..第一部分相似三角形模型分析大全相似三角形判定的基本模型認識〔一A字型、反A字型〔斜A字型〔平行〔不平行 〔二8字型、反8字型〔蝴蝶型〔平行〔不平行〔三母子型〔四一線三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形或者等邊三角形為背景〔五一線三直角型：雙垂型：相似三角形判定的變化模型旋轉型：由A字型旋轉得到。8字型拓展共享性一線三等角的變形一線三直角的變形第二部分相似三角形典型例題講解母子型相似三角形例1、已知：如圖,△ABC中,點E在中線AD上,．求證：〔1；〔2．ACDACDEB例2、已知：如圖,等腰△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于D,CG∥AB,BG分別交AD、AC于E、F．求證：．點評：本題考查了等腰三角形的性質、等腰三角形三線合一定理、平行線的性質、相似三角形的判定和性質．關鍵是能根據所證連接CE相關練習：1、如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC、BD交于點O,BE∥CD交CA延長線于E．求證：．2、如圖,已知AD為△ABC的角平分線,EF為AD的垂直平分線．求證：．3、ACBPDE〔第4題圖已知：如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜邊AB上的一個動點,PD⊥AB,交邊AC于點D〔點D與點A、C都不重合,E是射線DC上一點,且∠EPD=∠A．設A、P兩點的距離為ACBPDE〔第4題圖〔1求證：AE=2PE；〔2求y關于x的函數解析式,并寫出它的定義域；〔3當△BEP與△ABC相似時,求△BEP的面積．雙垂型1、如圖,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE分別是AC、AB上的高求證：〔1△ABD∽△ACE；〔2△ADE∽△ABC；<3>BC=2ED解答：證明：〔1∵CE⊥AB于E,BF⊥AC于F,

∴∠AFB=∠AEC,∠A為公共角,

∴△ABD∽△ACE〔兩角對應相等的兩個三角形相似．

〔2由〔1得AB：AC=AD：AE,∠A為公共角,

∴△ADE∽△ABC〔兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似∵△ADE∽△ABC∴AD：AB=DE：BC又∵∠A=60°∴BC=2ED共享型相似三角形1、△ABC是等邊三角形,D、B、C、E在一條直線上,∠DAE=,已知BD=1,CE=3,,求等邊三角形的邊長.如圖∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°

又∵DBCE在一條直線上

∴∠ADB+∠DAB=∠CAE+∠AEC=∠ABC=60°∵∠DAE=120°∴∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=120°-60°=60°

由上可知∠ADB=∠CAE,∠DAB=∠CAE

∴△DAB∽△AEC

∵三角形相似對應邊成比例

∴BD／AC=AB／CE

∵BD=1,CE=3

∴AB=AC=√32、已知：如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,∠DAE=45°．求證：〔1△ABE∽△ACD；〔2．解答：證明：〔1在Rt△ABC中,

∵AB=AC,

∴∠B=∠C=45°．〔1分

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠DAE=45°,

∴∠BAE=∠BAD+45°．〔1分

而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°,〔1分

∴∠BAE=∠CDA．〔1分

∴△ABE∽△DCA．〔2分

〔2由△ABE∽△DCA,得．〔2分

∴BE?CD=AB?AC．〔1分

而AB=AC,BC2=AB2+AC2,

∴BC2=2AB2．〔2分

∴BC2=2BE?CD．〔1分

點評：此題考查了相似三角形的判定和性質,特別是與勾股定理聯(lián)系起來綜合性很強,難度較大．一線三等角型相似三角形CCADBEF例1：如圖,等邊△ABC中,邊長為6,D是BC上動點,∠EDF=60°〔1求證：△BDE∽△CFD〔2當BD=1,FC=3時,求BE證明：〔1∵△ABC是等邊三角形∴∠B=∠C=60°∵∠EDF=60°∴∠CDF+∠EDB=180°-∠EDF=120°∠BED+∠EDB=180°-∠B=120°∴∠CDF=∠BED

∵∠B=∠C∴△BDE相似△CFD

2、∵BD=1

∴CD=BC-BD=6-1=5

∵△BDE相似△CFD∴BE/CD=BD/CF

BE/5=1/3BE=5/3CDABP例2、已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD＜BC,且AD＝5,CDABP〔1如圖8,P為AD上的一點,滿足∠BPC＝∠A．①求證；△ABP∽△DPC②求AP的長．〔2如果點P在AD邊上移動〔點P與點A、D不重合,且滿足∠BPE＝∠A,PE交直線BC于點E,同時交直線DC于點Q,那么①當點Q在線段DC的延長線上時,設AP＝x,CQ＝y(tǒng),求y關于x的函數解析式,并寫出函數的定義域；②當CE＝1時,寫出AP的長．解答：解：〔1∵ABCD是梯形,AD∥BC,AB=DC．

∴∠A=∠D

∵∠ABP+∠APB+∠A=180°,∠APB+∠DPC+∠BPC=180°,∠BPC=∠A

∴∠ABP=∠DPC,

∴△ABP∽△DPC

∴,即：

解得：AP=1或AP=4．

〔2①由〔1可知：△ABP∽△DPQ

∴,即：,∴〔1＜x＜4．

②當CE=1時,AP=2或．點評：本題結合梯形的性質考查二次函數的綜合應用,利用相似三角形得出線段間的比例關系是求解的關鍵．例3：如圖,在梯形中,∥,,．點為邊的中點,以為頂點作,射線交腰于點,射線交腰于點,聯(lián)結．〔1求證：△∽△；〔2若△是以為腰的等腰三角形,求的長；〔3若,求的長證明:∵AB=CD.

∴梯形ABCD為等腰梯形,∠B=∠C;

又∠EMF=∠B,則:∠CMF=180度-∠EMF-∠BME=180度-∠B-∠BME=∠BEM.

∴⊿CMF∽⊿BEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE.

∵MF/EM=BM/BE;∠EMF=∠B.

∴△MEF∽△BEM.

2.解:當BM=BE=3時:MF/ME=BM/BE=1,則MF=ME.

∴EF∥BC;又BE=3=AB/2.故EF為梯形的中位線,EF=<AD+BC>/2=9/2;

當ME=BM=3時:∠MEB=∠B=∠C=∠FMC.

連接DM.BM=BC/2=3=AD,又BM平行BM,則四邊形ABMD為平行四邊形.

∴∠DMC=∠B=∠FMC,即F與D重合,此時EF=CD=6.

3.解:∵EF⊥CD;∠CFM=∠BME=∠EFM.

∴∠EFM=45°=∠BME.

作EG⊥BM于G,則EG=GM;作AH⊥BM于H.BH=<BC-AD>/2=3/2,AH=√<AB2-BH2>=3√15/2.

設EG=GM=X,則BG=3-X.BG/BH=EG/AH,<3-X>/<3/2>=X/<3√15/2>,X=<45-3√15>/14.

BE/BA=EG/AH,即BE/6=[<45-3√15>/14]/<3√15/2>,BE=<6√15-6>/7.練習：如圖,已知邊長為的等邊,點在邊上,,點是射線上一動點,以線段為邊向右側作等邊,直線交直線于點,〔1寫出圖中與相似的三角形；〔2證明其中一對三角形相似；〔3設,求與之間的函數關系式,并寫出自變量的取值范圍；〔4若,試求的面積．備用圖備用圖一線三直角型相似三角形例：已知矩形ABCD中,CD=2,AD=3,點P是AD上的一個動點,且和點A,D不重合,過點P作,交邊AB于點E,設,〔1求y關于x的函數關系式,并寫出x的取值范圍。<2>如果△PCD的面積是△AEP面積的4倍,求CE的長；<3>是否存在點P,使△APE沿PE翻折后,點A落在BC上？證明你的結論。解答：〔1解：∵PE⊥CP,∴可得：△EAP∽△PDC,∴,

又∵CD=2,AD=3,設PD=x,AE=y,∴,∴y=-,0＜x＜3；

〔2解：當△PCD的面積是△AEP面積的4倍,

則：相似比為2：1,∴,

∵CD=2,∴AP=1,PD=2,∴PE=,PC=2,∴EC=．

〔3不存在．

作AF⊥PE,交PE于O,BC于F,連接EF

∵AF⊥PE,CP⊥PE∴AF=CP=,PE=,

∵△CDP∽△POA∴=,OA=,

若OA=AF