，使得OD=2OC,因為，所以，以O(shè)A，OD為邊

23、作平行四邊形OAED,對角線交點為F,OE交AC于H,因為,所以,因為OC:AE=1:2,所以O(shè)H:HE=1:2,所以,所以,所以的面積是面積的，所以的面積為9.故選：A2.已知等邊ABC邊長為4，O為其內(nèi)一點，且4OA+7OB+3OC=0，則AOB的面積為 A4 【答案】B【解析】4OA+7OB延長OB到點E，使得OE=74OB，分別以O(shè)A,OE為鄰邊作平行四邊形OAFE，則OA+OE=OA+3.已知為內(nèi)一點，且， ，則為（ ）A B C D 【答案】D【解析】如圖：設(shè)、分別為、的中點， ，同理由，即，到的距離等于到的距離的，設(shè)的面積為S，則，故為，故選D.【題型十】四心與向量1：重心【典例

24、分析】過內(nèi)一點任作一條直線，再分別過頂點作的垂線，垂足分別為，若恒成立，則點是的（ ）A垂心B重心C外心D內(nèi)心河北省保定市2018-2019學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題【答案】B【詳解】本題采用特殊位置法較為簡單.因為過內(nèi)一點任作一條直線，可將此直線特殊為過點A，則，有.如圖：則有直線AM經(jīng)過BC的中點，同理可得直線BM經(jīng)過AC的中點，直線CM經(jīng)過AB的中點，所以點是的重心，故選B【提分秘籍】基本規(guī)律（1）是重心，（2）是平面內(nèi)任一點， 是重心【變式演練】1.在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，O為ABC的外心，D為BC邊上的中點，c=4，AOAD=5，sinA32 B

25、12 C1 【答案】C【解析】由題意，O為ABC 的外心，D 為BC 邊上的中點，可得：AD=12(AB+AC) ，因為AOAD=5，可得：AO12(AB+2.已知，是不在同一直線上的三個點，是平面內(nèi)一動點，若，則點的軌跡一定過的（）A外心B重心C垂心D內(nèi)心 【答案】B【分析】設(shè)出的中點，利用向量的運算法則化簡；據(jù)向量共線的充要條件得到在三角形的中線上，利用三角形的重心定義：三中線的交點，得到選項【詳解】解：如圖，取的中點，連接，則又，即又，點在射線上故的軌跡過的重心故選：B3.在四邊形中，為的重心，點在線段 上， 則的最小值為（）ABCD0 【答案】A【分析】首先根據(jù)平面向量的加法幾何意義，

26、三角形重心的性質(zhì)和平面數(shù)量積的概念得到，再利用基本不等式性質(zhì)即可得到答案.【詳解】如圖所示：因為，所以，于是有，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以.故選：A【題型十一】四心與向量2：外心【典例分析】已知為銳角的外接圓的圓心，若，則的值為（ ）ABCD 【答案】B【詳解】如圖所示，取的中點的中點，連接，則；所以，所以由，設(shè)的外接圓半徑為，則，由正弦定理得，所以，且，代入可得，所以，又因為，可得，即，故選B【提分秘籍】基本規(guī)律（1）是外心，（2）若是外心，則（3）若是外心，則對于平面內(nèi)任意點，均有： 【變式演練】1.已知，是邊上的點，且，為的外心，的值為（ ）A8B10C18D9 【答案】D【詳解】因為，

27、所以，因此；取，中點分別為，則，；因此，所以.故選D2.已知ABC外接圓的圓心為O，AB=23，AC=22，A為鈍角，M是BC邊的中點，則A3 B4 C5 D6 【答案】C【解析】M 是BC邊的中點，AMO 是ABC 的外接圓的圓心，AOAOAC3.在中,內(nèi)角的對邊分別為是外接圓的圓心,若,且,則的值是( )A B C D 【答案】C【解析】因為，由余弦定理得，整理得，所以，即，因為是的外心，則對于平面內(nèi)任意點，均有： ，令與重合，及得，故選C【題型十二】四心與向量3：內(nèi)心【典例分析】（2022江蘇高三模擬）在ABC中，O為ABC的內(nèi)心，若，則xy的最大值為（）ABCD【答案】D【分析】設(shè)，根

28、據(jù)三點共線可得，結(jié)合圖像分析運算【詳解】如圖：圓O在邊上的切點分別為，連接，延長交于點設(shè)，則，則設(shè)三點共線，則，即即故選：D【提分秘籍】基本規(guī)律（1）是內(nèi)心（2）是內(nèi)心，（2）是內(nèi)心【變式演練】1.點為所在平面內(nèi)一點，則的形狀為（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形D等邊三角形 【答案】B【詳解】,所以.AO在BAC的角平分線上，所以AO既在BC邊的高上，也是BAC的平分線，所以ABC是等腰三角形.故選：B2.是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足：，則的軌跡一定通過的( )A內(nèi)心B垂心C重心D外心 【答案】A【詳解】、分別表示向量、方向上的單位向量的方向與的角平分線一致

29、又，向量的方向與的角平分線一致一定通過的內(nèi)心故選：3.已知非零向量AB,AC滿足(AB|AB|+A三邊均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰（非等邊）三角形 D等邊三角形 【答案】D【解析】試題分析：因為(AB|AB|+AC|AC|)BC【題型十三】四心與向量4：垂心【典例分析】設(shè)H是的垂心，且，則_河南省商丘市第一高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期五月月考數(shù)學(xué)試卷【答案】【分析】由三角形垂心性質(zhì)及已知條件可求得，由向量的夾角公式即可求解【詳解】H是的垂心，同理可得，故，同理可求得，即.故答案為：【提分秘籍】基本規(guī)律（1）是垂心，（2）若是垂心，則【變式演練】1.已知是平面內(nèi)一點，是平面

30、內(nèi)不共線的三點，若，一定是的（）A外心B重心C垂心D內(nèi)心 【答案】C【分析】結(jié)合向量數(shù)量積的運算求得正確答案.【詳解】由題意知，中，則，即，所以，即，同理，；所以是的垂心.故選：C2.已知H為的垂心，若，則（）ABCD【答案】C【分析】，利用、得，解得， 再利用平方共線可得答案.【詳解】依題意，同理由H為ABC的垂心，得，即，可知，即同理有，即，可知，即，解得， ，又，所以故選：C3.點P為ABC所在平面內(nèi)的動點，滿足AP=t(AB|AB|cosB+AC|A外心B重心C垂心D內(nèi)心 【答案】C【詳解】處理原式得到AP故AP所在的直線與三角形的高重合，故經(jīng)過垂心，故選C?！绢}型十四】向量點落在區(qū)域

31、內(nèi)【典例分析】在直角中，是直角，CA=4，CB=3，的內(nèi)切圓交CA，CB于點D，E，點P是圖中陰影區(qū)域內(nèi)的一點(不包含邊界)若，則的值可以是（）A1B2C4D8【答案】B【分析】先由內(nèi)切圓性質(zhì)求出半徑，再利用坐標(biāo)法得到的幾何意義，最后利用線性規(guī)劃方法數(shù)形結(jié)合可解.【詳解】在中，CA=4，CB=3，則AB=5，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，且，則，以C為坐標(biāo)原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，.，令，則點P在直線上(t為截距).又點P是圖中陰影區(qū)域內(nèi)的一點(不包含邊界)即直線與陰影區(qū)域(不包含邊界)有公共點.由圖可知，當(dāng)且時，才滿足題意，所以排除選項ACD.故選：B.【提分秘籍】基本規(guī)律對于向量終點落在某些區(qū)

32、域內(nèi)題型，可以從以下幾個方向切入解題：1.等和線法2.建系求點法3.向量四邊形或者三角形法?！咀兪窖菥殹?.如圖，點在由射線、線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且，則滿足條件的實數(shù)對可以是（）ABCD【答案】C【分析】利用平面向量的基本定理和平行四邊形法則，可以將四個答案一一代入，判斷點的位置，排除錯誤答案，即可得到結(jié)論【詳解】根據(jù)平面向量基本定理和平行四邊形法則，A（，），此時P在線段AB上，B（，），此時P在直線AB的上方，同理，D（，），此時P在直線AB的上方，因此ABD均不正確，故選：C2.如圖，在中，點是線段及、的延長線所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的任意一點，且，則在直角坐

33、標(biāo)平面上，實數(shù)對所表示的區(qū)域在直線的右下側(cè)部分的面積是（）ABCD不能求【答案】A【分析】由點是由線段及、的延長線所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的任意一點，作的平行線，把中、所滿足的不等式表示出來，然后作出不等式組所表示的可行域，并計算出可行域在直線的右下側(cè)部分的面積即可.【詳解】如下圖，過作，交的延長線于，交的延長線于，設(shè)，則，所以，得，所以.作出不等式組對應(yīng)的可行域，如下圖中陰影部分所示，故所求面積為，故選：A.3.如圖,，點在由射線、線段及的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運動,且.當(dāng)時，的取值范圍是（）ABCD 【答案】B【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形

34、應(yīng)是以與的反向延長線為兩鄰邊，當(dāng)時，要使點落在指定區(qū)域內(nèi)，即點應(yīng)落在上，得到的取值范圍.【詳解】如圖，點在由射線、線段及的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運動，且.，由向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形應(yīng)是以與的反向延長線為兩鄰邊，當(dāng)時，要使點落在指定區(qū)域內(nèi)，即點應(yīng)落在上，的取值范圍為.故選：B【題型十五】向量超難壓軸小題【典例分析】已知平面向量，滿足且，若對每一個確定的向量，記的最小值為，則當(dāng)變化時，的最大值為（ ）ABCD1 【答案】B【分析】根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質(zhì)可知

35、的最小值即為到直線的距離最小值,且當(dāng)與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式即可求得直線方程,進(jìn)而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值。根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當(dāng)與圓相切時,有最大值設(shè)切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點到直線距離公式可得,化簡可得 即 所以切線方程為或所以當(dāng)變化時, 到直線的最大值為 即的最大值為故選:B【變式演練】1.已知向量，若，則的最大值為( )ABC4D5 【答案】A【分析】設(shè)，由可得點的軌跡方程，再

36、對兩邊平方，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，即可得答案.【詳解】設(shè)，整理得：.，當(dāng)時，的最大值為，的最大值為.故選：A.2.正方形的邊長為2，對角線，相交于點，動點滿足，若，其中，則的最大值是( )A1B2C3D4 【答案】A【分析】先以為坐標(biāo)原點，平行于邊為軸，轉(zhuǎn)化條件可得，再把轉(zhuǎn)化為點與點連線的斜率利用圓的切線性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖建系：正方形的邊長為2，設(shè)點，又 ，又 動點滿足,，取點，,則直線，當(dāng)直線與圓相切時滿足,解得，的最大值為1.故選：A.3.已知平面向量，滿足，則對任意共面的單位向量，的最大值是（ ）ABC3D2 【答案】B【分析】根據(jù)條件可求出向量 的夾角為，,分別表示

37、向量，在向量上的投影長度，然后用幾何意義求解.【詳解】,得，.所以 .設(shè),則,則由余弦定理有.,分別表示向量，在向量上的投影長度當(dāng)時，.當(dāng)時如圖（1），=.當(dāng)與，的夾角均為銳角時,如圖（2）,則,(當(dāng)與平行時，取得等號)當(dāng)與，的夾角均為鈍角時, ，則與，的夾角均為銳角，同理可得,當(dāng)與，的夾角一個為銳角，另一為鈍角時，設(shè)當(dāng)與的夾角為鈍，如圖（3）則等于向量的相反向量在的相反向量上的投影的長，即,所以綜上,故選：B. 1（2022全國高考真題）在中，點D在邊AB上，記，則（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出【詳解】因為點D在邊AB上，所以，即，所以故選：B2（2

38、020山東高考真題）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設(shè)，則等于（）ABCD【答案】A【分析】利用向量的線性運算，即可得到答案；【詳解】連結(jié)，則為的中位線，故選：A3（山東高考真題）如下圖，是線段的中點，設(shè)向量，那么能夠表示為（）ABCD【答案】B【分析】由向量的線性運算，可得解【詳解】由題意，故選：B4（湖南高考真題（理）已知是單位向量，.若向量滿足（ ）ABCD【答案】A【詳解】因為，做出圖形可知，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反且時，取到最大值；最大值為；當(dāng)且僅當(dāng)與方向相同且時，取到最小值；最小值為.5（天津高考真題（理）已知為等邊三角形，AB=2，設(shè)點P，Q滿足，若，則=ABCD【答案

39、】A【詳解】設(shè)6（廣東高考真題（理）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若，則ABCD【答案】B【分析】利用平面幾何知識求解【詳解】如圖，可知=，選B.7（安徽高考真題（理）在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點，兩定點滿足，則點集所表示的區(qū)域的面積是ABCD【答案】D【詳解】，則知是等邊三角形，以為直角坐標(biāo)系原點，在軸，則， 當(dāng)， 表示的區(qū)域是下圖中的；當(dāng)， 表示的區(qū)域是下圖中的；當(dāng)， 表示的區(qū)域是下圖中的；當(dāng)， 表示的區(qū)域是下圖中的；則表示的區(qū)域就是圖中的平行四邊形，其面積為 8（全國高考真題（理）設(shè)是單位向量，且，則的最小值為ABCD【答案

40、】D【分析】根據(jù)向量的乘法運算展開,結(jié)合向量的數(shù)量積運算和夾角的有界性,即可求得最小值.【詳解】是單位向量故選D9（2019江蘇高考真題）如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是_.【答案】.【分析】由題意將原問題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積，然后利用幾何性質(zhì)可得比值.【詳解】如圖，過點D作DF/CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC中點，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.10（陜西高考真題（理）如圖，平面內(nèi)有三個向量、,其中與與的夾角為，與的夾角為,且，若,則的值為_.【答案】6【詳解】故答案為：611（江西高考真題（理）如圖，在ABC中，點

41、O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N,若,則m+n的值為_【答案】2【詳解】略12（2021天津高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E且交AC于點F,則的值為_；的最小值為_【答案】 1 【分析】設(shè)，由可求出；將化為關(guān)于的關(guān)系式即可求出最值.【詳解】設(shè)，為邊長為1的等邊三角形，為邊長為的等邊三角形，所以當(dāng)時，的最小值為.故答案為：1；.13（2020天津高考真題）如圖，在四邊形中，且，則實數(shù)的值為_，若是線段上的動點，且，則的最小值為_【答案】 【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸

42、建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點，則點（其中），得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值.【詳解】，解得，以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,，的坐標(biāo)為,又,則，設(shè)，則（其中），所以，當(dāng)時，取得最小值.故答案為：；.1.（2023全國高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，分別是的中點，則（）ABCD【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)向量的線性運算，得到，結(jié)合，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，且，則，又因為，所以，解得，所以.故選：B.2.（2022全國高三專題練習(xí)）如圖平面四邊形ABCD中，則可表示為（）ABCD【答案】D【分析】利用向量的線性運算的幾何表示即得.【詳解】，又，即.故選：D.3.（2023全國高三專題練習(xí)）已知中，點D為線段（不包括端點）上任意一點，且實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）AB6CD【答案】A【分析】由已知可得，所以，化簡后利用基本不等式可求得其最小值【詳解】因為點D為線段（不包括端點）上任意一點，且實數(shù)x，y滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故選：A4.（2023全國高三專題練習(xí)）如圖，在ABC中，點D是線段BC上的動點（端點除外），且，則的最小值為（）A16B17C18D19【答案】A【分析】由題意可得，則，化簡后可利用基本不等式可求得結(jié)果【詳解】因為點D是線段BC上的動點（端點