專題三---反比例函數(shù)試題的解題思路專題三反比例函數(shù)試題的解題思路一、方法簡(jiǎn)述初中學(xué)生首先學(xué)習(xí)的曲線就是反比例函數(shù)的圖象，中考的反比例函數(shù)試題一般是與一次函數(shù)相結(jié)合，由于解析式的特征，不但能以函數(shù)圖象為載體考查幾何，而且能夠以解析式為載體考查代數(shù)，如分式的變形運(yùn)算等，是中考的熱門題型，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想以及代入法，代定系數(shù)法的靈活應(yīng)用。二、常用方法1.求反比例函數(shù)解析式的方法：①求反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的坐標(biāo)，利用代入法；②利用幾何圖形的數(shù)量關(guān)系來(lái)確定；③利用實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系來(lái)確定；2.從反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，作兩坐標(biāo)軸的垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為；3.反比例函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)（，）、（，），則。三、典例分析例1：如圖，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．（1）當(dāng)為何值時(shí)？；（2）把直線平移，使平移后的直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，求平移后得到的直線解析式.解：（1）根據(jù)圖象，當(dāng)或時(shí)，（2）∵∴∴(1，-2)根據(jù)題意得：…解得：直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（0，-1）、（-1，0)方法一：設(shè)把直線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的直線為該直線與軸相交于，于軸相交于,則（0，）∵∥∴∴=解得：，所以平移后所得到的直線為或方法二：設(shè)把直線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的直線為即該直線與軸相交于，于軸相交于,則（0，）∵∥∴∴=解得：，所以平移后所得到的直線為或評(píng)析：第（1）小題，實(shí)際上是求直線在雙曲線上方部分的自變量的取值范圍，所以要先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象就可以直接寫出自變量的取值范圍；第（2）小題只要求出平移后的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題就迎刃而解，要注意平移方向與平移距離之間的關(guān)系。例2：探索發(fā)現(xiàn)：如圖，過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線間的距離叫的“水平寬（）”，中間的直線在三角形內(nèi)部的線段叫做的“鉛垂高（）”，我們可以得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.（不必證明）圖圖4圖3圖2圖1ODCBAxyyxCOBAyxOCBADCBAha應(yīng)用求值：（1）如圖，、是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為、，，且，點(diǎn)（，）.求：的面積； （2）如圖，直線與雙曲線（）相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，的面積為6，求：的值；（3）如圖，、是雙曲線（）在第一象限上的兩點(diǎn)，⊥軸于交于點(diǎn)，，，求：的值及的面積.解：（1）過(guò)作∥軸交直線于如圖：當(dāng)時(shí)，（2），當(dāng)時(shí)，記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.∵∴∴設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為∴(，)，∴解方程得：∴(，)（3）∵，,∴∴∵∴∴∴∴(，)∴直線為，設(shè)點(diǎn)（，），則，或（不合題意舍去）所以的水平寬為3.評(píng)析：“探索發(fā)現(xiàn)----應(yīng)用求值”與“閱讀理解----創(chuàng)新應(yīng)用”類似，解題時(shí)，要認(rèn)真閱讀“閱讀理解”部分的內(nèi)容，確實(shí)理解所用的知識(shí)、方法，并作為應(yīng)用中的借鑒；把新的三角形面積計(jì)算方法應(yīng)用在直角坐標(biāo)系中，、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差，就是水平寬，、（或、）兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差便為鉛垂高。四、強(qiáng)化訓(xùn)練1.如圖，一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形（陰影部分）的面積是，與反比例函數(shù)的圖形相交于點(diǎn)（,）和（，），求的值.yxOABCED2.如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)，與雙曲線交于（，）、（，）兩點(diǎn).軸于點(diǎn)，∥軸且與軸交于點(diǎn).yxOABCED（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的解析式；（2）判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由.3.已知反比例函數(shù)(為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，）．（1）求的值；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．4.已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于一、三象限內(nèi)的．兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（,)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），。（l）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）在軸上有一點(diǎn)（點(diǎn)除外），使得與的面積相等，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．5.如圖，在矩形中，、兩邊分別在軸、軸的正半軸上，，，過(guò)邊上的點(diǎn)，沿著翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，反比例函數(shù)在第一象限上的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)與相交于點(diǎn).（1）求證：四邊形是正方形；（2）點(diǎn)是否為正方形的中心？請(qǐng)說(shuō)明理由.6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，(，)、（，），四邊形是矩形，、分別是、邊上的點(diǎn)，沿著折疊矩形，點(diǎn)恰好落在軸上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處．（1）求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上？并說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)是（2）中反比例函數(shù)的圖象與原矩形的邊的交點(diǎn)，點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)。7.探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)分別畫出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線間的距離叫做的“水平寬（）”，中間的直線在三角形內(nèi)部的線段叫做的“鉛垂高（）”，我們可以得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.（不必證明）應(yīng)用求值：（1）如圖2，在直角坐標(biāo)系中，(，)、（，）,點(diǎn)在第一象限，軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，.求：（2）①如圖3，、是反比例函數(shù)的圖象在第一象限上的兩點(diǎn)，過(guò)作軸于，交于，，連接，，點(diǎn)的橫作標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的值.②如圖3，、是①中反比例函數(shù)圖象上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，、的橫作標(biāo)分別為、（），，求：的值.8.如圖，等邊△和等邊△的一邊都在軸上，雙曲線經(jīng)過(guò)邊的中點(diǎn)和的中點(diǎn)，已知等邊△的邊長(zhǎng)為．(1)求該雙曲線所表示的函數(shù)解析式；(2)求等邊△的邊長(zhǎng)．9.如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作∥軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)（），分別過(guò)點(diǎn)、作軸的垂線，垂足為、，連接交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn).（1）求：矩形的面積（用含的代數(shù)式表示）；（2）若點(diǎn)恰好是矩形的中心.①求：的值②若，其它的條件不變，判斷的形狀，并說(shuō)明理由.10.如圖，將—矩形放在直角坐際系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)在軸正半軸上．點(diǎn)是邊上的—個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)、重合)，過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)。（1）若、的而積分別為．且，求的值：（2）若．．問(wèn)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)．四邊形的面積最大．其最大值為多少?專題三、反比例函數(shù)1.解：直線與軸交點(diǎn)為（0，），與軸交點(diǎn)為（-1,0）∴∴一次函數(shù)為：∴、又∵所以2．解：（1）∵雙曲線過(guò)A（3，），∴.把B（-5，）代入,得.∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-5，-4）.設(shè)直線AB的解析式為，將A（3，）、B（-5，-4）代入得，，解得：.∴直線AB的解析式為：.（2）四邊形CBED是菱形.理由如下:點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3,0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-2,0）.∵BE∥軸，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0,-4）.而CD=5，BE=5，且BE∥CD.∴四邊形CBED是平行四邊形.在Rt△OED中，ED2＝OE2＋OD2，∴ED＝＝5，∴ED＝CD.∴□CBED是菱形.3.解：（1），（2）分別過(guò)、作軸的垂線，垂足為、.則∽，∵∴在中，當(dāng)時(shí)，∴∴∴(-4,0)4.解：（1）過(guò)B點(diǎn)作BD⊥x軸，垂足為D，∵B（n，﹣2），∴BD=2，在Rt△OBD在，tan∠BOC=，即=，解得OD=5，又∵B點(diǎn)在第三象限，∴B（﹣5，﹣2），將B（﹣5，﹣2）代入y=中，得k=xy=10，∴反比例函數(shù)解析式為y=，將A（2，m）代入y=中，得m=5，∴A（2，5），將A（2，5），B（﹣5，﹣2）代入y=ax+b中，得，解得，則一次函數(shù)解析式為y=x+3；（2）由y=x+3得C（﹣3，0），即OC=3，∵S△BCE=S△BCO，∴CE=OC=3，∴OE=6，即E（﹣6，0）．5.解：（1）∵四邊形是矩形 ∴、 ∵是由沿著翻折得到的 ∴，∴四邊形是正方形（2）點(diǎn)是正方形的中心理由：過(guò)作軸于，如圖：∵四邊形是正方形∴，∴(，)∴∵(，)、(，)∴直線為設(shè)（，），則，解得：，（不合題意舍去）∴（，），（，）∵∴，∴∴點(diǎn)是正方形的中心.6.解：（1）OA=16，OC=8，設(shè)OD=m，則CD=DA=16-m，在Rt△COD中，∠COD=90∵CD=OC+OD∴(16-m)=8+m，m=6∴D(6，0)∵四邊形OABC是矩形∴OA∥CB，∴∠CED=∠EDA，又∵∠EDA=∠CDE，∴∠CED=∠CDE，∴CE=CD=10，E(10，8)（2）過(guò)B作BM⊥BC于M如圖1.BC=AB=OC=8，BE=BE=6，∠CBE=90，BM=CM=，B（6.4，12.8）k=10×8=80，y=，∵圖1∴點(diǎn)B不在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上。（3）當(dāng)x=16時(shí)，y=5F=1\*GB3①把線段DE先向右平移10個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，端點(diǎn)E落在G處，G（20，13）；=2\*GB3②把線段EF先向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度，端點(diǎn)F落在G處，G（12，-3）；=3\*GB3③把線段DF先向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3圖2 個(gè)單位長(zhǎng)度，端點(diǎn)D落在G處，G（0，3）；綜上所述，在直角坐標(biāo)系中存在：G（20，13）、G（12，-3）、G（0，3）使得以D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形。7.解：（1）過(guò)A作AD⊥x軸于D.則AD=3，OD=2，DC=4∵BF⊥x軸，AD⊥x軸∴AD∥EF∴△CEF∽△CAD∴∴EF=1,S==(2)①過(guò)B作BE⊥x軸于E。設(shè)A（，）、B(6，則CE=()，BE=直線OB為：∴D(a，)∴=1…（Ⅰ）∵AD=，∴∴…（Ⅱ）把（Ⅱ）代人（Ⅰ）解得∵∴∴A(3，4)、B（6，2）（3）過(guò)M作MA⊥x軸于A，過(guò)N作NB⊥x軸于B,連接ON交MA于點(diǎn)C.直線ON為：當(dāng)x=m時(shí)，y=∴C()MC=-又∵M(jìn)C=∴-=∴∴∵∴8.解：(1)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于點(diǎn)G，∵點(diǎn)C是等邊△OAB的邊OB的中點(diǎn)，∴OC＝2，∠AOB＝60°，∴OG＝1，CG＝，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1，)，由＝，得：k＝，∴該雙曲線所表示的函數(shù)解析式為y＝；(2)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AF于點(diǎn)H，設(shè)AH＝a，則DH＝a．∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4＋a，)，∵點(diǎn)D是雙曲線y＝上的點(diǎn)，由xy＝，得(4＋a)＝，即：a2＋4a－1＝解得：a1＝－2，a2＝－－2(舍去)，∴AD＝2AH＝2－4，∴等邊△AEF的邊長(zhǎng)是2AD＝4－8．9.解：設(shè)A()，則B（）、C(0，)（1）AB=AD=（2）①過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G.∵點(diǎn)F是矩形ABCD的中心∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（）把點(diǎn)F（）代入得：化簡(jiǎn)得：∴②△AEF是直角三角形理由：由①得，∴A()，在