第十一章三角形1、三角形的概念由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。2、三角形中的主要線段（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。（2）在三角形中，連接一個頂點(diǎn)和它對邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。（3）從三角形一個頂點(diǎn)向它的對邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。3、三角形的穩(wěn)定性三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。4、三角形的特性與表示三角形有下面三個特性：（1）三角形有三條線段（2）三條線段不在同一直線上三角形是封閉圖形（3）首尾順次相接三角形用符號“”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。5、三角形的分類三角形按邊的關(guān)系分類如下：不等邊三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等邊三角形三角形按角的關(guān)系分類如下：直角三角形（有一個角為直角的三角形）三角形銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）斜三角形鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。6、三角形的三邊關(guān)系定理及推論（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形②當(dāng)已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關(guān)系。7、三角形的內(nèi)角和定理及推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°。推論：①直角三角形的兩個銳角互余。②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。8、三角形的面積=×底×高多邊形知識要點(diǎn)梳理定義：由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形。凸多邊形分類1凹多邊形多邊形 正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。分類2 非正多邊形： 1、n邊形的內(nèi)角和等于180°（n-2）。多邊形的定理2、任意凸形多邊形的外角和等于360°。3、n邊形的對角線條數(shù)等于1/2·n（n-3） 只用一種正多邊形：3、4、6。鑲嵌 拼成360度的角只用一種非正多邊形（全等）：3、4。知識點(diǎn)一：多邊形及有關(guān)概念

1、多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

（1）多邊形的一些要素：

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．

頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個n邊形有n個內(nèi)角。

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。

（2）在定義中應(yīng)注意：

①一些線段（多邊形的邊數(shù)是大于等于3的正整數(shù)）；

②首尾順次相連，二者缺一不可;

③理解時要特別注意“在同一平面內(nèi)”這個條件,其目的是為了排除幾個點(diǎn)不共面的情況,即空間多邊形.

2、多邊形的分類:

(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形（見圖1）.本章所講的多邊形都是指凸多邊形.

凸多邊形凹多邊形

圖1

(2)多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形．三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數(shù)最少的多邊形．

知識點(diǎn)二：正多邊形

各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。

正三角形正方形正五邊形正六邊形正十二邊形

要點(diǎn)詮釋：

各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可.如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角也都相等的四邊形才是正方形

知識點(diǎn)三：多邊形的對角線

多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線.如圖2，BD為四邊形ABCD的一條對角線。要點(diǎn)詮釋：

(1)從n邊形一個頂點(diǎn)可以引(n－3)條對角線，將多邊形分成(n－2)個三角形。

(2)n邊形共有條對角線。

證明：過一個頂點(diǎn)有n－3條對角線(n≥3的正整數(shù))，又∵共有n個頂點(diǎn)，∴共有n(n-3)條對角線，但過兩個不相鄰頂點(diǎn)的對角線重復(fù)了一次，∴凸n邊形，共有條對角線。

知識點(diǎn)四：多邊形的內(nèi)角和公式

1.公式：邊形的內(nèi)角和為.

2.公式的證明：

證法1：在邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，并把這點(diǎn)與各個頂點(diǎn)連接起來，共構(gòu)成個三角形，這個三角形的內(nèi)角和為，再減去一個周角，即得到邊形的內(nèi)角和為.

證法2：從邊形一個頂點(diǎn)作對角線，可以作條對角線，并且邊形被分成個三角形，這個三角形內(nèi)角和恰好是邊形的內(nèi)角和，等于.

證法3：在邊形的一邊上取一點(diǎn)與各個頂點(diǎn)相連，得個三角形，邊形內(nèi)角和等于這個三角形的內(nèi)角和減去所取的一點(diǎn)處的一個平角的度數(shù)，即.

要點(diǎn)詮釋：

(1)注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基礎(chǔ)思想。

(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：

①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；

②已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。

知識點(diǎn)五：多邊形的外角和公式

1.公式：多邊形的外角和等于360°.

2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角，所以邊形的內(nèi)角和加外角和為，外角和等于.注意：n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)。

要點(diǎn)詮釋：

(1)外角和公式的應(yīng)用：

①已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；

②已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù).

(2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系：

①n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加1條邊，內(nèi)角和增加180°。

②多邊形的外角和等于360°，與邊數(shù)的多少無關(guān)。

知識點(diǎn)六：鑲嵌的概念和特征

1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。

2、實現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點(diǎn)的各個角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公共邊。

3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：

(1)用正多邊形實現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長相等；頂點(diǎn)公用；在一個頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°。

(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面

對于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個平面圖形，且不留一點(diǎn)空隙？解決問題的關(guān)鍵在于正多邊形的內(nèi)角特點(diǎn)。當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角360°時，就能鋪成一個平面圖形。事實上，正n邊形的每一個內(nèi)角為，要求k個正n邊形各有一個內(nèi)角拼于一點(diǎn)，恰好覆蓋地面，這樣360°＝，由此導(dǎo)出k＝＝2＋，而k是正整數(shù)，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。

注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于360°。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿地面。

(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面

用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個周角”的問題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖：又如，用一個正三角形、兩個正方形、一個正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面，因為它們的交接處各角之和恰好為一個周角360°。

規(guī)律方法指導(dǎo)

1．內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少.每增加一條邊，內(nèi)角的和就增加180°（反過來也成立），且多邊形的內(nèi)角和必須是180°的整數(shù)倍.

2．多