重難點(diǎn)07五種數(shù)列求和方法（核心考點(diǎn)講與練）能力拓展能力拓展題型一：等差等比公式法一、單選題1．（2022·山西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，若成等差數(shù)列，則的前6項(xiàng)的和為（

）A．31 B． C． D．63【答案】C【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題意求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式即可得解.【詳解】解：設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，得，即，解得，故前6項(xiàng)的和為.故選：C.2．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）記等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為.若，則=（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件得到，，從而求出公比，利用求和公式求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以公比，所以故選：C3．（2022·山東菏澤·二模）已知數(shù)列中，，且對(duì)任意的m，，都有，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的值隨n的變化而變化 B．C．若，則 D．為遞增數(shù)列【答案】D【分析】令，得，故A不正確；再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式可判斷BCD.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的m，，都有，所以令，得，故A不正確；所以，所以，所以B不正確；若，則，故C不正確；，所以為遞增數(shù)列，故D正確.故選：D.4．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列（公差不為零）和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，，如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程有實(shí)數(shù)解，那么以下2021個(gè)方程中，無實(shí)數(shù)解的方程最多有（

）A．1008個(gè) B．1009個(gè) C．1010個(gè) D．1011個(gè)【答案】C【分析】設(shè)出兩個(gè)等差數(shù)列的公差，由等差數(shù)列的性質(zhì)得到，要想無實(shí)根，要滿足，結(jié)合根的判別式與基本不等式得到和至多一個(gè)成立，同理可證：和至多一個(gè)成立，……，和至多一個(gè)成立，且，從而得到結(jié)論..【詳解】由題意得：，其中，，代入上式得：，要想方程無實(shí)數(shù)解，則，顯然第1011個(gè)方程有解，設(shè)方程與方程的判別式分別為和，則，等號(hào)成立的條件是a1=a2021.所以和至多一個(gè)成立，同理可證：和至多一個(gè)成立，……，和至多一個(gè)成立，且，綜上，在所給的2021個(gè)方程中，無實(shí)數(shù)根的方程最多1010個(gè)故選：C【點(diǎn)睛】對(duì)于數(shù)列綜合題目，要綜合所學(xué)，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為我們熟練的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解決，比如本題中要結(jié)合根的判別式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，以及基本不等式進(jìn)行求解，屬于難題.二、多選題5．（2022·山東棗莊·三模）給出構(gòu)造數(shù)列的一種方法：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列．現(xiàn)自1，1起進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，2，1，第2次得到數(shù)列1，3，2，3，1，…，第次得到數(shù)列，記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】通過計(jì)算求出的值，運(yùn)用歸納法得到之間的關(guān)系，最后根據(jù)等比數(shù)列的定義和前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】由題意得：，所以有，因此選項(xiàng)AB不正確；，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因此有，因此選項(xiàng)C正確；，所以選項(xiàng)D正確，故選：CD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：通過計(jì)算得到是解題的關(guān)鍵.三、填空題6．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則等于___________.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特征，采用分組求和方法即可求其前2n項(xiàng)的和．【詳解】∵，∴的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴=．故答案為：．7．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則=_______．【答案】【分析】先由求出首項(xiàng)和公差的關(guān)系，再由求和公式求比值即可.【詳解】是等差數(shù)列，設(shè)公差為，又，，，.故答案為：.8．（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知等差數(shù)列公差，其前n項(xiàng)和為，若記數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差為，則___________.【答案】【分析】先由題設(shè)得到與的關(guān)系式，再利用具有線性關(guān)系的變量之間的方差公式求得結(jié)果即可．【詳解】解：由題設(shè)可得：，又?jǐn)?shù)據(jù)，，，的方差為，數(shù)據(jù)，，，，的方差為，即，，，，的方差為，所以，，故答案為：4．9．（2022·河北保定·二模）現(xiàn)有10個(gè)圓的圓心都在同一條直線上，從左到右它們的半徑依次構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，從第2個(gè)圓開始，每個(gè)圓都與前一個(gè)圓外切，前3個(gè)圓如圖所示，若P，Q分別為第1個(gè)圓與第10個(gè)圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為___________.（用數(shù)字作答）【答案】2046【分析】由題意可知，的最大值為這10個(gè)圓的直徑之和，然后利用等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果【詳解】由題意可知，的最大值為這10個(gè)圓的直徑之和，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，的最大值為.故答案為：204610．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式則的前項(xiàng)和_____．【答案】241【分析】討論、對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)可得，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求值即可.【詳解】當(dāng)且時(shí)，當(dāng)且時(shí)，，所以.故答案為：241四、解答題11．（2022·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)可求得；當(dāng)時(shí)，由與關(guān)系可得，驗(yàn)證知，由此可證得結(jié)論；（2）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由知；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，可知遞增，得到，知；采用分組求和的方式對(duì)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和，結(jié)合等比和等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.(1)當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，由得：，兩式作差得：，即；經(jīng)檢驗(yàn)：，滿足；數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.(2)由（1）得：，；則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；令，則，，即，；.12．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求的值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）直接由得，又，即可證明是等比數(shù)列；（2）先由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求得，按照分組求和和等比數(shù)列求和公式即可求解.(1)由可得，故，又，故是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；(2)由（1）知：，則，故，則.13．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺(tái)的答題競(jìng)賽包括三項(xiàng)活動(dòng)，分別為“四人賽”“雙人對(duì)戰(zhàn)”和“挑戰(zhàn)答題”.在一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，每局第一名積3分，第二、三名各積2分，第四名積1分，每局比賽相互獨(dú)立.在一天內(nèi)參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)，每局比賽有積分，獲勝者得2分，失敗者得1分，每局比賽相互獨(dú)立.已知甲參加“四人賽”活動(dòng)，每局比賽獲得第一名、第二名的概率均為，獲得第四名的概率為；甲參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)，每局比賽獲勝的概率為.(1)記甲在一天中參加“四人賽”和“雙人對(duì)戰(zhàn)”兩項(xiàng)活動(dòng)（兩項(xiàng)活動(dòng)均只參加一局）的總得分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)“挑戰(zhàn)答題”比賽規(guī)則如下：每位參賽者每次連續(xù)回答5道題，在答對(duì)的情況下可以持續(xù)答題，若第一次答錯(cuò)時(shí)，答題結(jié)束，積分為0分，只有全部答對(duì)5道題可以獲得5個(gè)積分.某市某部門為了吸引更多職工參與答題，設(shè)置了一個(gè)“得積分進(jìn)階”活動(dòng)，從1階到階，規(guī)定每輪答題獲得5個(gè)積分進(jìn)2階，沒有獲得積分進(jìn)1階，按照獲得的階級(jí)給予相應(yīng)的獎(jiǎng)品，記乙每次獲得5個(gè)積分的概率互不影響，均為，記乙進(jìn)到階的概率為，求.【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】(1)根據(jù)題意列出X所有可能取值，針對(duì)每一取值做具體分析，寫出分布列；(2)根據(jù)題意找出，，之間的關(guān)系，求數(shù)列通項(xiàng)即可.(1)甲參加“四人賽”時(shí)，每局比賽獲得第三名的概率為，依題意，所有可能的取值為

，

所以的分布列如表所示所以；(2)依題意，，，“進(jìn)到階”的情況包括：第一種情況是進(jìn)到階后下一輪未獲得5個(gè)積分，其概率為；第二種情況是進(jìn)到階后下一輪獲得5個(gè)積分，其概率為，兩種情況互斥，所以，則所以又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故即；綜上，為E(X)=，.14．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校二模）已知等比數(shù)列和遞增的等差數(shù)列滿足，，，.(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列和數(shù)列中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合和，將的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列前63項(xiàng)和.【答案】(1)(2)6043【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的基本量列方程求解即可.（2）將的前63項(xiàng)中含數(shù)列中的前5項(xiàng)和前4項(xiàng)兩種情況得的范圍，在結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式即可求解.(1)設(shè)等比數(shù)列和遞增的等差數(shù)列的公比和公差分別為:，故由，，，可得:解得故(2)當(dāng)數(shù)列前63項(xiàng)中含有數(shù)列中4項(xiàng)時(shí)，令，此時(shí)最多23+3=26項(xiàng)，不符合題意當(dāng)數(shù)列前63項(xiàng)中含有數(shù)列中5項(xiàng)時(shí)，令，且是和的公共項(xiàng)，則前63項(xiàng)中含有數(shù)列中的前5項(xiàng)和的前60，再減去公共的兩項(xiàng)，故15．（2022·山東菏澤·二模）已知數(shù)列中，它的前n項(xiàng)和滿足．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知等式構(gòu)造一個(gè)等式,兩式相減，得，再變?yōu)榧纯傻媒?；?）利用分組求和法和等比數(shù)列的求和公式可求出結(jié)果.(1)由①，得②，由①－②，得，得，又當(dāng)時(shí)，由①得，所以對(duì)任意的，都有，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．(2)由（1）知，所以，代入①，得，所以．題型二：裂項(xiàng)相消法一、單選題1．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.若對(duì)任意且，總有恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，再利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，再結(jié)合不等式恒成立即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則由，得，解得，又，得，解得.所以，因?yàn)閷?duì)任意且，總有恒成立，等價(jià)于，且即可.當(dāng)時(shí)，所以.當(dāng)時(shí)，，所以，即.所以實(shí)數(shù)的最小值為.故選：B.二、多選題2．（2022·山東·濟(jì)南一中高三階段練習(xí)）如圖所示，這是小朋友們喜歡玩的彩虹塔疊疊樂玩具，某數(shù)學(xué)興趣小組利用該玩具制定如下玩法：在2號(hào)桿中自下而上串有由大到小的個(gè)彩虹圈，將2號(hào)桿中的彩虹圈全部移動(dòng)到1號(hào)桿上，3號(hào)桿可以作為過渡使用；每次只能移動(dòng)一個(gè)彩虹圈，且無論在哪個(gè)桿上，小的彩虹圈必須放置在大的上方；將一個(gè)彩虹圈從一個(gè)桿移動(dòng)到另一桿上記為移動(dòng)1次，記為2號(hào)桿中n個(gè)彩虹圈全部移動(dòng)到1號(hào)桿所需要的最少移動(dòng)次數(shù)，設(shè)．下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】設(shè)1號(hào)桿，2號(hào)桿，3號(hào)桿為①，②，③，然后，寫出，，時(shí)的彩虹圈全部移動(dòng)到1號(hào)桿所需要的最少移動(dòng)次數(shù)，進(jìn)而可以找到規(guī)律，得到，驗(yàn)證，進(jìn)而，可以逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷【詳解】設(shè)1號(hào)桿，2號(hào)桿，3號(hào)桿為①，②，③時(shí)，2號(hào)桿1個(gè)彩虹圈全部移動(dòng)到1號(hào)桿所需要的最少移動(dòng)次數(shù)為，彩虹圈移動(dòng)步驟是：②①；時(shí)，2號(hào)桿2個(gè)彩虹圈全部移動(dòng)到1號(hào)桿所需要的最少移動(dòng)次數(shù)為，彩虹圈移動(dòng)步驟是：②③，②①，③①；時(shí)，2號(hào)桿3個(gè)彩虹圈全部移動(dòng)到1號(hào)桿所需要的最少移動(dòng)次數(shù)為，彩虹圈移動(dòng)步驟是：②①，②③，①③，②①，③②，③①，②①；所以，A是正確的，同理，可以，找出規(guī)律，，，，，，所以，，所以，B是正確的，又因?yàn)?，所以，C錯(cuò)，因?yàn)椋?，，，所以，D正確故選：ABD3．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，且，則（

）A． B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為【答案】ABD【分析】擺動(dòng)數(shù)列需要分類討論，分別求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，再進(jìn)行計(jì)算.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得，，所以的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，故B正確；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得，，所以的偶數(shù)項(xiàng)是以5為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，；∵|，∴不是等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以，故D正確；故選：ABD.三、填空題4．（2022·湖北·蘄春縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二期中）高斯函數(shù)也稱為取整函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如．已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______．【答案】2021【分析】首先利用裂項(xiàng)得到再化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消求和，再利用高斯函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以，故．故答案為：四、解答題5．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得成立的的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）將代入直線方程，可得，利用與關(guān)系可證得數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)可得；（2）由（1）可得，采用裂項(xiàng)相消法可求得，解不等式可求得，由此可得最大值.(1)點(diǎn)在直線上，，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，，即，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，.(2)由（1）得：，，由得：，，則，，則，使得成立的的最大值為.6．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））各項(xiàng)都為正數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足（n∈N*）．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求；(3)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Pn，求使Pn＞46成立的n的最小值．【答案】(1)an=2n(2)(3)48【分析】（1）由（n∈N*），利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；（2）由（1）得到，然后利用利用裂項(xiàng)相消法求解；（3）由（1）得到，再分n為偶數(shù)和奇數(shù)求解.(1)解：因?yàn)椋╪∈N*）①，當(dāng)n=1時(shí)，解得；當(dāng)n≥2時(shí)，②；①-②得：，整理得，所以或，因?yàn)閿?shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以舍去，所以，所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；所以an=2+2（n-1）=2n；(2)由于an=2n，所以，故，所以．(3)由（1）得：，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；n的最小值為48；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，不存在最小的n值．故當(dāng)n為48時(shí)，滿足條件．7．（2022·江蘇鹽城·三模）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，請(qǐng)?jiān)冖?，②，③，，中選擇一個(gè)填在橫線上并完成下面問題：(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前和為，求證：．【答案】(1)選擇見解析；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式代入求解；（2）利用裂項(xiàng)相消求和，注意．(1)因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，又，選①，，所以；選②，，所以；選③，，所以，∴；又，∴，則．(2)因?yàn)?，所以?．（2022·江西九江·三模（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)可求得，由與關(guān)系，結(jié)合的值可證得數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果；（2）由（1）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，采用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.(1)當(dāng)時(shí)，，即，解得：；當(dāng)時(shí)，由得：，，又，滿足，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，.(2)由（1）得：，數(shù)列的前項(xiàng)和為：.9．（2022·山東棗莊·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且、、成等比數(shù)列，其中．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，令可求得的值，令，由可得，兩式作差推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得的通項(xiàng)公式；（2）求出，可求得，利用分組求和法結(jié)合裂項(xiàng)相消法可求得.(1)解：對(duì)任意的，，由題意可得.當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差得，即，因?yàn)?，所以，，所以，?shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，則.(2)解：，則，因此，.10．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知遞增的等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列滿足：，其中為的前n項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)，(2)存在，【分析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)成等比數(shù)列，由求解，由，利用數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；得，（2）由（1），得到，，利用裂項(xiàng)相消法求得，再由不等式對(duì)一切恒成立求解.(1)解：設(shè)的公差為，則，所以．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得：，所以是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以(2)，顯然，所以，由得，故，．顯然恒成立，且當(dāng)時(shí)，，所以存在唯一實(shí)數(shù)．11．（2022·河南·高二期中（文））已知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比大于1，其前n項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由等比數(shù)列的基本量法和前項(xiàng)和定義列出關(guān)于公比和首項(xiàng)的方程組求得和，得通項(xiàng)公式；（2）求出，用裂項(xiàng)相消法求和．(1)設(shè)公比為，則題意得，因?yàn)椋式獾?，所以?2)由（1），，所以．12．（2022·天津和平·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足.數(shù)列滿足，且満足(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足；求(3)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)，；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）由與的遞推關(guān)系得出為等比數(shù)列求解，由為等差數(shù)列求通項(xiàng)公式；（2）分是奇數(shù)、偶數(shù)，分組求和即可得解；（3）利用放縮法及裂項(xiàng)相消求和證明即可.(1)，時(shí)，時(shí)，，，即，是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，由題可知，是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，，.(2)，(i)n為偶數(shù)時(shí)，，(ii)n為奇數(shù)時(shí)，，(3)，，(i)右式證明：，(ii)左式證明：綜上得證.題型三：錯(cuò)位相減法一、單選題1．（2022·江西鷹潭·二模（理））若正整數(shù)、只有為公約數(shù)，則稱、互質(zhì).對(duì)于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù).函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，則下列說法正確的是（

）A．B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則【答案】D【分析】利用題中定義可判斷A選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)；求出的值，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算出，利用錯(cuò)位相減法可求得，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在不超過的正整數(shù)中，與互質(zhì)的正整數(shù)有：、、、，故，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，，顯然、、不成等差數(shù)列，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，為質(zhì)數(shù)，在不超過的所有正整數(shù)中，能被整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，所有與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，所以，，因此，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)闉橘|(zhì)數(shù)，在不超過的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，所以，，所以，，則，所以，，上述兩個(gè)不等式作差可得，所以，，D對(duì).故選：D.2．（2022·廣東·三模）在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)?公式和定理，如：歐拉函數(shù)（）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，（互素是指兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1?2）；（與9互素有1?2?4?5?7?8）.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)定義得出，然后由錯(cuò)位相減法求得和，從而可得．【詳解】因?yàn)榕c互素的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，則，于是①，②，由①-②得，則.于是.故選：A．3．（2022·江西·二模（理））記數(shù)列中不超過正整數(shù)n的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由定義判斷出當(dāng)時(shí)，，再變形得到，再按照錯(cuò)位相減法求和，即可求解【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以，記，，兩式相減得，化簡(jiǎn)得，所以．故選：B.二、多選題4．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】求得數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，再去驗(yàn)證選項(xiàng)即可解決.【詳解】由，可得：，，，，，則即，則，又時(shí)也成立，所以故選項(xiàng)B判斷正確；由，可知選項(xiàng)A判斷正確；令則2兩式相減得故選項(xiàng)D判斷正確；由，可得選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤.故選：ABD5．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為，….其構(gòu)造方法是:首先給出，接著復(fù)制該項(xiàng)后，再添加其后繼數(shù)，于是，得;然后再復(fù)制前面所有的項(xiàng)，再添加的后繼數(shù)于是，得;接下來再復(fù)制前面所有的項(xiàng)，再添加的后繼數(shù)于是，得前項(xiàng)為.如此繼續(xù)下去，則使不等式成立的的值不可能為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)題意可得，然后采用錯(cuò)位相減法求得，進(jìn)而求得答案.【詳解】由的構(gòu)造方法﹐易知，，…，一般地﹐有，即數(shù)首次出現(xiàn)于第項(xiàng)﹐由的構(gòu)造方法知，數(shù)列的前各項(xiàng)中，恰有個(gè)個(gè)個(gè)，…，個(gè)，…，個(gè).所以，，①故，②根據(jù)式①②得，因?yàn)樗缘淖钚〉闹禐?故選：AB.6．（2021·江蘇·高三階段練習(xí)）設(shè)和分別為數(shù)列和的前n項(xiàng)和.已知，，則（

）A．是等比數(shù)列 B．是遞增數(shù)列C． D．【答案】ACD【分析】由已知結(jié)合的關(guān)系及等比數(shù)列的定義判斷數(shù)列即可確定A、C正誤，應(yīng)用作差法比較的大小關(guān)系判斷B正誤，利用錯(cuò)位相減法求，再由作差法判斷的大小判斷D.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，即，又，∴，即，∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，A正確；由，則，即是遞減數(shù)列，B錯(cuò)誤；又，則，C正確；①，②，①-②得：，∴，則，∴，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用及等比數(shù)列的定義求的通項(xiàng)公式，綜合運(yùn)用作差法、錯(cuò)位相減法比較大小判斷數(shù)列單調(diào)性、求前n項(xiàng)和，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)的正誤.三、填空題7．（2022·山東聊城·二模）已知數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為______．【答案】【分析】分別取、、、時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)，計(jì)算得出，利用錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列的前項(xiàng)的和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，共項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，共項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，共項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，共項(xiàng)，又因?yàn)?，所以，?shù)列的前項(xiàng)的和為，記，則，上述兩個(gè)等式作差可得，所以，，因此，數(shù)列的前項(xiàng)的和為.故答案為：.8．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列滿足，且，則______.【答案】,【分析】由遞推關(guān)系分析得到數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式，然后得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減求和法求得結(jié)果.【詳解】∵，∴，又∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，∴，∴,∴，∴，兩式相減得：,∴,故答案為：,9．（2022·天津市第四中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，，，數(shù)列滿足且，.（1）則___________；___________；（2）將和中的所有項(xiàng)按從小到大的順序排列組成新數(shù)列，則數(shù)列的前50項(xiàng)和___________；（3）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，則___________.【答案】

【分析】（1）根據(jù)已知條件作差得到的值，代回的關(guān)系式可得的值，即可得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；由題可判斷數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)兩個(gè)等式求出、的值，即可求解；（2）由（1）可知數(shù)列為由開始的連續(xù)的自然數(shù)，則需找到數(shù)列的前項(xiàng)，可先用與比較大小，判斷出有項(xiàng)，有項(xiàng)，再利用分組求和法結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可求解；（3）由題，所求和的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則可先求得，再把連續(xù)2項(xiàng)作為一組，利用錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1）由題，，，兩式作差可得，即，因?yàn)?，則，又，解得，所以，解得，所以.因?yàn)椋蕯?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列的公差為，由于，可得，，所以，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的前項(xiàng)中，有項(xiàng)，有項(xiàng)，所以；（3）由（1），，，設(shè)，即，則，則，則，兩式作差可得即，故.四、解答題10．（2022·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列中，公差，，是與的等比中項(xiàng)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）對(duì)于等差數(shù)列直接列方程求解，數(shù)列根據(jù)求解；（2）利用錯(cuò)位相減法可得，根據(jù)題意討論得：當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，再通過定義證明數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)入確定相應(yīng)情況的最值．(1)∵則，解得或（舍去）∴.又∵，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，即，則數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，∴.(2)，，兩式相減得：∴∵對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，任意的'恒成立∴對(duì)任意的恒成立②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，對(duì)任意的恒成立∴對(duì)任意的恒成立令，對(duì)任意的恒成立∴為遞增數(shù)列①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，則，即②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，則∴.11．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差數(shù)列定義知，分別代入可求得，由此可猜想得到；利用數(shù)學(xué)歸納法可證得滿足題意；（2）由（1）可得，采用錯(cuò)位相減法可求得.(1)，，成等差數(shù)列，；當(dāng)時(shí)，，解得：（舍）或，；當(dāng)時(shí)，，解得：（舍）或，；當(dāng)時(shí)，，解得：（舍）或，；由此可猜想得：；當(dāng)時(shí)，滿足；假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，，又，，即，整理可得：，又，，即成立；綜上所述：.(2)由（1）得：；，，，.12．（2022·山東臨沂·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1).(2).【分析】（1）根據(jù)題中給出得遞推關(guān)系式，以及，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列的通項(xiàng)公式帶入數(shù)列，進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解.(1)由得，∴，∴.又，，∴，整理得.∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由（1）得，∴.∴，即，，兩式相減，得，∴.13．（2022·山西·模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)證明是等比數(shù)列；(2)求的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）代入可得；當(dāng)時(shí)，由與關(guān)系可推導(dǎo)得到，由等比數(shù)列定義可得結(jié)論；（2）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到，進(jìn)而得到，采用分組求和法和錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果.(1)當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，，即，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.(2)由（1）得：，，；，令，則，，，.14．（2022·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)求證：.【答案】(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，可得，，即可求得的通項(xiàng)公式；當(dāng)時(shí)，得到，當(dāng)時(shí)，利用，可判斷為首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，即可求解；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求解即可；（3）由（1）結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得.方法一：由可得，利用錯(cuò)位相減法求得，進(jìn)而證明；方法二：結(jié)合二項(xiàng)式定理可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，再利用錯(cuò)位相減法求解，即可證明；方法三：用分析法證明，再結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和證明即可.(1)數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，化簡(jiǎn)得，解得，，∴，.由已知，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，∴，，即，∴數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，∴，.(2)由（1）可得，，∴，∴(3)由（1）可得，，則，方法一：∵，∴，令，，兩式相減可得，∴，∴方法二：∵時(shí)，，根據(jù)“若，，則”，可得，∴，令，，兩式相減可得，∴∴，∴方法三：令，下一步用分析法證明“”要證，即證，即證，即證，當(dāng)，顯然成立，∴，∴【點(diǎn)睛】證明數(shù)列不等式，放縮法是其中一種重要的方法，放縮的目的是為了轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，等比數(shù)列及相關(guān)數(shù)列，則可利用公式進(jìn)行求解，需注意放縮的范圍不能過大.題型四：分組（幷項(xiàng)）求和法一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，的最大值是（

）．A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出和的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)分組求和求出，再解不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭且?為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以．因?yàn)槭且?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以所以．因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，不適合題意，當(dāng)時(shí)，，適合題意，所以當(dāng)時(shí)，的最大值是．故選：A.2．（2022·江蘇南京·高三開學(xué)考試）若(2x＋1)(22x＋1)(23x＋1)…(2nx＋1)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，則下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)n＝2(n∈N*)B．{－1}(n∈N*)為等差數(shù)列C．設(shè)bn＝a1，則數(shù)列為等差數(shù)列D．設(shè)bn＝a1，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為【答案】D【分析】對(duì)于A：直接求出，即可判斷；對(duì)于B：分別求出和，再求出，即可判斷；對(duì)于C：求出，可以求出，即可否定結(jié)論；對(duì)于D：由，利用分組求和法求出{bn}的前n項(xiàng)的和即可.【詳解】對(duì)于A：an為xn項(xiàng)的系數(shù)，需要每一個(gè)括號(hào)里都取x，則.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由上面推導(dǎo)可得：，.所以，所以{－1}(n∈N*)為等比數(shù)列，不是等差數(shù)列.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，所以，所以，所以，所以，即數(shù)列不是等差數(shù)列.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.故D正確.故選：D3．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，（，），是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．508 B．506 C．1011 D．1009【答案】C【分析】由所給的條件，尋找規(guī)律，分組求和即可.【詳解】由得：，，，，，……，，

，

；故選：C.二、多選題4．（2022·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，使，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BC【分析】計(jì)算出，將用和表示，分類討論即可.【詳解】=，由題意

，顯然，由題意可知，的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為遞增的，并且，當(dāng)時(shí)，，所以t只能是1，2，3，若t=1，則有

，

，無解,m不存在；若t=2，則，，若t=3，則，故t=2或3；故選：BC.5．（2021·廣東·新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列【答案】ABC【分析】由遞推關(guān)系，得，兩式相除可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也成等比數(shù)列，但整個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，易得，由，用分組求和法計(jì)算．從而判斷各選項(xiàng)，得正確結(jié)論．【詳解】，則，兩式相除得，又，，，所以，由，知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也成等比數(shù)列，公比都是2，，，，，所以，，，不是等比數(shù)列，故選：ABC．6．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高三開學(xué)考試）在數(shù)列中，，前n項(xiàng)的和為Sn，則（

）A．的最大值為1 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．【答案】ABD【分析】對(duì)于A：當(dāng)n=2時(shí)，有，對(duì)分正負(fù)進(jìn)行討論，利用基本不等式求出的最大值；對(duì)于B、C：利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行判斷；對(duì)于D：利用分組求和法直接求出，即可判斷.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)n=2時(shí)，有，若時(shí)，由基本不等式可得：（時(shí)取等號(hào)），所以；若中有一個(gè)為0或負(fù)值時(shí)，；若時(shí)，不可能成立；故的最大值為1.故A正確；對(duì)于B：數(shù)列中，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有，只有時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，否則數(shù)列不是等差數(shù)列，故C不正確；對(duì)于D：.故D正確.故選：ABD三、填空題7．（2022·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)（理））記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________．【答案】.【分析】由式子可知，的最小正周期，驗(yàn)證對(duì)，都有的值一個(gè)定值，求出，又由即可求解.【詳解】設(shè)，可知的最小正周期，令（，），則當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則.對(duì)于，都有,所以即則又，所以；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)列周期性求和的問題，解題的關(guān)鍵在于求出數(shù)列的周期，進(jìn)行簡(jiǎn)化求和的運(yùn)算；本題觀察數(shù)列通項(xiàng)公式中猜想數(shù)列的周期，并驗(yàn)證周期的數(shù)值，涉及到三函函數(shù)的運(yùn)算，綜合性一般，需要較強(qiáng)的邏輯推理.8．（2022·新疆·三模（理））設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，，則___________.【答案】12【分析】由遞推關(guān)系證明數(shù)列具有周期性，利用組合求和法求和即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，又，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以，故答案為?2.9．（2022·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)（文））數(shù)列的前10項(xiàng)和等于___________．【答案】【分析】根據(jù)分組求和法和等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.【詳解】數(shù)列的前10項(xiàng)和等于.故答案為：.四、解答題10．（2022·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，滿足.(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）利用定義法證明出是公比為2的等比數(shù)列，再求出；（2）先判斷出當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.對(duì)n分奇偶討論，分別分組求和及放縮后可以證明出.(1)，，即，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.又，，，，，，即.(2)由(1)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，故.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.綜上，.11．（2023·福建漳州·三模）已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且(1)求{}的通項(xiàng)公式：(2)若數(shù)列滿足，求的前10項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)出等差數(shù)列{}的公差，再根據(jù)已知列出方程組，求出公差及首項(xiàng)即可.（2）由（1）求出，利用并項(xiàng)求和計(jì)算作答.(1)設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，由得，，解得，由得，，則有，，所以{}的通項(xiàng)公式是.(2)由（1）知，，則所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為.12．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前9項(xiàng)的和．（注：表示不超過x的最大整數(shù)）【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)所給的條件列方程即可求解；（2）根據(jù)高斯函數(shù)的定義，分別求出求和即可.(1)設(shè)的公差為d，的公比為q，由得，而，，解得，，于是得，，所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，；(2)由（1）知，，則有，依題意，=2926，綜上，，，.13．（2022·河南洛陽·三模（理））已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足且.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)，可求出的通項(xiàng)公式，由此可得，在根據(jù)遞推公式可得，在分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，利用分組求和結(jié)合等比數(shù)列前和公式，即可求出結(jié)果.(1)解：因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，即，又，所以或（舍去）當(dāng)時(shí)，，②所以①-②，，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即，所以，當(dāng)時(shí)，，又，所以，當(dāng)時(shí)，，兩式相除可得，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，,，(2)解：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以.14．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知得，兩者作差可得，則可判斷數(shù)列為等比數(shù)列，即可求其通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和的方法求和即可.(1)在數(shù)列中，由可知，兩式作差可得，即，當(dāng)時(shí)，，，即，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即；(2)由（1）知，所以.15．（2022·山東濱州·二模）已知公差為d的等差數(shù)列和公比的等比數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)令，抽去數(shù)列的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)、……、第3n項(xiàng)、……余下的項(xiàng)的順序不變，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由題意，列出關(guān)于公差與公比的方程組，求解方程組，然后根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得答案；（2）由（1）可得，然后分和進(jìn)行討論，利用分組求和法及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.(1)解：由題意，，整理得，解得或，因?yàn)楣?，所以，則，所以，；(2)解：由（1）可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，.題型五：倒序相加法一、單選題1．（2022·湖南岳陽·二模）德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響.他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天賦，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法.已知某數(shù)列通項(xiàng)，則（

）A．98 B．99 C．100 D．101【答案】C【分析】觀察要求解的式子，根據(jù)給的數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算是否為定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.【詳解】由已知，數(shù)列通項(xiàng)，所以，所以，所以.故選：C.2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足對(duì)、，都有成立，，函數(shù)，記，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】推導(dǎo)出數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，可求得，分析可知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，利用函數(shù)的對(duì)稱性可求得結(jié)果.【詳解】令，可得，即，故數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，所以，，，可得，則，，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，且，故數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.因此，.故選：C.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，時(shí)，，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．探究函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，并利用它求的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件探求和為1的兩個(gè)自變量對(duì)應(yīng)函數(shù)值的和即可借助倒序相加得解.【詳解】因，令，則，兩式相加得：，解得，所以的值為2021.故選：D4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，德國大數(shù)學(xué)家高斯提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用倒序相加法得到，得到答案.【詳解】依題意，記，則，又，兩式相加可得，則.故選：B．二、多選題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義是的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.可以證明，任意三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”和對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是其對(duì)稱中心，請(qǐng)你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題，其中正確命題是（

）A．存在有兩個(gè)及兩個(gè)以上對(duì)稱中心的三次函數(shù)B．函數(shù)的對(duì)稱中心也是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心C．存在三次函數(shù)，方程有實(shí)數(shù)解，且點(diǎn)為函數(shù)的對(duì)稱中心D．若函數(shù)，則【答案】BCD【分析】根據(jù)題干中三次函數(shù)的對(duì)稱中心的定義與性質(zhì)判斷A,C