【滿分指導(dǎo)】導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2012·江西高考)已知函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)ex在［0,1］上單調(diào)遞減且滿足f(0)=1，f(1)=0.(1)求a的取值范圍.(2)設(shè)g(x)=f(x)-f′(x)，求g(x)在［0,1］上的最大值和最小值.已知條件條件分析f(0)=1,f(1)=0將f(x)用含a的代數(shù)式表示出來f(x)=(ax2+bx+c)ex在［0,1］上單調(diào)遞減得出f′(x)≤0在x∈［0,1］上恒成立且f′(x)=0不恒成立，然后通過分類討論求得a的取值范圍g(x)=f(x)-f′(x)化簡g(x)=f(x)-f′(x)后，再對g(x)求導(dǎo)，最后分類討論求最值【規(guī)范解答】(1)由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a+b=-1,則f(x)=［ax2-(a+1)x+1］ex，f′(x)=［ax2+(a-1)x-a］ex,①…………2分依題意對于任意x∈［0,1］,有f′(x)≤0.當(dāng)a>0時,因為二次函數(shù)y=ax2+(a-1)x-a的圖象開口向上,而f′(0)=-a<0,所以需f′(1)=(a-1)e<0,即0<a<1;②………………3分當(dāng)a=1時,對于任意x∈［0,1］,有f′(x)=(x2-1)ex≤0,且只在x=1時f′(x)=0,f(x)符合條件;當(dāng)a=0時,對于任意x∈［0,1］,f′(x)=-xex≤0,且只在x=0時，f′(x)=0，f(x)符合條件;當(dāng)a<0時,因f′(0)=-a>0,f(x)不符合條件.故a的取值范圍為0≤a≤1.………………5分(2)因g(x)=(-2ax+1+a)ex,g′(x)=(-2ax+1-a)ex,(ⅰ)當(dāng)a=0時,g′(x)=ex>0,g(x)在x=0處取得最小值g(0)=1,在x=1處取得最大值g(1)=e.………………6分(ⅱ)當(dāng)a=1時,對于任意x∈［0,1］有g(shù)′(x)=-2xex≤0,g(x)在x=0處取得最大值g(0)=2.在x=1取得最小值g(1)=0.………7分(ⅲ)當(dāng)0<a<1時,由g′(x)=0得若≥1,即0<a≤時,③g(x)在［0,1］上單調(diào)遞增,g(x)在x=0處取得最小值g(0)=1+a,在x=1處取得最大值g(1)=(1-a)e.………………9分若<1,即<a<1時,③g(x)在x=處取得最大值g()在x=0或x=1處取得最小值,而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,……10分由g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0,得則④g(0)-g(1)≤0,g(x)在x=0處取得最小值g(0)=1+a;當(dāng)④,g(0)-g(1)＞0,g(x)在x=1處取得最小值g(1)=(1-a)e.……12分【失分警示】(下文①②③④見規(guī)范解答過程)1.(2012·陜西高考)設(shè)函數(shù)f(x)+lnx，則()(A)為f(x)的極大值點(B)為f(x)的極小值點(C)x=2為f(x)的極大值點(D)x=2為f(x)的極小值點【解析】選D.∵f(x)=+lnx，∴f′(x)令f′(x)=0，即解得x=2.當(dāng)0＜x<2時，f′(x)<0；當(dāng)x>2時，f′(x)>0，所以x=2為f(x)的極小值點.2.(2012·福建高考)已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a＜b＜c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,現(xiàn)給出如下結(jié)論：①f(0)f(1)＞0;②f(0)f(1)＜0;③f(0)f(3)＞0;④f(0)f(3)＜0.其中正確結(jié)論的序號是()(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④【解析】選C.f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+∞)上單調(diào)遞增，又因為f(a)=f(b)=f(c)=0，所以f(x)=0有三個實數(shù)根，故f(x)極大值=f(1)＞0,f(x)極小值=f(3)＜0,又f(0)=-abc=f(3)，故f(0)＜0,故②③正確.3.(2013·珠海模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+3x-2lnx，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()(A)(-2,)(B)(+∞)(C)(-∞,-2)(D)(0,)【解析】選D.函數(shù)f(x)=x2+3x-2lnx的定義域為(0,+∞).因為f′(x)=令即2x2+3x-2＜0，解得又x＞0，所以故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,).4.(2013·佛山模擬)若函數(shù)f(x)=2x2-lnx在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k-1,k+1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是()(A)［1，+∞)(B)［2)(C)［1，2)(D)［1，)【解析】選D.因為f′(x)=所以由f′(x)=0得當(dāng)時，f′(x)<0;當(dāng)x>時，f′(x)>0，因此是函數(shù)的極小值點.又函數(shù)在(k-1,k+1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故∈(k-1,k+1)，即5.(2013·汕尾模擬)若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是______.【解析】f′(x)＝3x2－6b.當(dāng)b≤0時，f′(x)≥0恒成立，函數(shù)f(x)無極值．當(dāng)b>0時，令3x2－6b＝0得x＝由函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值，可得0<<1，∴答案：(0，)1.已知函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象上任一點(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x0－2)(x02－1)(x－x0)，那么函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()(A)［－1，＋∞)(B)(－∞，2］(C)(－∞，－1)，(1,2)(D)［2，＋∞)【解析】選C.根據(jù)函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象上任一點(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x0－2)(x02－1)(x－x0)，可知其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0得x<－1或1<x<2.因此f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－1)，(1,2)．2．函數(shù)f(x)＝的圖象經(jīng)過四個象限，則實數(shù)a的取值范圍是()【解析】選D.f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，要使函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過四個象限，則f(－2)f(1)<0，即(1)(＋1)<0，解得3.已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在