82/82第五章 不定積分§5.3 湊微分法和分部積分法（第5.1~5.2節(jié)的容，請參見本練習冊末尾、第五章“自測題”前的附加材料）求下列不定積分：(1)e2xdx；(2)1dx；xlnx(3)dx；(4)x1x2dx；x2x(5)x1dx；(6)sin212xdx；12xx211d(12xx2)212xx2(7)sin2xcos3xdx；(8)1dx；sin4x

.csc2xdctgx(ctg2x1)dctgx1(9)x3dx；(10)sinxcosxdx；1x223cos2xx3dxx2xdx1(1x21)d(1x2)1x21x221x2sinxcosxdx11dcos2x23cos2x223cos2x11d(23cos2x)623cos2x123cos2xc3(11)xsin1xdx；(12*)1dx；xcos1ex(13*)xx1lnxdx；*dx2．(14)sinx2cosxWord資料.exlnx1lnxdx1dxcos2xd(tgx2)exlnxdxlnxtgx22tgx221exlnxctgx2cWord資料求下列不定積分：(1)arcsinxln(x1)dx； (2)x2e2xdx；(3)exsin2xdx；(4)x1x2ex2dx；(5) sinlnxdx； (6) 1x2dx． 1x2dxsectdtgtsecttgttgtdsect

.(x1)11122dxdx73(1x)27x7(1x7)421(11)dx71ln[3(1x)2]7x7x712421lnx73arctg237c33c1x7求下列不定積分：secttgttg2tsectdtsecttgtsectdtgtsectdtsectdtgt1[secttgtlnsecttgt]c21[x1x2ln1x2x]c2求下列有理函數(shù)的不定積分：(1)1dx；(2)xdx.x7)xx2x(11

已知f(x)是ex2的一個原函數(shù)，求xf(x)dxf(x)ex2,xf(x)dxxex2dx12ex2d已知ex2是f(x)的一個原函數(shù)，求xf(x)dxxf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dxx(ex2)ex2c2x2ex2ex2c

；x212ex2c.Word資料§5.4 換元積分法求下列不定積分：(1)1xdx；(2)1dx；12x31x2dx；(4)1dx；(3)1x2x3x法1）x1txsint原式t311(1dt)1t2t2原式sintcostcostdt1t2dtcsctdtlncsctctgtc法2）xtgt11x2原式sectsec2tdtlnxxctg3tcsc3tdtcsctdctgt(5) xcos xdx；

.(6)exdx；(7)x98101dx1x22x98101dxsin98tcostdttg98tdtgtx2cos101t12(7)ln(11x)dx．xt1x,x1xt21原式ln(1t)d1ln(1t)1dtt21t21(t1)(t1)21111442(t1)(t1)2t1t1(t1)21dt(111442)dt(t1)(t1)2t1t1(t1)2法2）原式ln(1t)dt2111[ln(1t)d1ln(1t)d1]2t1t1Word資料2sinxcosx2*.求不定積分 dx.

.ln(1x)4*.已知f(lnx) ，求f(x)dx.tlnx,xet

2sinxcosxdxsinxcosxsinxsinxcosxdx

sinx1sinxcosxdxsinxcosxd(sinxcosx)4tdt[t1t1]dt(t22t1)(t21)t22t1t21

f(lnx)f(t)(t)ln(1et)et

ln(1x)ln(1et)x et3*.試求不定積分lnx1dx．(lnx)2lnx原式t1etdt1etdt1etdtt2tt21etdtetd11etdtet11etdtetctttttt

f(x)dxln(1ex)dxln(1ex)dexexexln(1ex) 1 dx1exexln(1ex)xln(1ex)cWord資料.第六章 定積分§6.1定積分的概念與性質(zhì)利用定積分的幾何意義，計算下列定積分：(1）2x1dx；(2）1sinxdx；0121x2dx.(3）21不計算積分，比較下列各積分值的大小（指出明確的“,,”關系，并給出必要的理由）.(1）1x2dx與1xdx；(2）2x2dx與2xdx；0011

(3）2sinxdx與2xdx；(4）4tanxdx與4xdx．0000利用定積分的性質(zhì)，估計I2xexdx的大小.0考察xex在[0,2]上的最大值和最小值。設fx在區(qū)間0,1上連續(xù)，在0,1可導，且滿足f1313fxdx，0試證：在0,1至少存在一點，使得f0.13fxdx1f()(0,1)033f(1)f()在[,1]上考察f(x),連續(xù)、可導，滿足羅爾定理的條件從而有：（13，1）（0，1），使得f()0Word資料.試判斷下列定積分是否有意義（即，被積函數(shù)在相應的積分區(qū)間上是否“可積”），并說明理由.(1）11dx；(2）2fxdx，其中fxx2,x1．1x02,x16*.根據(jù)定積分的定義，試將極限lim1sin2sinn表達sinnnnnn為定積分的形式（不需要計算出具體的數(shù)值結(jié)果）：lim1sin2sinnlim1sini1sinxdxsinnnnnnnnn0Word資料§6.2微積分基本定理1．求下列函數(shù)關于x的導數(shù)：(1）x2sin3t1/tdt；(2）1tet2dt；1x(3）x2et2dt；(4*xxtsintdt．）x0xxtsintdtxxsintdtxtsintdt000[xxtsintdt][xxsintdt][xtsintdt]xsintdt0 0 0 02．求下列極限：xtgudu1x12uu1du；(1）lim0；(2）limx0x2x0x0(3）lim1x2(1cosu)du．x0x40

.xu2du的極值點．3．求函數(shù)fxu1u2e04．計算下列定積分：(1）21x3dx；21sin1dx；x2x3(2）x2x111cosxdx；(4）3(3）22min1,x2dx；02Word資料.(5）2x2x1fxdx，其中fxxe,；1xex,x1(6）bxdx，其中b為常數(shù)．15．設fx在0,1上連續(xù)，且滿足fx2x31fxdx，試求fx．0

1fxdx12xdx1(31fxdx)dx131fxdx0 0 0 0 01fxdx120(x)2x326*．試利用定積分的定義及計算原理求解數(shù)列極限limS，其中n n111Sn2n12n22nn．S11111n2n12n22nnin2nlim1111dxnin02x2nWord資料§6.3定積分的換元積分法與分部積分法試利用定積分的換元法計算下列積分：(1）ln2ex1dx；(2）2x1x12dx；01ex1tx1t(3）11x2dx；(4）2xdx；2x20x42x222xsint原式2costcostdt2(csc2x1)dt(ctgxx)21sin2t44442xdx211d(x21)0x42x2202(x21)211arctg(x21)21(arctg5)2024

.(5）sinxsin3xdx.0sinxsin3xdxsinxcosxdx002sinxcosxdxsinxcosxdx02利用函數(shù)的奇偶性計算下列定積分：(1）2sin2xlnx1x2dx；(2）1x53x2x1x2dx.12lnx1x2lnx1x2,奇函數(shù)設fx是R上的連續(xù)函數(shù)，試證：對于任意常數(shù)a0，均有ax3fx2dx12a2xfxdx.00ax3fx2dx1ax2fx2dx21a2tf(t)dt1a2xf(x)dx0 2 0 2 0 2 0Word資料.*fxR上的連續(xù)函數(shù)，并滿足xfxtetdtx2，試求fx4.設是.uxt,txu0xfxtetdt0fueuxduxfueuxdu0x0exxfueudu0(xfueudu)(x2ex)0exf(x)(2xx2)ex(x)2xx2利用定積分的分部積分法計算下列積分：(1）4xsinxdx；(2）1ln1x2dx；00(3）e2coslnxdx.1

*2fxdxfx2sintdt6.試計算，其中t.0xsinxxfx2fxdxxf(x)22xfxdx0002xfxdx2sinxdx10 07*.已知fx是R上的連續(xù)函數(shù)，試證：.xxt000xftxtdtxxftdtxtftdt0 0 0[xxftdtxtftdt]xftdt000(xtfuduxftdt00dt)0xxftdtxtftdtxtfududtc0000x0c0即證Word資料.Word資料§6.4定積分的應用計算下列曲線圍成的平面封閉圖形的面積：(1）yx34x,y0；22(4xx3)dx80(2）y x,yx,y2x.yxx011yxx2y2xx011yxx24s14(2xx)dx1(xx)dx701484

.假設曲線y1x20x1、x軸和y軸所圍成的區(qū)域被曲線ax2a0分為面積相等的兩部分，試確定常數(shù)a的值.x1y1x2a111yax2x2a1a11(1x2ax2)dx11(1x2)dx020a3求由下列曲線圍成的平面圖形繞指定軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積：1(1）xy41,y0,x4,x1；繞x軸，1v 1( )2dx14x4Word資料（2）yx3,y0,x2：（i）繞x軸2(x)3dx40（ii）繞y軸v8[22(3y)2dy64y05已知某產(chǎn)品的固定成本為50，邊際成本和邊際收益函數(shù)分別為MCqq24q6，MRq1052q，其中q為產(chǎn)品的銷售量（產(chǎn)量），試求最大利潤.

.C(q)q(q24q6)dq501q32q26q5003R(q)q(1052q)dq105qq20L(q)R(q)C(q)L(q)R(q)C(q)992qq211,q（9舍）1 2L（11）-200，極大點最大值L（11）716.3已知某產(chǎn)品在定價p1時的市場需求量Qa，在任意價格p處的需b求價格彈性為EpQ，其中a0,b0均為常數(shù)，Q為產(chǎn)品在價格p處的市場需求量。試求該產(chǎn)品的市場需求函數(shù)QQp．EppbQ(p)Q(p),EpQ(p)Q(p)bpQ(p)blnpcQ(1)aQ(p)blnpaWord資料.Word資料§6.5反常積分初步判定下列無窮限積分的斂散性；若收斂,則求其值.(1)01xqdx（q為常數(shù)）；(2)ekxdx（k為常數(shù)）；0q1發(fā)散q11011q00(1x)qdx(1qx)1q11q發(fā)散1q0k0發(fā)散k011k0ekxdxekxkk00發(fā)散k0(3)sinxdx（其中，q,k均為常數(shù)）.cos2x1sinx1cos2xdxarctgcosx發(fā)散

.求下列極限：xt3dt(1)lim1；xxt2dt1limxt3dtlimx310xxt2dtxx21xarctanudu(2*)lim0.x1x2limxarctanudulim1x2arctgx0x1x2xx2判定下列積分的斂散性；若收斂,則求其值.2x1kdx，k為常數(shù)；1k1,發(fā)散k1,k02x1kdx1211k0k(x1)1k111k1發(fā)散1k0Word資料(2)1lnxdx；(3)e1dx.1-ln2x01x1lnxdxxlnx11發(fā)散00e1dxarcsinlnx1x1-ln2x1111，4.利用函數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)，以及2的結(jié)果，分別計算2532，3.5,3.3211999975312122222222533223322

.3.5323.5,36.5119722215.計算下列反常積分（提示：利用函數(shù)的定義，以及的結(jié)果）23ex2x2dx.(1)exx2dx；(2)00351exdx(5)3exx2dxx24002ex2x2dxtet1dt11etdt(1)1t2002t2026*.考察曲線y1，x1,，試求解：xx該曲線與x軸和直線x1所圍成的平面圖形的“面積”；上述圖形繞x周旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的“體積”.x2dx2x223111(x31x212)2dx1122Word資料.Word資料第七章 多元函數(shù)微積分學§7.1 預備知識 §7.2 多元函數(shù)的概念1.已知點A(4,1,2)，在ox軸上找出與點A相距30的點B．B(x,0,0)(x4)2(01)2(02)230求過點(1,0,3)，(2,1,2)，(4,3,7)的平面方程．AxByCzD0分別寫出下列區(qū)域的“x-型”與“y-型”表達形式：由yx、x2、y1所圍成的區(qū)域；x型y型1x2yx2D:D:1yx1y2

.由yx2、y2所圍成的區(qū)域；x型y型2x2yxyD:x2y2D:0y2由y2x、yx2所圍成的區(qū)域．x型DDy型120x1y2xy2D:xyx1D:1y21x4D:2x2yx求下列函數(shù)的定義域并畫出定義域的示意圖：（1）zarcsinyx2y2)；lnln(144x22yx2121144x2y21（2）z1．x2y214Word資料x2y2140x2y215.設f(xy,y)x2y2，求f(x,y)．xuxy,vyxxu,yuv1v1v(u,v)u2(1v2)(1v)2(x,y)x2(1y2)(1y)2試求下列二元函數(shù)的極限：limxyxy11；（1）(x,y)(0,0)limxylimxy(xy11)2(x,y)(0,0)xy11(x,y)(0,0)xy（2）limx2y2．(x,y)(,)exy

.0x2y2(xy)2(x0,y0)exyexylim(xy)2limT2limx2y200(x,y)(,)exyTeT(x,y)(,)exyx2y,x,y0,0y27*.設f(x,y)x4，討論f(x,y)在點(0,0)處的0,x,y0,0連續(xù)性．ykx2x,y0,0x2ykf(x,y)x4y21k2lim f(x,y)不存在，從而不連續(xù)。(x,y)0,0)Word資料§7.3 偏導數(shù)與全微分求下列函數(shù)在給定點處的偏導數(shù)：（1）zxx2y3，求z(1,2),z(1,2)；xyzx2y3x2z(1,2)10x2y3xx3z3xy2z(1,2)22x2yy3y（4）u(1xy)z，求u(1,2,3),u(1,2,3),u(1,2,3)．xyzuzy(1xy)z1u(1,2,3)54xxuzx(1xy)z1u(1,2,3)27yyu(1xy)zln(1xy)u(1,2,3)27ln3zy求下列函數(shù)的指定偏導數(shù)：（1）zln(x2y2)，求z；xz2xxx2y2（2）zcosxy，求z；xyx

.zxsinxy2yz（3）z(xsiny)xy，求y．(xsiny)xyzexyln(xsiny)zxycosyexyln(xsiny)[xln(xsiny)yxsinyx2y,x2y203.設f(x,y)x2y2，分別討論f(x,y)在(0,0)處x2y200,是否連續(xù)、是否存在偏導數(shù)．x2yx2yxx2y222xylimx2y0f(0,0),在(0,0)連續(xù).(x,y)(0,0)x2y2f(0,0)limf(0x,0)f(0,0)0xx0xf(0,0)limf(0,0y)f(0,0)0yy0yWord資料求下列函數(shù)的全微分：（1）zxyyx ； （2）zey(x2y2)．zyxy1yxlnyxzxylnxxyx1ydz(yxy1yxlny)dx(xylnxxyx1)dydzdey(x2y2)ey(x2y2)d[y(x2y2)]ey(x2y2)[2xydx(x23y2)dy]求函數(shù)zx2yy2在點(2,1)處的全微分．dzd(x2yy2)2xydx(x22y)dydz4dx6dy(2,1)計算1.065.03的近似值．zxy(xx)(yy)xyzxzyx yzyxy1zxylnxxy(10.06)(50.03)150.0601.3

.已知一矩形的長為6米、寬為8米。當長增加5厘米，寬減少10厘米時，求矩形對角線長度變化的近似值。z x2y2zzxzyx yzxzyxx2y2yx2y2z60.058(0.1)0.0562826282Word資料.§7.4 多元復合函數(shù)與隱函數(shù)微分法求下列復合函數(shù)的偏導數(shù)或?qū)?shù)：u2z,z（1）zv,ux2y,vx2y，求xy；zzuzv2uu2xuxvxvv2zzuzv2u(2)u22yvuyvyv2（2）zeu2v,usinx,vx3，求dz；dxdzzduzdveu2vcosx6x2eu2vdxudxvdxx2y,y2x3，求dz；（3）zdxxydzffdy2x(xy)(x2y)(xy)(x2y)2dx(xy)2xydx(xy)2（4）zuv2lnw,uxy2,vxy,wx2y2，求z．y

zzuzvzw2xylnyuyvywy設zf(x2y2,exy)，求z,z．xyzf(x2y2,exy)ux2y2,vexyzzuzv2xfyexyfxuxvx12zzuzv2yfxexyfyuyvy12y3.設f(u)可導，zxnf(x2)，證明：zy2y)xxxn1nz1yxnxz2yznzxy

w2vlnwuv22ywxz2yznz．x yWord資料.dy求下列方程所確定隱函數(shù)的導數(shù)dx：（1）xylnylnx0；法1）F(x,y)xylnylnxy1F1Fx1dyFxyydxx1xxyFyxy法2）兩邊微分d(xylnylnx)01

F(x,y)xyyxlnxlnyFyxy1yxlny1Fxylnxxyx1xxydyFyxy1yxlny1xdxFxyxylnxxyx1y求下列二元（三元）方程所確定的隱函數(shù)y微分：

1yyx（zz(x,y)）的全11yxxdyydxydyxdx0dyx1y法3）兩邊對x求導111yxyxyyyx0y1xy（2）xyyxlnxy．

（1）exyarctany；xdexydarctanyxexydxy1dy1(y)2xxexy(x2y2)(ydxxdy)dyy[1exy(x2y2)]x[1exy(x2y2)]

exy(ydxxdy)1(xdyydx)1(y)2x2xydxxdydxWord資料（2）2xz2xyzln(xyz)0．

.§7.5 高階偏導數(shù)法1）微分d[2xz2xyzln(xyz)]02zdx2xdz2yzdx2xzdy2xydz1dx1dy1dz0xyz2z2yz12xz1dzxdxydy2x2xy12x2xy1zz法2）F(x,y,z)2xz2xyzln(xyz)F2z2yz1xx1

2z設zx2y2,求x2,zxxx2y2x2y2x2zx2y2x2y2xx

2zxy．xyzx2y2y2xyx2F2xzyyF2x2xy1zz2z2yz1zFxxx1Fz2x2xyzF2xz1zyy1yFz2x2xyzdzzdxzdyxy

2z2z設zsin(x2y),求x2,yx．z2xycos(x2y) zx2cos(x2y)x yz2ycos(x2y)2x2y2sin(x2y)xxz2xcos(x2y)2x3ysin(x2y)yx2z3.設f(u,v)可微, zf(x2y,ln(xy)),求xy．Word資料zuzv2xyf1zxuxvx1xf2(z)2xf2xyf1fz12xyyx1yxyffufv1f111x2fyuyvy11y12ffufv2f1f222xyyuyvy2122代入即可。4.設f(s,t)可微,uf(2x3y,eyz)2u，求．y2uusut3feyzfysxtx122u(u)3feyzf12y2yyyyffsft3feyzf111ysyty1112ffsft3feyzf222ysyty2122代入即可。

.2z設z32xzy0，求xy．d(z32xzy)02z1dz3z22xdx3z22xdyz2zz1x3z22xy3z22x2z(z)xyyx令uz2zf(x,z),則2z(z)ux3z22xxyxyyufz2(3z22x)2z6z1]4x[(3z22x)3yzy(3z22x)23z22xWord資料.§7.6 多元函數(shù)的極值zx2y24.求曲線 上到xoy平面距離最短的點．xy1求f(x,y)xyxy2x2y的極值．求uxx2y2在區(qū)域D(x,y)|x2y21上的最大值與最小值．5.假設某企業(yè)在兩個相互分割的市場上出售同一種商品，商品在兩個市場上的需求量與定價分別滿足p182q,p212q，其中p,p分別11212是該產(chǎn)品在兩個市場上的價格(單位：萬元/噸)，q,q分別是該產(chǎn)品在兩12個市場上的需求量(單位：噸)，且該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C2(qq)5。如果該企業(yè)實行價格無差別策略，試確定兩個市場上123.求zxy在條件x2y1，x,y0該產(chǎn)品的銷售量及統(tǒng)一的價格，使該企業(yè)的總利潤最大化。下的最值．Word資料.Word資料.Word資料.§7.7 二重積分將二重積分fx,ydxdy按兩種次序化為累次積分，其中積分區(qū)域DD分別給定如下：（1）D由曲線yx2與直線y1所圍成；（3）D由直線yx，y2x，x3所圍成．交換積分次序：（1）1dxxf(x,y)dy；（2）2dyy2f(x,y)dx；0x0y2

（3）1dx2xx2f(x,y)dy2dx2xf(x,y)dy．0010計算二重積分：（1） (x2xyy2)d；|x|1,|y|1（2） ycos(xy)d；0x0yxWord資料.（3）yexydxdy，其中D由xy1,x2,y1所圍成．

畫出區(qū)域D，并把f(x,y)dxdy化為極坐標系下的二次積分：DD計算累次積分：（1）1dx1ey2dy；x

（2）dxxsinydy．0 0y

（1）D(x,y)|1x2y24；（2）D(x,y)|2xx2y24x．6.利用極坐標變換計算：（1）(x2y2)dxdy，D(x,y)|1y1,2x1y2；DWord資料.（2） (xy)dxdy．x2y24x9*.計算二重積分|x2y24|dxdy．x2y297.用二重積分計算曲線yx2，y x圍成的平面圖形的面積．10*.試證明下列命題：8.用二重積分計算由坐標面與平面x2y3z6所圍立體的體積． （1）若f(x),g(x)連續(xù)于[a,b]，則[bf(x)g(x)dx]2bf2(x)dxbg2(x)dx；a a aWord資料.（2）若f(x),g(x)在[0,1]上均連續(xù)、單增，則1f(x)g(x)dx1f(x)dx1g(x)dx．0 0 0Word資料.第八章無窮級數(shù)§8.1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)n2nlnn(2)n22n；(3)n1．n1n11.利用下列級數(shù)u的部分和S,求u,u和u以及和值S.nn12n1S3nS2n3(1)n1；(2)．nn4n3．已知級數(shù)u 收斂，且和值為S，證明：nn1u)收斂，且和值為2S2uu；(1)級數(shù)(un1n212n1判斷下列級數(shù)是否收斂；若收斂，求其和值.1(1)(3n1)(3n2)；1(2)級數(shù)(u1)收斂.n 2nn1Word資料.和Sa．4．利用無窮級數(shù)性質(zhì)以及幾何級數(shù)與調(diào)和級數(shù)的斂散性，判別下列級數(shù)的斂散性：1111；(2)11(6)n(1)205；20320n20n17n(21)；22422623(3)n3n(4)1335．3233n1，有l(wèi)imSa,limu05．給定級數(shù)u，試證級數(shù)u收斂，其nn2nnnnn1n1Word資料.§8.2 正項級數(shù)2．利用比值判別法或根值法判別下列級數(shù)的斂散性：1．利用比較判別法或其極限形式判別下列級數(shù)的斂散性：3n159(4n3)(1)(2n1)!；(2)58(3n1)；2nsin2(1)；(2)(n41)；n1n1n15nn11cos1n1n2n1n1(3)；(4)2n1tan；(3)；(4)n2n2lnn．n12nnn14n2n1n3n1lnn3n(5)n；(6)．n14n2nn1nn!(5)；nnn1Word資料.2nxn(6)．a(chǎn)4．假設正項級數(shù)發(fā)散，試證：n1naa1）級數(shù)n發(fā)散；2）級數(shù)n收斂．1a1n2an1nn1na*a收斂，則a2與n均收斂．nn1nnn1n1Word資料.§8.3 任意項級數(shù)判別下列級數(shù)是絕對收斂，條件收斂還是發(fā)散？ncosna(1)(1)nn2；(2)(n1)；2判別下列交錯級數(shù)的斂散性：n1n12.(1)n12(1)；n2n(1)n1(1)n(1n3)；(3)(1)n1n1；(4)n1n1111111(2)21213131n1.n1(1)n12n2.n!1Word資料.3．如果級數(shù)u絕對收斂，試證：n1(1)級數(shù)n1u絕對收斂；nn112(2)級數(shù)u收斂.n1nnWord資料§8.4 冪級數(shù)1．求下列級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域：n1x2n1；(1)5nxn；(2)2nn0n1(2x1)n(1)nxn；(3)；(4)2n1nn0n1(5)2n(3)nxn.n1

.2．求下列級數(shù)的收斂域，以及它們在收斂域上的和函數(shù)：1x2n1(1)2n1；1n(n1)xn.0Word資料.2n12n13．求冪級數(shù)x2n2收斂域及和函數(shù)，并求的和.n02nn02n4．已知級數(shù)a(2x3)n在x3時收斂,試討論a(2x3)n在以下nnn0n0各點處的斂散性：(1)x0；(2)x2；(3)x1；(4)x4.2

5．將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，并寫明后者的收斂域.(1)f(x)x2；(2)f(x)3x；x1(3) f(x)sin2x； (4) f(x)ln(43x).6．求下列函數(shù)在指定點的冪級數(shù)展開式，并求收斂域.(1)f(x)1,x2；(2)f(x)ex,x1．1x00Word資料.2.驗證函數(shù)y1是否為初值問題x1yy0，y01的解：x1第九章 微分方程初步§9.1 微分方程的基本概念3.驗證函數(shù)y1是否分別為：1）微分方程y2yy1的解；2）初值問題y2yy1，y01，y01的解：1.驗證下列各函數(shù)是否為所給微分方程的通解：yyex，yxCex；(2)y9x10cos2t，x2cos2tCcos3tCsin3t；12§9.2一階微分方程1.求下列方程的通解或在給定條件下的特解：(1)y10xy；(2)xxydyxyydx0；(3) x2yy2xy，x2xyy2C．Word資料.ydyy(9)yx1ey，y01．(3)yyxey0,y10；(4)xyln；x1dxx(5)x2y2dxxydy0；(6)yye2x；2.3xt2xyxyxyx03*zfx2y22z2z0fx3.設函數(shù)滿足方程x2y2，試求．(7) yycosxesinx； (8) y2dx1xydy0；1354*.設y12n1xn2462n，證明：和函數(shù)yx滿足微分方程n1Word資料.方程1xy2y，并求yx．Word資料第十章 差分方程§10.1 差分方程的基本概念計算下列差分：(1)yn2n，求2y；(2)ylnn2，求2y．nnnn按教材P330定義10.2改寫下列差分方程，并指出方程的階數(shù)：(1)2y5y3；(2)3y3y2y1．nnnnn驗證以下是否為數(shù)列所給方程的解（其中，C為任意常數(shù)）：(1)yC3n0.3sinn0.1cosn，y3ysinn；n22n1n2

.(2)y11yyy，n1Cnnn1n§10.2 簡單的一階常系數(shù)差分方程的解法求下列差分方程的通解或滿足給定條件的特解：(1)2yy3n；(2)y2y2n；n1nn1n(3)2yy2n2，y4．n1n0Word資料.Word資料.【補充材料】 第五章不定積分（2011學年第一學期容縮編）§5.1 原函數(shù)與不定積分的概念 §5.2 基本積分公式已知一曲線經(jīng)過點(1,2)，且在其上任一點(x,y)處的切線斜率等于4x，求曲線的方程.求下列不定積分：(1)已知f(x)dxxe2xC,求不定積分12xdx；f(x)1dx(2)已知f(x)dxarctanxC,求不定積分；f(x)已知f(x)dxsin2xC,求不定積分(sinxcosx)3dx.1f(x)求下列不定積分：(1)(2x11)dx；(2)(sinx1)dx；1x2x1x2(3)(2x1)2dx；(4)12x2dx；xx2(1x2)

(5)2x15x1dx；(6)1sin2xdx；10xcosxsinx(7)2cos2xdx；(8)(1x1x)dx；1cos2x1x1x(9)9x249x24dx.81x416Word資料第五章 自測題一、選擇題1．設f(x)dxx2c，則xf(1x2)dx的結(jié)果是[ ]．[A]2(1x2)2c[B]2(1x2)2c[C]1(1x2)2c[D]1(1x2)2c

.[C]f(x)F(x)1[D]dF(x)dxdf(x)dxdxdx5．下列等式中不成立的是[]．[A][(x1)dx]x1[B]d[secxdx]secxdx[C](tanx)dxtanx[D]de2xe2xC6．cosxdarcsinxarcsinxdcosx[ ]．2 22．d(sin(12x))=[ ]．[A]sin(12x) [B]sin(12x)C[C]2cos(12x)C [D]2cos(12x)

sinxarccosxcosxarcsinxC7．設f(x)dxF(x)F(x)c1F(atb)c[C]a

sinxarccosxCcosxarcsinxc，且xatb，則f(t)dt=[ ]．F(t)cF(atb)cex1dx，則I[3．設I]．ex1[A]ln(ex1)C[B]ln(ex1)C[C]2ln(ex1)C [D]x2ln(ex1)C4．若f(x)F(x)，則下列等式中一定成立的是[ ]．[A] f(x)F(x) [B] f(x)F(x)C

8．在(a,b)，f(x),g(x)均可導，且f(x)g(x)，則[ ]．[A] f(x)g(x) [B] f(x)g(x)Cf(x)g(x)R（常數(shù)）[D]f(x)與g(x)之間的關系不確定二、填空題1．若f(x)dxF(x)C，則f(3x5)dx ．Word資料.2．設f(x)dxlnxC，則f(x)=．x3．已知f(x)的一個原函數(shù)為sinx，則xf(x)dx．x4．設yexdx，則y．x5．不定積分sin2exdxcos2exdx．xx6．設f(sin2x)cos2x，則xf(x)dx．三、解答題1．計算下列不定積分：(1)sin4xdx；(2)11ex1xdx；x2(3)x29dx；(4)4x2dx；xx2excos2xdx；ex(1xlnx)dx；(5)(6)x(7)1dx；(8)3x1dx．sin2x3sinxcosxx22x5Word資料1x00x1，求不定積分f(x)dx.2*.已知f(x)x1x12x3*．已知f(sin2x)x，求xf(x)dx.sinx1x

.第六章 自測題一、選擇題1．設fx是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則下列論斷不正確是( )．xf(x)dx是fx的一個原函數(shù)abf(x)dx是-f(x)的一個原函數(shù)xbf(x)dx是fx的一個原函數(shù)a(D) fx在[a,b]上可積2．設fx是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是fx的原函數(shù)，則( )．當fx是奇函數(shù)時，F(xiàn)(x)必為偶函數(shù)Word資料.當fx是偶函數(shù)時，F(xiàn)(x)必為奇函數(shù)當fx是周期函數(shù)時，F(xiàn)(x)必為周期函數(shù)當fx是單調(diào)遞增函數(shù)時，F(xiàn)(x)必為單調(diào)遞增函數(shù)3．設在區(qū)間[a,b]上，f(x)0，f(x)0，f(x)0，則下列不等式成立的是( )．(ba)f(a)bf(x)dx(ba)f(a)f(b)2a(ba)f(b)bf(x)dx(ba)f(a)f(b)2a(ba)f(a)f(b)bf(x)dx(ba)f(a)2a(ba)f(a)f(b)bf(x)dx(ba)f(b)2a4．設fx在(,)為連續(xù)可導的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()．(A)sinf(x)(B)xsinxf(t)dt0(C)xf(sint)dt(D)xsintf(t)dt005.設fx(,)連續(xù)，且在x0時可導，且F(x)xxf(t)dt，在則0下列正確的是( )．

(A) F(x)不存在 (B) F(x)存在且F(x)不存在(C) F(x)存在且F(x)2f(0) (D) F(x)存在且F(x)f(0)6．設函數(shù)f(x)有連續(xù)的導數(shù)，f(0)0，f(0)0且當x0時，F(xiàn)(x)x(sin2xsin2t)f(t)dt與xk為同階無窮小，則k( )．0(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 47．已知f(x)x2et2dtx2et2dt1，f(x)為()．則00(A)正常數(shù)(B)負常數(shù)(C)零(D)非常數(shù)8．已知F(x)x2esinxsinxdx，則F(x)為()．x(A)正常數(shù)(B)負常數(shù)(C)零(D)非常數(shù)二、填空題1．設f(x)具有一階連續(xù)導數(shù)，且f(0)0，f(0)0，則x2f(t)dtlim0_____.x0x2xf(t)dt0Word資料2．設f(x)連續(xù)，且xtf(2xt)dt1arctanx2，已知f(1)1，則022f(x)dx_____.13．設f(x)axet(2at)dt，那么af(x)dx____.0 14．設連續(xù)函數(shù)f(x)滿足xf(xt)etdtsinx，則f(x)______.0三、解答題求下列定積分：

.4e2x-4(3)aa2

cosxsinxdx；2)ln2x3ex2dx；cosx0x2dx(a0)；

2．求下列反常積分：(1)eaxcosbxdx(a0)；(2)31dx．(1x)(x3)010設f(x)2x0x1，求2f(x)dx．51x20Word資料.4.求由曲線y x及直線x1,x4,y0圍成圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)形成的體積.3. 求由拋物線yx24x3與它在點M(0,3)及點N(3,0)處的兩條切線所圍成圖形的面積.Word資料.設某產(chǎn)品的邊際成本MC2q(萬元/臺)，其中q表示產(chǎn)量，固定成本為22(萬元)，邊際收益MR204q (萬元/臺)，試求：1）總成本函數(shù)和總收益函數(shù)；2）獲得最大利潤時的產(chǎn)量；3）達到上述最大利潤后，又多生產(chǎn)了4臺，此時總利潤的近似變化值．Word資料.Word資料.第七章 自測題一、選擇題1．極限 lim f(x,y)存在的充分條件是[ ].(x,y)(x0,y0)[A]點P(x,y)沿無窮條路徑趨于點P(x,y)時，f(x,y)的極限均存在且0 0 0相等[B]f(x,y),f(x,y)存在x00y00[C]點P(x,y)沿過(x,y)的任意直線趨于(x,y)時，f(x,y)的極限均0000存在且相等[D]f(x,y)在(x,y)處連續(xù)002．若f(xy,xy）x2y2xy，則f(x,y)[].x[A]1[B]2y[C]2(xy)[D]2x3．二元函數(shù)zf(x,y)在點(x,y)的偏導數(shù)存在是其在該點可微的00[].充分條件[B]必要條件[C]充要條件[D]非充要條件4．設函數(shù)f(x,y)定義于有界閉區(qū)域D，那么正確的是[ ].

[A]若f可微、存在唯一駐點P，且為極值點，則P必為最值點0 0[B]若f可微，且存在最值點P，則P必為駐點0 0[C]若f連續(xù)，且存在唯一的極值點P，則P必為最值點0 0若f連續(xù)于D，則f在D必存在最值5．設(x,y)在(x,y)的某鄰域具有連續(xù)的偏導數(shù)，且(x,y)0.00x00若(x,y)是可微函數(shù)f(x,y)在約束條件(x,y)0之下的極值點，則下00列命題正確的是[].[A]恒有f(x,y)f(x,y)0x00y00[B]f(x,y)0f(x,y)0x00y00[C]f(x,y)0f(x,y)0y00x00[D]f(x,y)0(x,y)0y00y00二、填空題1．lim(11x2.x)xyxa2．設uxysintdt，則u=，u=.0txyWord資料.3．設dz(2x3y)dx(3x2y)dy，則2z=.xy4．設在xoy坐標系下，D{(x,y)|0y2,yx4y2}，則在極坐標系下，D.5．無窮限積分ex2dx=.0三、解答題y2)sin1,y20(x2x2y2x21．設f(x,y)，討論f(x,y)在,x2y200點(0,0)的連續(xù)性、偏導數(shù)以及f(x,y)的偏導函數(shù)在在點(0,0)的連續(xù)性．

2．求下列函數(shù)的全微分：(1) zxlny，求dz| ； (2)u x2y2z2，求du；(1,e)已知f(u,v)有連續(xù)的偏導數(shù)，zlnf(xy,xlny)，求dz．3．設f(x,y)在連續(xù)偏導數(shù)，n為正整數(shù)，證明f(x,y)滿足(tx,ty)tnf(x,y),t(0,)的充要條件是對任意(x,y)有xf(x,y)yf(x,y)nf(x,y)．x yWord資料.4．設xyzarctan(xyz)，求z,z．2xy)e2y的極值．xy7．求f(x,y)(x2(0,1,1)2u5．設f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，uf(xyz,xyz)，求xz．8．設D{(x,y)|x2y216},求f(x,y)3x23y2x3在D上的最值．2z6．設zf(x,y)由方程xyyzzx1所確定，求xy．Word資料.9．求周長為定值2p的三角形面積的最大值．(提示：S p(px)(py)(pz)，其中x,y,z為三角形的各邊長)10．某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，當兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別是x和y(單位：噸)時，總收益函數(shù)為R27x42yx22xy4y2，總成本函數(shù)為3612x8y(單位：萬元)。此外，生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每噸還需支付排污費1萬元，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每噸還需支付排污費2萬元。在限制排污費用支出總額為6萬元的情況下，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時總利潤最大?最大總利潤是多少?

11．計算二重積分：（1）sinydxdy0x1yxyx（3） |yx|dxdy1x11y1

（2） ex2dxdy0y1yx3y（4） exydxdy0yxWord資料.(2)若p(x),f(x)及g(x)連續(xù)于[a,b]，且p(x)0，f(x)與g(x)均單增，則bp(x)f(x)g(x)dxbp(x)dxbp(x)f(x)dxbp(x)g(x)dx．a(chǎn) a a a12．用二重積分計算圓錐體z x2y2被平面z2所截部分的體積．證明：(1)若f(x)為[a,b]上的正的連續(xù)函數(shù)，則bf(x)dxb1dx(ba)2；aaf(x)Word資料第八章 自測題一、選擇題1.正項級數(shù)u收斂的充分必要條件是[].nn1[A]limu0[B]數(shù)列{u}單調(diào)有界nnn[C]部分和數(shù)列{S}有上界[D]limun11nnun2.下列結(jié)論中正確的是[].v)發(fā)散；[A]若級數(shù)u,v都發(fā)散，則級數(shù)(unnnnn1n1n1[B]若級數(shù)(uv)收斂，則級數(shù)u與v都收斂；nnnnn1n1n1v)收斂；[C]若級數(shù)u與v都收斂，則級數(shù)(unnnnn1n1n1[D]若級數(shù)u收斂,v發(fā)散,則(uv)的斂散性不確定nnnnn1n1n1已知limaa[3.a，則級數(shù)a].nnnn1n1

.[A]收斂且其和為a[B]收斂且其和為a1[C]收斂且其和為aa[D]發(fā)散14.下列級數(shù)中發(fā)散的是[].a1n[B]1[A](a1)ln1n1an1nn1n2[C]n22[D]nn1n1n!5.設0a1(n1,2,)，則下列級數(shù)中收斂的是[].nn[A]a[B](1)na[C]a[D](1)na2nnnnn1n1n1n16.命題“若a發(fā)散，則b發(fā)散”成立的條件是[].nnn1n1[A]ab[B]a|b|[C]|a||b|[D]|a|bnnnnnnnn在x1收斂,則該級數(shù)在x2處[7.若冪級數(shù)a(x1)n].nn0[A]條件收斂 [B]絕對收斂 [C]發(fā)散 [D]斂散性不能確定8.若lima的收斂半徑R[].n1a，則冪級數(shù)axbx(b1)nann0nWord資料.[A]a[B][C]111/ba1/ba[D]a二、填空題u)收斂于1.若級數(shù)u收斂于S，則級數(shù)(u.nnn1n1n1122.已知級數(shù)e，則級數(shù)3n.n0n!n0n!na收斂，則a的取值為3.若級數(shù)(1).n1n114.級數(shù)的斂散