PAGE..三角恒等變換專題復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)：1、能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式；2、理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：；3、可熟練運(yùn)用三角函數(shù)見的基本關(guān)系式解決各種問題。教學(xué)重難點(diǎn)：可熟練運(yùn)用三角函數(shù)見的基本關(guān)系式解決各種問題[基礎(chǔ)知識]一、同角的三大關(guān)系：=1\*GB3①倒數(shù)關(guān)系tan?cot=1=2\*GB3②商數(shù)關(guān)系=tan；=cot=3\*GB3③平方關(guān)系溫馨提示：〔1求同角三角函數(shù)有知一求三規(guī)律,可以利用公式求解,最好的方法是利用畫直角三角形速解。[來源:學(xué)+科+網(wǎng)]〔2利用上述公式求三角函數(shù)值時,注意開方時要結(jié)合角的范圍正確取舍""號。二、誘導(dǎo)公式口訣：奇變偶不變,符號看象限用誘導(dǎo)公式化簡,一般先把角化成的形式,然后利用誘導(dǎo)公式的口訣化簡〔如果前面的角是90度的奇數(shù)倍,就是"奇",是90度的偶數(shù)倍,就是"偶"；符號看象限是,把看作是銳角,判斷角在第幾象限,在這個象限的前面三角函數(shù)的符號是"+"還是"--",就加在前面。用誘導(dǎo)公式計算時,一般是先將負(fù)角變成正角,再將正角變成區(qū)間的角,再變到區(qū)間的角,再變到區(qū)間的角計算。三、和角與差角公式：;;變用±=<±><1>四、二倍角公式：=..五、注意這些公式的來弄去脈這些公式都可以由公式推導(dǎo)出來。六、注意公式的順用、逆用、變用。如：逆用變用七、合一變形〔輔助角公式把兩個三角函數(shù)的和或差化為"一個三角函數(shù),一個角,一次方"的形式。,其中．八、萬能公式九、用,表示十、積化和差與和差化積積化和差；；；.和差化積十一、方法總結(jié)1、三角恒等變換方法觀察〔角、名、式→三變〔變角、變名、變式〔1"變角"主要指把未知的角向已知的角轉(zhuǎn)化,是變換的主線,如α=<α+β>－β=<α－β>+β,2α=<α+β>+<α－β>,2α=<β+α>－<β－α>,α+β=2·eq\f<α+β,2>,eq\f<α+β,2>=<α－eq\f<β,2>>－<eq\f<α,2>－β>等.〔2"變名"指的是切化弦〔正切余切化成正弦余弦,〔3"變式’指的是利用升冪公式和降冪公式升冪降冪,利用和角和差角公式、合一變形公式展開和合并等。2、恒等式的證明方法靈活多樣①從一邊開始直接推證,得到另一邊,一般地,如果所證等式一邊比較繁而另一邊比較簡時多采用此法,即由繁到簡.②左右歸一法,即將所證恒等式左、右兩邊同時推導(dǎo)變形,直接推得左右兩邊都等于同一個式子.③比較法,即設(shè)法證明:"左邊－右邊=0"或"eq\f<左,右>=1";④分析法,從被證的等式出發(fā),逐步探求使等式成立的充分條件,一直推到已知條件或顯然成立的結(jié)論成立為止,則可以判斷原等式成立.[例題精講]例1已知為第四象限角,化簡：解：〔1因?yàn)闉榈谒南笙藿撬栽?例2已知,化簡解：,所以原式=例3tan20°+4sin20°解：tan20°+4sin20°==例4〔05天津已知,求及．解：解法一：由題設(shè)條件,應(yīng)用兩角差的正弦公式得,即①由題設(shè)條件,應(yīng)用二倍角余弦公式得故②由①和②式得,因此,,由兩角和的正切公式解法二：由題設(shè)條件,應(yīng)用二倍角余弦公式得,解得,即由可得由于,且,故在第二象限于是,從而以下同解法一小結(jié)：1、本題以三角函數(shù)的求值問題考查三角變換能力和運(yùn)算能力,可從已知角和所求角的內(nèi)在聯(lián)系〔均含進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到．2、在求三角函數(shù)值時,必須靈活應(yīng)用公式,注意隱含條件的使用,以防出現(xiàn)多解或漏解的情形．例5已知為銳角的三個內(nèi)角,兩向量,,若與是共線向量.〔1求的大??；〔2求函數(shù)取最大值時,的大小.解：〔1,〔2,．小結(jié)：三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密,解題時要時刻注意例6設(shè)關(guān)于x的方程sinx＋cosx＋a＝0在<0,2π>內(nèi)有相異二解α、β.<1>求α的取值范圍;<2>求tan<α＋β>的值.解:<1>∵sinx＋cosx＝2<sinx＋cosx>＝2sin<x＋>,∴方程化為sin<x＋>＝－.∵方程sinx＋cosx＋a＝0在<0,2π>內(nèi)有相異二解,∴sin<x＋>≠sin＝.又sin<x＋>≠±1<∵當(dāng)?shù)扔诤汀?時僅有一解>,∴|－|<1.且－≠.即|a|<2且a≠－.∴a的取值范圍是<－2,－>∪<－,2>.<2>∵α、β是方程的相異解,∴sinα＋cosα＋a＝0①.sinβ＋cosβ＋a＝0②.①－②得<sinα－sinβ>＋<cosα－cosβ>＝0.∴2sincos－2sinsin＝0,又sin≠0,∴tan＝.∴tan<α＋β>＝＝.小結(jié)：要注意三角函數(shù)實(shí)根個數(shù)與普通方程的區(qū)別,這里不能忘記<0,2π>這一條件.例7已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,試求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：已知條件實(shí)際上給出了一個在區(qū)間上恒成立的不等式．任取,且,則不等式恒成立,即恒成立．化簡得由可知：,所以上式恒成立的條件為：.由于且當(dāng)時,,所以,從而,有,故的取值范圍為.[基礎(chǔ)精練]1．已知α是銳角,且sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>＋α>>＝eq\f<3,4>,則sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<α,2>＋π>>的值等于<>A.eq\f<\r<2>,4>B．－eq\f<\r<2>,4>C.eq\f<\r<14>,4> D．－eq\f<\r<14>,4>2．若－2π＜α＜－eq\f<3π,2>,則eq\r<\f<1－cos<α－π>,2>>的值是<>A．sineq\f<α,2>B．coseq\f<α,2>C．－sineq\f<α,2> D．－coseq\f<α,2>3.eq\f<sin<180°＋2α>,1＋cos2α>·eq\f<cos2α,cos<90°＋α>>等于<>A.－sinαB.－cosαC.sinαD.cosα4.已知角α在第一象限且cosα＝eq\f<3,5>,則eq\f<1＋\r<2>cos<2α－\f<π,4>>,sin<α＋\f<π,2>>>等于<>A.eq\f<2,5>B.eq\f<7,5>C.eq\f<14,5>D.－eq\f<2,5>5.定義運(yùn)算eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<\o<\s\up7<ab>,\s\do5<cd>>>>＝ad－bc.若cosα＝eq\f<1,7>,eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<\o<\s\up7<sinαsinβ>,\s\do5<cosαcosβ>>>>＝eq\f<3\r<3>,14>,0<β<α<eq\f<π,2>,則β等于<>A.eq\f<π,12>B.eq\f<π,6>C.eq\f<π,4>D.eq\f<π,3>6.已知tanα和tan<eq\f<π,4>－α>是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根,則a、b、c的關(guān)系是<>A.b＝a＋cB.2b＝a＋cC.c＝b＋aD.c＝ab7.設(shè)a＝eq\f<\r<2>,2><sin56°－cos56°>,b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°,c＝eq\f<1－tan240°30′,1＋tan240°30′>,d＝eq\f<1,2><cos80°－2cos250°＋1>,則a,b,c,d的大小關(guān)系為<>A.a＞b＞d＞cB.b＞a＞d＞cC.d＞a＞b＞cD.c＞a＞d＞b8．函數(shù)y＝eq\f<1,2>sin2x＋sin2x,x∈R的值域是<>A.eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>,\f<3,2>>> B.eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<3,2>,\f<1,2>>>C.eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<\r<2>,2>＋\f<1,2>,\f<\r<2>,2>＋\f<1,2>>> D.eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<\r<2>,2>－\f<1,2>,\f<\r<2>,2>－\f<1,2>>>9.若銳角α、β滿足<1＋eq\r<3>tanα><1＋eq\r<3>tanβ>＝4,則α＋β＝.10.設(shè)α是第二象限的角,tanα＝－eq\f<4,3>,且sineq\f<α,2><coseq\f<α,2>,則coseq\f<α,2>＝.11.已知sin<x>=,0<x<,求的值。12.若,,求α+2β。[拓展提高]1、設(shè)函數(shù)f<x>＝sin<eq\f<πx,4>－eq\f<π,6>>－2cos2eq\f<πx,8>＋1<1>求f<x>的最小正周期.<2>若函數(shù)y＝g<x>與y＝f<x>的圖像關(guān)于直線x＝1對稱,求當(dāng)x∈[0,eq\f<4,3>]時y＝g<x>的最大值2.已知向量a＝<cosα,sinα>,b＝<cosβ,sinβ>,|a－b|＝eq\f<2\r<5>,5><1>求cos<α－β>的值；<2>若0<α<eq\f<π,2>,－eq\f<π,2><β<0,且sinβ＝－eq\f<5,13>,求sinα.3、求證：－2cos〔α+β=.[基礎(chǔ)精練參考答案]4．C[解析]原式＝eq\f<1＋\r<2><cos2αcos\f<π,4>＋sin2αsin\f<π,4>>,cosα>＝eq\f<1＋cos2α＋sin2α,cosα>＝eq\f<2cos2α＋2sinαcosα,cosα>＝2×<cosα＋sinα>＝2×<eq\f<3,5>＋eq\f<4,5>>＝eq\f<14,5>.5.D[解析]依題設(shè)得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin<α－β>＝eq\f<3\r<3>,14>.∵0<β<α<eq\f<π,2>,∴cos<α－β>＝eq\f<13,14>.又∵cosα＝eq\f<1,7>,∴sinα＝eq\f<4\r<3>,7>.sinβ＝sin[α－<α－β>]＝sinα·cos<α－β>－cosα·sin<α－β>＝eq\f<4\r<3>,7>×eq\f<13,14>－eq\f<1,7>×eq\f<3\r<3>,14>＝eq\f<\r<3>,2>,∴β＝eq\f<π,3>.6.C[解析]∴taneq\f<π,4>＝tan[<eq\f<π,4>－α>＋α]＝eq\f<－\f<b,a>,1－\f<c,a>>＝1,∴－eq\f<b,a>＝1－eq\f<c,a>,∴－b＝a－c,∴c＝a＋b.7.B[解析]a＝sin<56°－45°>＝sin11°,b＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin<52°－40°>＝sin12°,c＝eq\f<1－tan240°30′,1＋tan240°30′>＝cos81°＝sin9°,d＝eq\f<1,2><2cos240°－2sin240°>＝cos80°＝sin10°∴b＞a＞d＞c.8.C[解析]y＝eq\f<1,2>sin2x＋sin2x＝eq\f<1,2>sin2x－eq\f<1,2>cos2x＋eq\f<1,2>＝eq\f<\r<2>,2>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2x－\f<π,4>>>＋eq\f<1,2>,故選擇C.9.eq\f<π,3>[解析]由<1＋eq\r<3>tanα><1＋eq\r<3>tanβ>＝4,可得eq\f<tanα＋tanβ,1－tanαtanβ>＝eq\r<3>,即tan<α＋β>＝eq\r<3>.又α＋β∈<0,π>,∴α＋β＝eq\f<π,3>.10.－eq\f<\r<5>,5>解析：∵α是第二象限的角,∴eq\f<α,2>可能在第一或第三象限,又sineq\f<α,2><coseq\f<α,2>,∴eq\f<α,2>為第三象限的角,∴coseq\f<α,2><0.∵tanα＝－eq\f<4,3>,∴cosα＝－eq\f<3,5>,∴coseq\f<α,2>＝－eq\r<\f<1＋cosα,2>>＝－eq\f<\r<5>,5>.12.[解析]∵,∴∴,α+2β,又tan2β=,,[來源:Zxxk.Com]∴α+2β=[拓展提高參考答案]1、[解析]<1>f<x>＝sineq\f<πx,4>coseq\f<π,6>－coseq\f<πx,4>sineq\f<π,6>－coseq\f<π,4>x＝eq\f<\r<3>,2>sineq\f<π,4>x－eq\f<3,2>coseq\f<π,4>x＝eq\r<3>sin<eq\f<π,4>x－eq\f<π,3>>,故f<x>的最小正周期為T＝eq\f<\f<2π,π>,4>＝8<2>法一：在y＝g<x>的圖象上任取一點(diǎn)<x,g<x>>,它關(guān)于x＝1的對稱點(diǎn)<2－x,g<x>>.由題設(shè)條件,點(diǎn)<2－x,g<x>>在y＝f<x>的圖象上,從而g<x>＝f<2－x>＝eq\r<3>sin[eq\f<π,4><2－x>－eq\f<π,3>]＝eq\r<3>sin[eq\f<π,2>－eq\f<π,4>x－eq\f<π,3>]＝eq\r<3>cos<eq\f<π,4>x＋eq\f<π,3>>,當(dāng)0≤x≤eq\f<4,3>時,eq\f<π,3>≤eq\f<π,4>x＋eq\f<π,3>≤eq\f<2π,3>,因此y＝g<x>在區(qū)間[0,eq\f<4,3>]上的最大值為g<x>max＝eq\r<3>coseq\f<π,3>＝eq\f<\r<3>,2>.法二：因區(qū)間[0,eq\f<4,3>]關(guān)于x＝1的對稱區(qū)間為[eq\f<2,