第十二章無窮級數(shù)第十二章無窮級數(shù)§1常數(shù)項級數(shù)的概念及其性質(zhì)一、基本概念定義給了數(shù)列將它們依次用加號連接起來而得的表達(dá)式稱為常數(shù)項無窮級數(shù)，簡稱常數(shù)項級數(shù)，或級數(shù)，記為，即§1常數(shù)項級數(shù)的概念及其性質(zhì)一、基本概念定義給了數(shù)列將給了級數(shù)設(shè)為任一正整數(shù)，定義為級數(shù)的前項部分和。部分和數(shù)列給了級數(shù)設(shè)為任一正整數(shù)，定義為級數(shù)的前項部分和。部分和數(shù)列定義若級數(shù)的部分和數(shù)列的極限存在，極限值記為，即則稱級數(shù)是收斂的，并稱極限值為級數(shù)的和，記為若的極限不存在，則稱級數(shù)是發(fā)散的。.定義若級數(shù)的部分和數(shù)列的極限存在，極限值記為，即則稱級數(shù)例1討論等比級數(shù)（又稱幾何級數(shù)）的收斂性。解級數(shù)的前項部分和，，討論:收斂，且其和為例1討論等比級數(shù)（又稱幾何級數(shù)）的收斂性。解級數(shù)的前項部分發(fā)散。發(fā)散。不存在發(fā)散。發(fā)散。不存在由(1)(2)(3)得：收斂，發(fā)散，且和為，由(1)(2)(3)得：收斂，發(fā)散，且和為，證級數(shù)的前項部分和發(fā)散。例2證明級數(shù)是發(fā)散的。證級數(shù)的前項部分和發(fā)散。例2證明級數(shù)是發(fā)散的。解例3判定級數(shù)的收斂性。收斂。解例3判定級數(shù)的收斂性。收斂。證例4證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的。（反證）假設(shè)是收斂的。設(shè)它的部分和為則存在，記極限值為，即,證例4證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的。（反證）假設(shè)是收斂的。設(shè)它的部分即(*)另一方面，即(*)另一方面，這與(*)式矛盾！是發(fā)散的。二、級數(shù)的基本性質(zhì)1、若收斂，設(shè)其和為，則也收斂，且其和為.這與(*)式矛盾！是發(fā)散的。二、級數(shù)的基本性質(zhì)1、若收斂，設(shè)2、若收斂，其和為則收斂，其和為(1)收斂，且其和為(2)收斂，且其和為2、若收斂，其和為則收斂，其和為(1)收斂，且其和為(2)收3、在級數(shù)的前面或中間,去掉、添加或改變有限項，所得級數(shù)與原級數(shù)的收斂性相同。注意：和變了（）4、若一個級數(shù)收斂，則對其項任意加括號后所得級數(shù)也收斂，且其和不變。注意：反之不然（）反例：3、在級數(shù)的前面或中間,去掉、添加或改變有限項，所得級數(shù)與原不存在發(fā)散即()()收斂但發(fā)散的部分和加括號不存在發(fā)散即()()收斂但發(fā)散的部分和加括號性質(zhì)4的逆否命題：若一個級數(shù)加括號后所得級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)也發(fā)散。說明：可利用這個命題，來判斷一個級數(shù)是發(fā)散的。三、級數(shù)收斂的必要條件定義設(shè)收斂，其和為，設(shè)它的前項部分和為，稱為的余項，記為，即性質(zhì)4的逆否命題：若一個級數(shù)加括號后所得級數(shù)發(fā)散，則原級定理若收斂，則證設(shè)的部分和為收斂定理若收斂，則證設(shè)的部分和為收斂注意其逆命題不對。反例：但發(fā)散。注意其逆命題不對。反例：但發(fā)散。推論若，則發(fā)散。例發(fā)散發(fā)散推論若，則發(fā)散。例發(fā)散發(fā)散作業(yè)：P254,1(