2022屆高考數(shù)學(xué)·熱身卷2一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，有一項符合題目要求。）1．（2021·四川·石室中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】由題意，得，所以，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為，位于第四象限．2．（2022·廣東·模擬預(yù)測）如圖是網(wǎng)絡(luò)上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可導(dǎo)”的諧音生動形象地說明了高等數(shù)學(xué)中“連續(xù)”和“可導(dǎo)”兩個概念之間的關(guān)系．根據(jù)該表情包的說法，在處連續(xù)是在處可導(dǎo)的（）．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】若函數(shù)在處可導(dǎo)，則在處一定連續(xù)；若函數(shù)在處連續(xù)，但在處不一定可導(dǎo).【詳解】由“連續(xù)不一定可導(dǎo)”知，“在處連續(xù)”不能推出“在處可導(dǎo)”,比如函數(shù)在處連續(xù)，但是在處不可導(dǎo)；由“可導(dǎo)一定連續(xù)”知，“在處可導(dǎo)”可以推出“在處連續(xù)”.因此在處連續(xù)是在處可導(dǎo)的必要不充分條件3．已知一個等比數(shù)列首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為85，偶數(shù)項之和為170，則這個數(shù)列的公比和項數(shù)分別為A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8【答案】D【詳解】設(shè)數(shù)列共有項，分別為：，由題意結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式可得：，解得：，即這個數(shù)列的公比為2，項數(shù)為8.4．（福建省泉州市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作為分段點進行比較，從而確定正確答案.【詳解】，所以.5．如圖，在△中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（）.A． B． C． D．【答案】C【分析】由及，將由三點共線可求m的值，再用、表示，進而求即可【詳解】∵，，即且∴，又C、P、D共線，有，即即，而∴∴=6．（2022·江西上饒·一模（理））算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，是中國古代一項偉大的?重要的發(fā)明，在阿拉伯數(shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計算工具.“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才.”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上?下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位?十位?百位?……，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠（簡稱下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.現(xiàn)從個位?十位?百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠（上珠只能往下?lián)芮颐课恢炼鄵?粒上珠，下珠只能往上撥），則算盤表示的整數(shù)能夠被5整除的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用古典概型概率公式計算概率.【詳解】從個位?十位?百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠，得到的整數(shù)共有32個，分別為：11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，2，20，200，2000，6，60，600，6000，其中算盤表示的整數(shù)能夠被5整除的整數(shù)有24個，分別為：15，55，105，505，110，150，510，550，1005，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，20，200，2000，60，600，6000，則算盤表示的整數(shù)能夠被5整除的概率為.7．（2021·安徽·涇縣中學(xué)高三階段練習（理））已知函數(shù)（，，）的圖象如圖，將的圖象上各點向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．的圖象的最小正周期為C．的圖象關(guān)于點對稱D．的圖象關(guān)于直線對稱【答案】A【分析】由圖象結(jié)合五點法求得，根據(jù)圖象變換求得，根據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)依次判斷各選項即可得出結(jié)果.【詳解】依題意函數(shù)的圖象的最小正周期為，所以，所以．由得，因為，所以，所以，由題意，得，則所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，A正確，的最小正周期為,B錯誤．當時，，的圖象不關(guān)于點對稱，C錯誤.當時，，則D錯誤.8．（2022·河南·高三階段練習（理））過原點且斜率不為0的直線l交雙曲線于A，B兩點，雙曲線C上與A在同一支上的點N使得直線AB，AN的斜率均存在，且，過點A作x軸的垂線交雙曲線C于點M，交BN于點P，且，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點，可以得到，，設(shè)點P的坐標，由向量共線的坐標表示可得縱坐標與點的關(guān)系，然后再由三點共線性質(zhì)，A，N在雙曲線上化簡整理可以得到a，b的關(guān)系，有離心率公式可以計算結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，．因為，，且，，所以．因為，所以．因為．所以點P的坐標為．又因B，N，P三點共線，所以,即，，所以，所以，所以，二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。）9．（2022·安徽·歙縣教研室高一期末）已知集合，是全集的兩個非空子集，如果且，那么下列說法中正確的有（）A．，有B．，使得C．，有D．，使得【答案】BC【分析】根據(jù)且確定正確選項.【詳解】由于是全集的非空子集，且，所以是的真子集，所以，使得、，有，即BC選項正確.10．（2021·江蘇·泰州中學(xué)高三階段練習）下列說法正確的是（）A．的展開式中含的系數(shù)是B．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則C．若實數(shù)，則的最大值為D．若函數(shù)有個零點，則【答案】AB【分析】利用二項式定理可判斷A選項；利用正態(tài)密度曲線的對稱性可判斷B選項；利用基本不等式可判斷C選項；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項.【詳解】對于A選項，的展開式通項為，令，可得，所以，展開式中含的系數(shù)是，A對；對于B選項，由已知可得，由正態(tài)曲線的對稱性可得，B對；對于C選項，，當且僅當時，等號成立，故，C錯；對于D選項，由，可得，作出直線與曲線的圖象如下圖所示：由圖象可知，當時，即當時，直線與曲線有個交點，此時函數(shù)有個零點，D錯.11．（廣東省茂名市五校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是線段CD1上的動點，則下列判斷正確的是（）A．直線AC1⊥平面BCD1A1B．點B1到平面BCD1A1的距離是C．無論點E在線段CD1的什么位置，都有AC1⊥B1ED．若異面直線B1E與AD所成的角為θ，則sinθ的最小值為【答案】BCD【分析】以點為原點，建立空間直角坐標系，利用向量的坐標表示，判斷ACD，結(jié)合等體積公式，求點B1到平面BCD1A1的距離，判斷選項B.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，，，，，，，，A.，，因為，所以與不垂直，那么與平面不垂直，故A錯誤；B.點到平面的距離即點到平面的距離，設(shè)點到平面的距離為，因為，即得，解得：，故B正確；C.因為點在線段上，所以，，，所以，故C正確；D.，，，因為，所以求的最小值，即求的最大值，當時，取得最大值，最大值是，此時，故D正確.12．（2022·廣東清遠·高二期末）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，….該數(shù)列的特點如下：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列.現(xiàn)將中的各項除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)已知條件列出數(shù)列的前面幾項，發(fā)現(xiàn)其為周期數(shù)列，利用周期數(shù)列的性質(zhì)即可判斷AC的正誤；再利用本身的性質(zhì)可判斷BD的正誤.【詳解】因為，，，，，，，，…，所以是以6為周期的周期數(shù)列，所以，所以A正確；因為，所以C錯誤；因為，所以B錯誤；因為，所以，所以D正確.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．（2022·福建福清·高二期末）若，則___．【答案】【分析】導(dǎo)數(shù)的定義公式的變形應(yīng)用，要求分子分母的變化量相同.【詳解】14．（2021·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知．若，則_________．【答案】36【分析】先求出，再根據(jù)條件求得n的值，再利用二項式展開式的通項公式求得答案.【詳解】對于，令，則；令，則，即，故,15．（2022·福建莆田·模擬預(yù)測）已知為正方體表面上的一動點，且滿足，則動點運動軌跡的周長為__________.【答案】【分析】首先根據(jù)條件確定P點所處的平面，再建立坐標系求出動點P的軌跡方程，據(jù)此求出軌跡的長.【詳解】由可知，正方體表面上到點A距離最遠的點為，所以P點只可能在面，面，面上運動，當P在面上運動時，如圖示，建立平面直角坐標系，則,設(shè)，由得：，即，即P點在平面ABCD內(nèi)的軌跡是以E（4,0）為圓心，以為半徑的一段圓弧，因為,故,所以P點在面ABCD內(nèi)的軌跡的長即為同理，P點在面內(nèi)情況亦為；P點在面上時，因為，,所以，所以此時P點軌跡為以B為圓心，2為半徑的圓弧，其長為，綜上述，P點運動軌跡的周長為.16．設(shè)函數(shù)，對任意非零實數(shù)，若等式成立，則正整數(shù)的值為__________.【答案】504【分析】根據(jù)題意得到，代入計算得到式子，計算得到答案.【詳解】，則則.四、解答題（本題共6小題，共70分。第17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17．（2021·山東濰坊·模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形ABCD中，已知，點E在AB上且AE=2BE，．(1)求的值；(2)求的周長．【答案】(1)；(2)【分析】（1）在中利用正弦定理求解即可，（2）在中利用銳角三角函數(shù)的定義求出，在中利用余弦定理求出的長，從而可求出的周長【解析】(1)由題知，，在中，由正弦定理得，因為，，，所以．(2)因為,所以，所以，所以，在中，因為，，所以，在中，由余弦定理得，所以的周長為．18．（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列{}的前n項和為且滿足=-n.(1)求{}的通項公式；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）利用得到遞推公式，再構(gòu)造等比數(shù)列求出通項公式；（2）等比放縮，證明不等式.【解析】(1)因為=-n.所以=-n-1，所以a所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.所以，所以；(2)即證明：23-1+，∴23-1+19．（2021·山西呂梁·一模（理））已知點F為拋物線E：的焦點，為E上一點，且．(1)求拋物線E的方程．(2)過E上動點A作圓N：的兩條切線，分別交E于B，C（不同于點A）兩點，是否存在實數(shù)t，使得直線BC與圓N相切．若存在，求出實數(shù)t的值，不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線定義求出，即可求出方程；（2）假設(shè)存在，利用直線OB與圓N相切求出t，排除，再由AB,AC分別與圓相切求出為方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系及圓心到直線的距離化簡求解即可.【解析】(1)由拋物線的定義得，，所以，E的方程為.(2)假設(shè)存在實數(shù)，使得BC與圓N相切.當A為坐標原點時，由BC與圓N相切得,直線OB的方程為，由直線OB與圓N相切得,，解之得或，當時，A，B，C三點重合，舍去，下面證明當時，滿足條件.設(shè)，則直線的AB方程為:，因AB與圓相切，所以，即同理由AC與圓相切得，即為方程的兩根，所以，N到直線BC的距離為.所以直線BC與圓N相切，因此存在實數(shù)，使得直線BC與圓N相切.20．（2021·山東濰坊·模擬預(yù)測）如圖，已知圓柱的上，下底面圓心分別為是圓柱的軸截面，正方形ABCD內(nèi)接于下底面圓Q，．(1)當k為何值時，點Q在平面PBC內(nèi)的射影恰好是△PBC的重心；(2)若，當平面PAD與平面PBC所成的銳二面角最大時，求該銳二面角的余弦值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）作輔助線，找到Q點在平面PBC內(nèi)的射影,然后利用重心的性質(zhì)結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)計算，求得結(jié)果；（2）建立空間直角坐標系，確定相關(guān)點的坐標，求出相關(guān)向量的坐標，進而求得平面和平面的的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得結(jié)果.【解析】(1)取中點，連結(jié)，，，則，，又，所以平面，過作，交于，因為平面，所以，又，所以平面，即是點在平面內(nèi)的射影．因為恰好是的重心，所以，在中，，，所以，，所以，即．所以當時，點在平面內(nèi)的射影恰好是的重心．(2)以為原點，為軸，為軸，作，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量，則即取，得．設(shè)平面的法向量，則即取，得．．因為，所以當時，上式取得最小值，此時二面角最大，所以平面與平面所成銳二面角最大時，其余弦值為．21．（2022·福建寧德·模擬預(yù)測）某次圍棋比賽的決賽，由甲乙兩人爭奪最后的冠軍，決賽先進行兩天，每天實行三盤兩勝制，即先贏兩盤者獲得該天勝利，此時該天比賽結(jié)束．若甲乙中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天雙方各贏一天，則第三天只進行一盤附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設(shè)每盤比賽甲獲勝的概率為，每盤比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨立．(1)記第一天需要進行的比賽盤數(shù)為X．（?。┣?，并求當取最大值時p的值；（ⅱ）結(jié)合實際，談?wù)劊á。┲薪Y(jié)論的意義；(2)當時，記總共進行的比賽盤數(shù)為Y，求．【答案】(1)（i），取最大值時，（ii）結(jié)合實際，當時雙方實力最接近，比賽越激烈，則一天中進行比賽的盤數(shù)會更多；(2)【分析】（1）X可能取值為2，3，分別求解對應(yīng)的概率，根據(jù)期望的定義求解，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；（