概率與函數(shù)、數(shù)列等綜合問(wèn)題【典例1】為響應(yīng)綠色出行，某市在推出共享單車后，又推出新能源分時(shí)租賃汽車．其中一款新能源分時(shí)租賃汽車，每次租車收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計(jì)費(fèi)；②行駛時(shí)間不超過(guò)40分鐘時(shí)按0.12元/分計(jì)費(fèi)，超過(guò)40分鐘時(shí)，超出部分按0.20元/分計(jì)費(fèi)．已知張先生家離上班地點(diǎn)15公里，每天租用該款汽車上、下班各一次．由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開車花費(fèi)的時(shí)間t(單位：分)是一個(gè)隨機(jī)變量．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了張先生50次路上開車花費(fèi)的時(shí)間，在各時(shí)間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示.時(shí)間t/分(20,30](30,40](40,50](50,60]頻數(shù)2182010將頻率視為概率，每次路上開車花費(fèi)的時(shí)間視為用車時(shí)間．(1)寫出張先生一次租車費(fèi)用y(單位：元)與用車時(shí)間t(單位：分)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若張先生一次開車時(shí)間不超過(guò)40分為“路段暢通”，設(shè)ξ表示3次租用新能源分時(shí)租賃汽車中“路段暢通”的次數(shù)，求ξ的分布列和期望；(3)若公司每月給1000元的交通補(bǔ)助，請(qǐng)估計(jì)張先生每月(按22天計(jì)算)的交通補(bǔ)助是否足夠讓張先生上、下班租用新能源分時(shí)租賃汽車？并說(shuō)明理由．(同一時(shí)段的時(shí)間用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表)[解](1)當(dāng)20<t≤40時(shí)，y＝0.12t＋15；當(dāng)40<t≤60時(shí)，y＝0.12×40＋0.20(t－40)＋15＝0.2t＋11.8.所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.12t＋15，20<t≤40，,0.2t＋11.8，40<t≤60.))(2)張先生租用一次新能源分時(shí)租賃汽車中“路段暢通”的概率P＝eq\f(2＋18,50)＝eq\f(2,5)，法一：ξ可取0,1,2,3.P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(27,125)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(54,125)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))1＝eq\f(36,125)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0＝eq\f(8,125)，ξ的分布列為ξ0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)E(ξ)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝1.2.法二：易知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，所以E(ξ)＝3×eq\f(2,5)＝1.2.(3)張先生每月的交通補(bǔ)助足夠讓他上、下班租用新能源分時(shí)租賃汽車．理由如下．法一：張先生租用一次新能源分時(shí)租賃汽車的平均用車時(shí)間t＝25×eq\f(2,50)＋35×eq\f(18,50)＋45×eq\f(20,50)＋55×eq\f(10,50)＝42.6(分鐘)，每次租用新能源分時(shí)租賃汽車的平均費(fèi)用為0.2×42.6＋11.8＝20.32(元)，張先生一個(gè)月上、下班租車費(fèi)用約為20.32×22×2＝894.08(元)，因?yàn)?94.08<1000，故張先生每月的交通補(bǔ)助足夠讓他上、下班租用新能源分時(shí)租賃汽車．法二：張先生租用一次新能源分時(shí)租賃汽車的平均租車費(fèi)用為(15＋0.12×25)×eq\f(2,50)＋(15＋0.12×35)×eq\f(18,50)＋(11.8＋0.2×45)×eq\f(20,50)＋(11.8＋0.2×55)×eq\f(10,50)＝20.512(元)，張先生一個(gè)月上、下班租車費(fèi)用約為20.512×22×2＝902.528(元)，因?yàn)?02.528<1000，故張先生每月的交通補(bǔ)助足夠讓他上、下班租用新能源分時(shí)租賃汽車．【解題技法】巧用特殊分布，速破分段函數(shù)與期望相交匯題破解此類頻數(shù)分布表、分段函數(shù)、二項(xiàng)分布及期望相交匯的創(chuàng)新題的關(guān)鍵：一是會(huì)利用分類討論法，求函數(shù)的解析式；二是活用二項(xiàng)分布的概率與期望公式，如本題第(2)小問(wèn)的方法二，利用ξ～B（3，25），可快速得到E(ξ[提醒]此類題的易錯(cuò)點(diǎn)是審題不認(rèn)真，對(duì)題眼不敏感，如本題第(1)小問(wèn)，對(duì)題眼“超過(guò)40分鐘”的“超過(guò)”不敏感，求出的函數(shù)解析式就會(huì)出錯(cuò)；再如本題第(3)小問(wèn)，容易忽視題眼“每月按22天計(jì)算”，想當(dāng)然地按一月30天去計(jì)算．因此，要提升對(duì)題眼的敏感度．【典例2】(2019·全國(guó)卷Ⅰ)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設(shè)α＝0.5，β＝0.8.①證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為等比數(shù)列；②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．[解](1)X的所有可能取值為－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列為X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(2)①證明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因?yàn)閜1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比為4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列．②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq\f(48－1,3)p1.由于p8＝1，故p1＝eq\f(3,48－1)，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq\f(44－1,3)p1＝eq\f(1,257).p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率．由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4＝eq\f(1,257)≈0.0039，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說(shuō)明這種試驗(yàn)方案合理．【解題策略】(1)本題以試驗(yàn)新藥療效為背景，命制了一個(gè)概率與數(shù)列